福建省泉州市永春两所中学2021届高三2月第三次联考数学试题 Word版含答案

永春二中、六中2021届高三毕业班第三次联考数学试卷
学校： 班级： 姓名： 号数：
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.false是虚数单位，复数false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.设常数false，集合false，false，若false，则false的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.已知函数false为奇函数，且当false时，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.设向量falsefalse与falsefalse垂直，则false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.函数false的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
6.已知过点false的直线与圆false相切，且与直线false垂直，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
7．已知false，false是双曲线false的左、右焦点，若点false关于双曲线渐近线的对称点false满足false为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为false　　false
A．false B．false C．false D．false
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为false，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
4749800247650 9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中false点表示十月的平均最高气温约为false，false点表示四月的平均最低气温约为false．下面叙述正确的有（ ）
A.各月的平均最低气温都在false以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于false的月份有false个
10.下列命题中不正确的有（ ）
A.false是直线false与直线false互相垂直的充要条件
B.直线false是函数false的图像的一条对称轴
C.已知直线false与圆false，则圆心false到直线的距离是false
D.若命题false“存在false，false，则命题false的否定："任意false"
11．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）的判断正确的是（　　）
3894455153670A．函数y＝f（x）是奇函数
B．对任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x﹣4）
C．函数y＝f（x）的值域为[0，false]
D．函数y＝f（x）在区间[6，8]上单调递增
12．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P．则下列结论正确的是（　　）
3710305137160A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P﹣EF﹣D的余弦值false
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
14.设常数false．若false的二项展开式中false项的系数为false，则false ．
15.在直角坐标系false中，直线false过抛物线false的焦点false，且与该抛物线相交于false，false两点，其中点false在false轴上方．若直线false的倾斜角为false，则false的面积为 ．
16.已知函数false，数列{an}中，an＝f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和
Sn＝2n+1﹣2．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设false，求数列{cn}的前n项和Tn．
18（12分）在①false，②false，③false，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，false，false，求△ABC的面积．
19.（12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了false名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于false分钟的观众称为"体育迷"．
false
false
false
false
false
false
附：false，
（1）根据已知条件完成下面的false列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关?

