第27章相似 单元测试-2020-2021学年人教版九年级数学下册（Word版 含解析）

第27章
《相似》
单
元
测
试
卷
题号
一
二
三
总分
得分
得
分
评卷人
一．单项选择题。（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个正确答案，请将正确的答案的序号填入括号中。）
1．下列各组图形中，一定相似的是（　　）
A．任意两个圆
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个菱形
D．任意两个矩形
2．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．1
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，AD＝6，则AB等于（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是对应高，且AD：A′D′＝2，则它们的周长比是（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
5．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）
A．∠B＝∠D
B．∠C＝∠E
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F．在下列说法中：①∠ADC＝2∠DCB；②AEBC；③AF?EF＝DF?CF；④若AB＝8，BC＝10，则△ADC的周长为14．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）
A．
B．
C．
D．3
8．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2，若A（4，0），B（2，2），则点D的坐标为（　　）
A．（1，2）
B．（1，1）
C．（，）
D．（2，1）
9．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝7m，则树高AB＝（　　）m．
A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
10．某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ABC中，AC＝30cm，BC＝40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的条数（　　）
A．24
B．25
C．26
D．27
得
分
评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)
11．已知，那么　
　．
12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BEAB，F为AC上一点，且CFAC，EF交AD于P，则EP：PF＝　
　．
13．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，得到△E'F'O，则点E的对应点E'的坐标是　
　．
14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为　
　．
得
分
评卷人
三、解答题(本大题共6小题，15、16题每题8分，17、18题每题10分，19、20题每题12分，共60分。)
已知，且x+2y+3z＝﹣46，求x，y，z的值．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的△A2OB2．
17．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
18．二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：．
解：将分子、分写同乘以得．
类比应用：（1）化简：　
　．
（2）化简：．
拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　
　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为　
　．
19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
20．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF交AC于点M，EF交DC于点F，过点B作BG⊥AC于点G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求证：AH?CM＝BH?EM；
（3）若E是BC的中点，，AB＝6，求EM的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
B
D
D
A
B
D
C
1．解：A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；
B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；
C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；
D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；
故选：A．
2．解：∵AB＝1，
设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，，
解得x1，x2（不合题意舍去），
经检验x1是原方程的解．
故选：A．
3．解；∵DE∥BC，
∴，
∵，AD＝6，
∴，
∴AB＝8，
故选：A．
4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是对应高，AD：A′D′＝2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：1，
故选：B．
5．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
6．解：由作法得DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，所以①正确；
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
而∠BAC＝90°，
∴AE为斜边BC边上的中线，
∴AEBC，所以②正确；
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠B＝∠DCB，
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠FAD＝∠FCE，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF∽△CEF，
∴AF：CF＝DF：EF，
∴AF?EF＝DF?CF，所以③正确；
在Rt△ABC中，AC6，
∵DB＝DC，
∴△ADC的周长＝AD+CD+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝8+6＝14，所以④正确．
故选：D．
7．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD．
故选：A．
8．解：∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2，B（2，2），
∴点D的坐标为：（1，1）．
故选：B．
9．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC：EF＝DC：DE，
∵DE＝30cm＝0.3m，EF＝15cm＝1.5m，AC＝1.5m，CD＝7m，
∴，
∴BC＝3.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+3.5＝5m，
故选：D．
10．解：如图，设EF＝5cm，
∵裁出的是矩形纸条，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，即，
解得：AE＝3.75（cm），
∴CE＝AC﹣AE＝30﹣3.75＝26.25（cm），
∵裁得的纸条的长都不小于5cm，
∴CE≤26.25cm，
∵纸条宽度为1cm，
∴CE最大是26cm，
∴最多可以裁得的纸条的张数为26．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
11．解：∵，
∴xy，
∴．
故答案为：．
12．解：∵BEAB，CFAC，
∴则，，
分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则EE1∥FF1，
∴△EE1P∽△FF1P，
，，，
又BD＝CD，
∴，
∴，
故答案为：．
13．解：∵以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，得到△E'F'O，点E的坐标为（﹣4，2），
∴点E的对应点E'的坐标（﹣4，2）或（4，﹣2），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
14．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，AD，，
延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，
∴△AA1B∽△DAO，
∴，
∵AD＝AB，
∴A1B，
∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（）2＝5?（）2；
同理可得，A2C2＝（）2
第2个正方形的面积为：S2＝5?（）4
…
∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5?（）4038．
故答案为：5?（）4038．
三．解答题（共6小题）
15．解：设x＝2k，y＝3k，z＝5k，（k≠0），
∵x+2y+3z＝﹣46，
∴2k+6k+15k＝﹣46，
解得：k＝﹣2，
∴x＝﹣4，y＝﹣6，z＝﹣10．
16．解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）如图，△A2OB2为所作．
17．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA+∠APD+∠DPC＝180°，且∠APD＝60°，
∴∠BPA+∠DPC＝120°，
∵∠DPC+∠C+∠PDC＝180°，
∴∠DPC+∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴CD，
∵△ABP∽△PCD，
∴，
设AB＝x，则PC＝x﹣1，
∴，
∴x＝3．
即AB＝3．
∴△ABC的边长为3．
18．解：类比应用：（1）根据题意可得：
化简：2；
故答案为：2；
（2）根据题意可得：
原式1
＝3﹣1
＝2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
则黄金矩形ABCD的长BC为：
1：；
故答案为：；
（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：
AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，
根据黄金矩形的性质可知：
AD＝BC＝1：；
∴FD＝EC＝AD﹣AF1，
∴1；
所以矩形DCEF是黄金矩形；
（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB＝EF＝1，AD，
∴AE，
在△AED中，
S△AEDAD×EFAE×DG，
即AD×EF＝AE×DG，
则1DG，
解得DG．
所以点D到线段AE的距离为．
故答案为：．
19．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴．
因此，，
解得a＝120x．
∴120x＝x，
解得：x＝48
所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120x）x2+120x482+120×48＝2304mm2
所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．
（2）由Sx2+120x，
当x40时，a＝60．
S最大值＝40×60＝2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠ECF＝90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC＝90°．
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠ABH＝∠ECM，
由（1）知，∠BAH＝∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；，
∴，
∴AH?CM＝BH?EM；
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵，AB＝6，
∴BC＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝4，
∵△ABE∽△ECF，
∴，即
∴CF，
∵CD∥RM∥AB，
∴△ERM∽△ECF，△CRM∽△CBA，
∴，，即，，
∴RM，
∵，
∴，
∴，
∵△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴EMRM．