2020—2021学年人教版九年级数学下册第27章相似常考题型综合练习四（word版含答案）

九年级数学下册第27章《相似》常考题型综合练习四
1．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，以CD为一边，向上作等腰△DCE，使△EDC∽△ABC，连AE，求证：
（1）∠BCD＝∠ACE；
（2）AE∥BC．
3．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．
请判断：∠APB是否为∠MON的智慧角，并说明理由．
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：DF?DE＝CE?CB；
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
5．已知：如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在边AD、AB，∠DCM＝∠BCN，CN与BD交于点E．
（1）求证：DM＝BN；
（2）当四边形MNBE是平行四边形时，求证：＝．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，求∠ABC的度数．
7．菱形ABCD中，∠BAD是锐角，AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上一动点（不与点D重合），连接EC并延长和AB的延长线交于点F，连接AE．
（1）比较∠F和∠ABD的大小，并说明理由；
（2）当△BFC有一个内角是直角时，求证：△BFC∽△EFA；
（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角），且AC＝12，DE＝5时，求△BFC与△EFA的相似比．
8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F；
（1）求证：AF＝EF；
（2）求tan∠ABF的值；
（3）连接AC交BE于点G，求AG的长．
9．如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画交AB于D，且∠BDC＝90°+∠A，点P是上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．
10．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3）．
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴＝＝，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．
（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠△CBF，＝，
又∵∠CAE+∠CBE＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°，
又∵＝＝，AE＝2
∴＝，
∴BF＝，
∴EF2＝BE2+BF2＝3，
∴EF＝，
∵CE2＝2EF2＝6，
∴CE＝．
2．证明（1）∵△EDC∽△ABC，
∴∠ECD＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE；
（2）由（1）知∠BCD＝∠ACE，
∵△ABC∽△EDC，
∴＝，
∴△BCD∽△ACE
∴∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE∥BC．
3．证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝135°，
∵∠APB＝135°，
∴∠APO+∠OPB＝135°，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2＝OA?OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角．
4．（1）证明：∵平行四边形ABCD，∠AFE＝∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠CED，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC，
∴＝，即DF?DE＝CE?AD，
则DF?DE＝CE?CB；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：DE＝＝3，
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得：AF＝2．
5．（1）证明：在菱形ABCD中，
∵CD＝BC，∠CDM＝∠CBN，
在△CDM与△CBN中，，
∴△CDM≌△CBN，
∴DM＝BN；
（2）解：∵四边形MNBE是平行四边形，
∴ME∥AB，
∴，
∵DC∥AB
∴△CDE∽△NBE，
∴＝，
∴，
∵DM＝NB，
∴＝．
6．证明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（2）设AE＝x，
∵AE：EC＝1：2，
∴EC＝2x，
由（1）得：△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AE?AC，即AB2＝x?3x
∴AB＝x，
又∵BA⊥AC，
∴BC＝2x，
∴∠ACB＝30°，
∵F是BC中点，
∴BF＝x，
∴BF＝AB＝AD，
连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°．
7．解：（1）∵∠ABD为△BFE的一个外角，
∴∠ABD＞∠F；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠ABD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠FBC，∠BAD+∠ABC＝180°
又∵∠BAD为锐角，
∴∠FBC为锐角，∠ABC为钝角，
∴∠ABD为锐角，
由（1）得：∠F也为锐角，
又∵△BFC有一个角是直角，
∴∠BCF为直角，
∵在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE＝90°，
∴∠FCB＝∠FAE＝90°，
∴△BFC∽△EFA．
（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角）时
∵∠BCE为△BFC的外角，
∴∠BCE＞∠FBC，∠BCE＞∠F，
∴∠BAE＝∠BCF＝∠BCE＝90°，∠FBC＝∠AEF，
∴∠OAD＝∠OEA
∴△OAD∽△OEA，
∴AO2＝OD×OE，
设OD＝x，列方程得：36＝x（x+5），
解得：x＝4，
∴BC：AE＝AD：AE＝AO：OE＝2：3．
8．（1）证明：∵△EBD是由△CBD折叠而得，
∴ED＝DC，BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BED＝90°，
∴ED＝AB，
∴∠ABF＝∠EDF，
∵在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF＝EF；
（2）解：设AF＝x，
∵AB＝3，BC＝BE＝4，AF＝EF
∴BF＝4﹣x，
∵∠BAF＝90°
∴AF2+AB2＝BF2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠ABF＝＝＝；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC；
∴AC＝＝＝5，
∴△AGF∽△CGB，
∴＝，
设AG＝m，则CG＝5﹣m，
∴＝，
解得m＝，即AG＝．
9．解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC＝，
∴∠ADC＝，
∴∠ACD＝﹣∠A＝，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣2×15°＝80°，
∵∠BPC＝∠BDC＝，
∴∠PCB＝180°﹣15°﹣125°＝40°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝80°﹣40°＝40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至的中点，
∴∠ABP＝∠CBP，
设∠A＝x度，∠ABP＝∠CBP＝y度，
∴∠PCB＝180﹣y﹣（）＝90﹣y﹣，
∵∠ACB＝180﹣x﹣2y，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝（180﹣x﹣2y）﹣（90﹣y﹣）＝90﹣y﹣，
∴∠PCB＝∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP＝∠CNP＝90+＝∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
10．解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB＝3，AO＝4，
∴AB＝＝5；
（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO2＝AO?OC，即OC＝＝＝2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；
（3）
当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴＝，
∵AP＝CQ＝x，
∴＝，
解得x＝．
当△APQ与∽△ACB时，，
即，
解得：x＝
答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；（3）存在，x的值为或．