非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取false次，记被抽取的false名观众中的"体育迷"人数为false．若每次抽取的结果是相互独立的，求false的分布列，期望false和方差false．
20．（12分）已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足false，D为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B的平面角为90°，连接A1B，A1C（如图（2））．
（1）求证：A1D⊥平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆false的一个焦点为false，长轴与短轴的比为false．直线false与椭圆false交于false、false两点，其中false为直线false的斜率．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）若以线段false为直径的圆过坐标原点false，问：是否存在一个以坐标原点false为圆心的定圆false，不论直线false的斜率false取何值，定圆false恒与直线false相切？如果存在，求出圆false的方程及实数false的取值范围；如果不存在，请说明理由．
22．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣px+1，其中p为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
永春二中、六中2021届高三毕业班第三次联考数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.false是虚数单位，复数false（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】false．故选A．
2.设常数false，集合false，false，若false，则false的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】当false时，false，此时要使得false，需满足false，所以false；
当false时，false，此时要使得false，需满足false，所以false；
当false时，false，此时false成立．
综上，false．故选B．
3.已知函数false为奇函数，且当false时，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】false．故选D．
4.设向量falsefalse与falsefalse垂直，则false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】因为false，所以false，所以false，所以false．故选C．
5.函数false的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【解析】首先易知false的图象经过原点，借此可以排除选项B，D；然后由false，可知false为偶函数，可排除选项C.故选A.
6.已知过点false的直线与圆false相切，且与直线false垂直，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】由题意知点false在圆false上，设切线的斜率为false，则false，解得false，直线false的斜率为false，且与切线垂直，所以false，解得false．故选C．
7．已知false，false是双曲线false的左、右焦点，若点false关于双曲线渐近线的对称点false满足false为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解析】设false，false，3746500273050渐近线方程为false，
false的对称点为false，
即有false，
且false，
解得false，false，
false满足false，可得false，
即有false，结合false，
化为false，即false，可得双曲线的渐近线方程为false．故选：false．
44958002603508.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为false，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】如图，设球心为false，则false，false．
在直角三角形false中，球的半径false满足false
因此该球的表面积false故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
4749800247650 9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中false点表示十月的平均最高气温约为false，false点表示四月的平均最低气温约为false．下面叙述正确的有（ ）
A.各月的平均最低气温都在false以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于false的月份有false个
【解析】对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在false以上，A正确；
对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；
对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为false，所以C正确；
对于选项D，平均最高气温高于false的月份有七月、八月，共false个月份，故D错误．故选ABC.
10.下列命题中不正确的有（ ）
A.false是直线false与直线false互相垂直的充要条件
B.直线false是函数false的图像的一条对称轴
C.已知直线false与圆false，则圆心false到直线的距离是false
D.若命题false“存在false，false，则命题false的否定："任意false"
【解析】直线false与直线false垂直的充要条件为false，故A不正确．
false时，false，故B不正确．圆心false到直线false的距离为false，故C不正确．
由特称命题的否定可知，D正确．故选ABC.
11．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）的判断正确的是（　　）
4675505153670A．函数y＝f（x）是奇函数 B．对任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x﹣4）
C．函数y＝f（x）的值域为[0，false]
D．函数y＝f（x）在区间[6，8]上单调递增
4243705666750【解析】解：当﹣4≤x≤﹣2，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，
当﹣2≤x≤2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为2的圆，
当2≤x≤4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，
当4≤x≤6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，
作出函数的图象如图，
函数为偶函数，故A错误；函数的周期是8，故B正确；函数值域为[0，2]，故C正确；
由图可知，函数在[6，8]上单调递增；故选：BCD．
12．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P．则下列结论正确的是（　　）
3710305137160A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P﹣EF﹣D的余弦值false
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
【解析】解：如图，
由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，
则PD⊥平面PEF，∴PD⊥EF，故A正确；
PE⊥平面PDF，而PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PDF，故B正确；
4758055394335取EF中点G，连接PG，DG，可得PG⊥EF，DG⊥EF，得∠PGD为二面角P﹣EF﹣D的平面角，
设正方形ABCD的边长为2，则PD＝2，PG，DG，
∴cos，即二面角P﹣EF﹣D的余弦值为，故C正确；
过P作PO⊥DG，则O为P在底面DEF上的射影，∵PE＜PD，∴OE＜OD，则O不是△DEF的外心，故D错误．故选：ABC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
【解析】三位同学各任选一个项目共有false（种）不同的选法，而"恰有两人所选项目相同"有false（种）不同选法，故所求概率为false．
14.设常数false．若false的二项展开式中false项的系数为false，则false ．
【解析】false，令false，解得false，从而false，解得false．
15.在直角坐标系false中，直线false过抛物线false的焦点false，且与该抛物线相交于false，false两点，其中点false在false轴上方．若直线false的倾斜角为false，则false的面积为 ．
【解析】如图，
434340012700
过点false作准线的垂线段false，设false，则false，false，
因为false，所以false，
所以false，所以false，
所以false．
16.已知函数false，数列{an}中，an＝f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100＝　 　．
【解析】解：∵f（x）＝x2cos，
∴an＝f（n）+f（n+1），
a4n﹣3（4n﹣2）2（4n﹣2）2，
同理可得：a4n﹣2＝﹣（4n﹣2）2，a4n﹣1＝（4n）2，a4n＝（4n）2．
∴a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n＝﹣2（4n﹣2）2+2（4n）2＝8（4n﹣1）．
∴数列{an}的前100项之和S100＝8×（3+7+…+99）＝10200．
故答案为：10200．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn＝2n+1﹣2．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设false，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】解：（1）在各项均不相等的等差数列{an}的公差设为d，d≠0，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，
可得a1a5＝a22即1（1+4d）＝（1+d）2，解得d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
数列{bn}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，可得b1＝S1＝2；n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，
对n＝1也成立，
则bn＝2n，n∈N*；
（2）cn＝2log2bn＝22n﹣1+n，
则前n项和Tn＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）
n（n+1）（4n﹣1）（n2+n）．
18（12分）在①false，②false，③false，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，false，false，求△ABC的面积．
【解析】解：（1）若选择①，
由余弦定理，……………（4分）
因为B∈（0，π），所以；……………………（5分）
由正弦定理，得，……………（7分）
因为，，所以，……………（8分）
所以（10分）
所以．……………（12分）
（2）若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA，……………（3分）
因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，……………（4分）
因为B∈（0，π），所以；……………（5分）
由正弦定理，得，……………（7分）
因为，，所以，……………（8分）
所以，…（10分）
所以．……………（12分）
（3）若选择③，
则，所以，……………（3分）
因为B∈（0，π），所以，
所以，所以；……………（5分）
由正弦定理，得，……………（7分）
因为，，所以，……………（8分）
所以，………（10分）
所以．……………（12分）
19.（12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了false名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于false分钟的观众称为"体育迷"．
false
false
false
false
false
false
附：false，
（1）根据已知条件完成下面的false列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关?

