8.6 三角形内角和定理同步练习（含答案）

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第八章 平行线的有关证明
6 三角形的内角和定理
知识能力全练
知识点一 三角形内角和定理
1.△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则此三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠BDE的度数是（ ）
A.50° B.25° C.30° D.35°
3.在下列条件中:①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；③∠A＝∠B＝＝∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.如图所示，一束光线照射到平面镜AB上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的反射角等于入射角，则∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠5＝∠6，若∠1＝50°,∠6＝65°，则∠3的度数为_____________.
5.如图所示，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，∠A＝65°，∠CBD＝36°，求∠BEC的度数.
知识点二 三角形的外角
6.如图所示，下列选项中的角是△BCD的外角的是（ ）
A.∠ACD B.∠DCE C.∠DAC D.∠D
知识点三 三角形的外角的有关定理
7.如图所示，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
8.如图所示，D是△ABC中AC边上的一点，E是BD上一点，则对∠1，∠2，∠A之间的大小关系描述正确的是（ ）
A.∠A＜∠1＜∠2 B.∠2＜∠1＜∠A C.∠1＞∠2＞∠A D.无法确定
9.如图所示，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是__________度.
10.把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠C＝∠E＝90°,∠A＝45°,∠F＝30°，则∠1＋∠2＝__________°.
11.已知，如图所示，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证:
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
巩固提高全练
12.如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠2＞∠1＞∠A C.∠A＞∠2＞∠1 D.∠2＞∠A＞∠1
13.将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A.105° B.100° C.95° D.110°
14.如图所示，∠a＝125°，∠1＝50°，则∠β＝__________.
15.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD，CE相交于点P.若∠APE＝55°，∠AEP＝80°，则∠B的度数为_________度.
16.如图所示，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点F，已知∠BFC＝130°，求∠A的度数.
17.如图所示，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.55° C.70° D.75°
18.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
19.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a的度数是（ ）
A.45° B.60° C.75° D.85
20.如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中∠a的度数为__________.
21.已知:如图所示，△ABC是任意一个三角形，求证:∠A＋∠B＋∠C＝180°.
22.如图所示，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，若∠A1＝a，则
∠A2021＝__________.
23.如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分别
是△ABC的两个外角的平分线.
（1）当∠A＝40°时，分别求∠D和∠P的度数；
（2）当∠A的大小变化时，试探究∠D＋∠P的度数是否变化，如果不变化，求出∠D＋∠P的值；如果变化，请说明理由.
参考答案
1.B 2.B 3.C
4.答案 57.5°
解析 如图，∵∠2＝∠1＝50°，∠5＝∠6＝65°，
∴∠7＝180°-∠2-∠5＝65°，∴∠3＋∠4＝180°-65°＝115°
∵∠3＝∠4，∴∠3＝×115°＝57.5°.
5.解析 ∵BD⊥AC，∠CBD＝36°，∴∠BCD＝90°-∠CBD＝90°-36°＝54°，
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝×54°＝27°，
∵∠A＝65°，∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，
∴∠AEC＝180°-∠A-∠ACE＝180°-65°-27°＝88°，
∵∠AEC＋∠BEC＝180°，∴∠BEC＝180°-∠AEC＝180°-88°＝92°.
6.B 7.C 8.A
9.答案 64
解析 如图所示:
由折叠的性质，得∠D＝∠B＝32°，
根据三角形外角的性质，得∠1＝∠3＋∠B，∠3＝∠2＋∠D，
∴∠1＝∠2＋∠D＋∠B＝∠2＋2∠B＝∠2＋64°，
∴∠1-∠2＝64°.
10.答案 225
解析 如图，
∵∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°，∴∠D＝60°，
∵∠1＝∠D＋∠3，∠2＝∠F＋∠6，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠4＋∠5＝180°-∠A，
∴∠1＋∠2＝∠D＋∠F＋∠4＋∠5＝∠D＋∠F＋180°-∠A
＝60°＋30°＋180°-45°＝225°.
11.证明 （1）∠EGH是△的外角，∴∠EGH＞∠B
又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴∠EGH＞∠ADE.
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，∴∠BFE＝∠A＋∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的外角，∴∠EGH＝∠B＋∠BFE，∴∠EG＝∠B＋∠A＋∠AEF，
又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
12.B 13.A
14.答案 105°
解析 ∵∠2＝∠a-∠1＝125°-50°＝75°，
∴∠B＝180°-∠2＝180°-75°＝105°.
15.答案 45
解析 ∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，
∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°-55°＝35°，
∵∠AEP＝∠B＋∠ECB，∴∠B＝∠AEP-∠ECB＝80°-35°＝45°.
16.解析 BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠FBC＋∠FCB），
∵∠FBC＋∠FCB＝180°-∠BFC＝180°-130°＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝2×50°＝100°，
∴∠A＝180°-（∠ABC＋∠ACB）＝180°-100°＝80°.
17.B 18.D 19.C
20.答案 140°
解析 如图，
∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，∴∠ACD＝∠ACB-∠DCB＝90°-65°＝25°，
∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°-∠ACD-∠A＝180°-25°-60°＝95°，
∵∠D＝45°，∴∠a＝∠D＋∠DFB＝45°＋95°＝140°.
21.证明 如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
22.答案
解析 ∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠ABC＋∠A1，∴∠A1＝∠A.
同理可得当∠A1＝a时，
∠A2＝∠A1＝a，∠A3＝∠A2＝a，∠A4＝∠A3＝a，……，
∠A2021＝.
23.解析（1）在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A，
∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°-∠A）＝90°-∠A，
在△BCD中，∠BDC＝180°-（∠DBC＋∠DCB）-＝180°-（90°-∠A＝90°＋∠A，
当∠A＝40°时，∠BDC＝90°＋20°＝110°.
∵BP、CP分别是△ABC的两个外角的平分线，
∴∠CBP＝∠CBE，∠BCP＝∠BCF，
∴∠CBP＋∠BCP＝∠CBE＋∠BCF＝（∠CBE＋∠BCF）
＝（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝（180°＋∠A），
∴∠BPC＝180°-（∠CBP＋∠BCP）＝180°-（180°＋∠A）＝90°-∠A，
当∠A＝40°时，∠BPC＝90°-×40°＝70°.
（2）∠D＋∠P的值不变.
由（1）知∠D＝90°＋∠A，∠P＝90°-∠A,
∴∠D＋∠P＝180°.
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