2020—2021学年人教版九年级数学下册第27章《相似》常考题型综合练习五（ Word版 含答案）

九年级数学下册第27章《相似》常考题型综合练习五
1．如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，BE平分∠ABC且交AD于点P，交CD的延长线于点E；作EO交AD于点F，交BC于点G．
（1）求证：DF＝BG；
（2）若AB＝6，AD＝9，求DF的长．
2．已知：如图，在△ABC中，点D为边BC上的点，＝，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△BAC∽△DAE；
（2）当∠BAC＝90°时，求证：EC⊥BC．
3．探究：如图①，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高线，以点D为中点作线段EF，且EF不与BC边重合，以EF为边作等边三角形EFG，连结AG，GD，CF．求证：△ADG∽△CDF；
应用：如图②，将线段EF绕着点D逆时针旋转，当点F落在AD上时，延长CF交AG于点H，求∠AHF的度数．
4．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上，∠EDF＝60°．
（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，如图（1），求证：DE＝DF；
（2）过C作BC的垂线交AB恰好为D，若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E，F，如图（2），求的值．
5．阅读下列短文：
图1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3：5，求它们的体积之比．
解：长方体（甲）的体积是3a?3b?3c＝33abc，长方体（乙）的体积是5a?5b?5c＝53abc，所以长方体（甲）与长方体（乙）的体积的比是33abc：53abc＝33：53＝（3：5）3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．
请仿上例解答下题：
鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼（体形是相似形），以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米（图2所示），那么买哪种鱼更便宜呢？
6．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC＝DF：AF．
7．小明和小强晚上在路灯下朝着路灯的方向行走（小明、小强和路灯在同一条直线上）从下面两人的对话中请你计算出路灯的高度．
（1）写出两对相似三角形；
（2）计算路灯的高度．
8．如图，AE是等边三角形ABC边BC上的高，AB＝4，DC⊥BC，垂足为C，CD＝，BD与AE、AC分别交于点F、M．
（1）求AF的长；
（2）求证：AM：CM＝3：2；
（3）求△BCM的面积．
9．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF交于AC于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，△DEF与△ABC的重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
10．有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，
这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请计算．
参考答案
1．（1）证明：连接FB、DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，又BO＝OD，
∴GO＝OF，
∴四边形FBGD是平行四边形，
∴DF＝BG；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠APB，
∴AP＝AB＝6，
∴PD＝9﹣6＝3，
∵AD∥BC，PD＝3，BC＝9，
∴＝，又BG＝DF，
∴PF＝DF，又PD＝3，
∴DF＝．
2．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，即∠DAE，
∵＝，
∴＝，
∴△BAC∽△DAE；
（2）解：∵△BAC∽△DAE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC．
3．解：探究：如图①∵△EFG是等边三角形，D是EF的中点，
∴GD⊥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF+∠ADG＝∠CDF+∠ADF，
∴∠ADG＝∠CDF，
∵△ABC与△EFG是等边三角形，
∴△ABC∽△EFG，
∴，
∴△ADG∽△CDF；
应用：如图②，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠GAD＝∠FCD，
∵∠FDC＝90°，∠AFH＝∠CFD，
∴∠GAD+∠AFH＝∠FCD+∠CFD＝90°，
∴∠AHF＝90°．
4．（1）证明：∵DG⊥AC，DH⊥BC，
∴∠DGE＝∠DHF＝90°，
∵AC＝BC，点D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，
∴DG＝DH，
∵∠ACB＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠DEC+∠DFH＝180°，
∵∠DEC+∠DEG＝180°，
∴∠DFH＝∠DEG，
在△DGE与△DHF中，
，
∴△DGE≌△DHF，
∴DE＝DF，
（2）∵CD⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，
∴∠ACD＝∠A＝∠B＝30°，
∴BD＝2CD，∴∠BDC＝60°，
∴∠BDF+∠CDF＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠CDF+CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE∽△BDF，
∴．
5．解：大鱼A与小鱼B相似比为13：10，
则大鱼A与小鱼B体积之比（）3＝2.197，
而其价格比是1.5：1＝1.5，A的体积是B的2.197倍，买大鱼A比买小鱼B合算．
6．解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠BDF，
∴∠BAD＝∠BDF，
∵∠F＝∠F，
∴△DFB∽△AFD；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴＝，
∵△DFB∽△AFD；
∴，
∴AB：AC＝DF：AF．
7．解：（1）△ABN～△EFN△ABM～△CDM；
（2）根据题意，MN＝FD＝0.5米，
∵△ABM∽△CDM，
∴＝，即＝﹣﹣﹣﹣﹣①，
∵△ABN∽△EFN，
∴＝，即＝﹣﹣﹣﹣﹣②，
①②两式联立解得AB＝10．
故路灯的高度10米．
8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵AE⊥BC，
∴BE＝BC＝2，AE＝2，
∵DC⊥BC，
∴CD∥AE，
∴EF＝CD＝，
∴AF＝AE﹣EF＝；
（2）∵AF∥CD，
∴△AFM∽△CDM，
∴，
由（1）知，AF＝，CD＝，
∴AM：CM＝AF：CD＝3：2；
（3）过M作MN⊥BC于N，
∴MN∥AE，
∴△CMN≌△CAE，
∴，
由（2）知AM：CM＝3：2；
∴CM：AC＝2：5，
∴MN＝，
∴S△BCM＝BC?MN＝＝．
9．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝，
∴CE＝＝，
∴BE＝4﹣＝；
∴BE＝1或．
10．解：（1）设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，
∴AE＝AD﹣ED＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝48，
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；
（2）设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴2x＝，
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，
mm．
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