非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取false次，记被抽取的false名观众中的"体育迷"人数为false．若每次抽取的结果是相互独立的，求false的分布列，期望false和方差false．
【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的false人中，"体育迷"有false人，从而完成false列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将false列联表中的数据代入公式计算，得
false
false
false
false
因为false，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关．
（2）由频率分布直方图知抽到"体育迷"的频率为false，将频率视为概率，即从观众中抽取一名"体育迷"的概率为false．
由题意false，从而false的分布列为
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
所以falsefalse
falsefalse
20．（12分）已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足，D为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B的平面角为90°，连接A1B，A1C（如图（2））．
（1）求证：A1D⊥平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵正△ABC的边长为3，且，∴AD＝1，AE＝2，
△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE，
∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．
折叠后，仍有A1D⊥DE．
∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE，
又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D?平面A1DE，A1D⊥DE，
∴A1D⊥平面BCED；
（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．
如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，
由（1）得A1D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，
∴A1D⊥PH．
∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，
∴PH⊥平面A1BD．
由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H＝60°．
设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PBcos60°，PH＝PBsin60°x，
4224655513080在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，∴A1H，
在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2，
由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2）2＝（x）2，
解得x，满足0≤x≤3符合题意．
∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB．
21．（12分）已知椭圆false的一个焦点为false，长轴与短轴的比为false．直线false与椭圆false交于false、false两点，其中false为直线false的斜率．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）若以线段false为直径的圆过坐标原点false，问：是否存在一个以坐标原点false为圆心的定圆false，不论直线false的斜率false取何值，定圆false恒与直线false相切？如果存在，求出圆false的方程及实数false的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【解析】false，false，false．
解得：false，false，
false椭圆false的方程为false．
false解法一：
假设存在定圆false，不论直线false的斜率false取何值时，定圆false恒与直线false相切．
这时，只需证明坐标原点false到直线false的距离为定值即可．
设false，false，false，false，联立方程，消去false整理得：false，
△false，得：false，①
false，
false以线段false为直径的圆过坐标原点false，
falsefalse，
falsefalse．
化简得：false，②
此时，坐标原点false到直线false距离false为：false．
由坐标原点false到直线false的距离false为定值知，所以存在定圆false，不论直线false的斜率false取何值时，定圆false恒与直线false相切，定圆false的方程为：false．
得false的取值范围是false．
解法二：
假设存在定圆false，不论直线false的斜率false取何值时，定圆false恒与直线false相切．
这时，只需证明坐标原点false到直线false的距离为定值即可．
设直线false的方程为：false，false点的坐标为false，false，则false，
联立方程组falsefalsefalse，①
false以线段false为直径的圆过坐标原点false，false，直线false的方程为：false．
false在①式中以false换false，得false②
又由false知：false
设坐标原点false到直线false的距离为false，则有false，
falsefalse．
又当直线false与false轴重合时，false，false此时false．
由坐标原点false到直线false的距离false为定值知，所以存在定圆false，不论直线false的斜率false取何值时，定圆false恒与直线false相切，定圆false的方程为：false．
直线false与false轴交点为false，且点false不可能在圆false内，又当false时，直线false与定圆false切于点false，所以false的取值范围是false．
22．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣px+1，其中p为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx﹣px+1定义域为（0，+∞），
∴，
当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点
当p＞0时，令f′（x）＝0，∴x∈（0，+∞），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，）

（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘
从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点
（Ⅱ）当p＞0时，在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需，
∴p≥1
∴p的取值范围为[1，+∞）
（Ⅲ）令p＝1，由（Ⅱ）知，lnx﹣x+1≤0，
∴lnx≤x﹣1，
∵n∈N，n≥2
∴lnn2≤n2﹣1，
∴
∴

∴结论成立