2020--2021学年苏科版七年级下册 第7章 《平面图形的认识（二）》 单元易错题（四）（Word版 含解析）

2020--2021学年七年级下册
第7章
《平面图形的认识（二）》
单元高频易错必刷题（四）
1．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．
（1）求证：EF∥CD；
（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．
2．线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．
（1）若点P在线段AD上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．
3．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．
（1）求证：HG∥AE．
（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数．
4．如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，则有MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请你在括号内填上依据．
思考过程：
因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°
（　
　）
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
所以　
　（同位角相等，两直线平行）．
所以∠2＝∠CBD
（　
　）
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠CBD
（　
　）．
所以　
　（内错角相等，两直线平行），
因为∠BMD+∠ABC＝180°
（　
　），
所以MD∥BC
（　
　）
所以MD∥GF
（　
　）
5．如图，已知∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝4∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD．
6．完成下面的证明：
（1）已知：如图1，AB∥CD．
求证：∠1+∠3＝180°．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠1+∠2＝180°（　
　），
又∵∠2＝∠3（　
　），
∴∠1+∠3＝180°（　
　），
（2）已知：如图2，AM∥EF，∠1＝∠B．
求证：∠2＝∠C．
证明：∵∠1＝∠B（已知），
∴EF∥BC（　
　），
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（　
　），
∴∠2＝∠C（　
　）．
7．【生活常识】
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
【现象解释】
如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．已知：∠1＝55°，求∠4的度数．
【尝试探究】
如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON＝46°，求∠CEB的度数．
【深入思考】
如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，α与β之间满足的等量关系是　
　．（直接写出结果）
8．完成推理填空：
已知，如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．试说明AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠　
　＝90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（　
　），
∴∠1＝∠2（　
　），
∠　
　＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠　
　＝∠　
　（等量代换），
∴AD平分∠BAC．
9．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC＝∠A+∠C．
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠A．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C．
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝　
　．
（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝　
　．
10．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　
　°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．
参考答案
1．（1）证明：如图1，连接FD，
∵EB＝EF，CB＝CD，
∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠FBD＝90°，
∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，
∴∠EFB+∠CDB＝90°，
∴∠EFD+∠CDF＝180°，
∴EF∥CD；
（2）成立，
证明：如图2，连接FD，延长CB到H，
∵EG∥BC，
∴∠EGF＝∠HBF，
∵∠FBD＝90°，
∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，
∴∠EGF+∠CBD＝90°，
∵EG＝EF，CB＝CD，
∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠EFB+∠CDB＝90°，
∴∠EFD+∠CDF＝180°，
∴EF∥CD．
2．解：（1）①根据题意作出图形如下：
②AM∥DN．
证明：∵AM平分∠BAD，DN平分∠CDA，
∴∠DAM＝，，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴∠DAM＝∠ADN，
∴AM∥DN；
（2）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时，AM⊥DN．
证明：如下图，
∵AB∥CD，
∴∠PAF＝∠PDC，
∵∠PAF+∠PAB＝180°，
∴∠PDC+∠PAB＝180°，
∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDA，
∴∠BAM＝，，
∴∠CDN+∠BAM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDN，
∵∠EAF＝∠BAM，
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AM⊥DN．
3．（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF，
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG＝∠CEG，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，
∴AE⊥EG，
∵HG⊥EG，
∴HG∥AE；
（2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°，
∴∠AEB＝70°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝70°，
∵HG∥AE，
∴∠DHG＝∠DAE＝70°．
4．解：因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换），
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠CBD（等量代换），
所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行），
因为∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
所以MD∥GF（同旁内角互补，两直线平行），
所以DM∥BC（平行于同一条直线的两条直线平行）；
故答案为：垂直的定义；BD∥EF；两直线平行，同位角相等；等量代换；BC∥GF；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
5．（1）解：∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠EDC+∠C＝180°，
∵∠EDC＝4∠C，
∴4∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝36°；
（2）证明：∵DE∥AC，
∴∠E＝∠ABE，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
6．（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＝∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠3＝180°（等量代换），
（2）证明：∵∠1＝∠B（已知），
∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行），
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
7．（1）解：如图2中，
∵∠1＝∠2，∠1＝55°．
∴∠2＝55°．
∵OM⊥ON．
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°．
∵∠4＝∠3．
∴∠4＝35°．
（2）解：如图3中，
∵∠MON＝46°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣46°＝134°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣134°×2＝92°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣92°＝88°．
（3）解：结论：β＝2α．
理由：如图4中，
∵∠E+∠EBD＝∠O+∠4，∠4＝∠3＝∠O+∠2，∠1＝∠2＝∠EBD，
∴β+∠1＝α+α+∠1，
∴β＝2α．
8．证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC．
故答案为：EGC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；E；2；3．
9．解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：
∵EM∥AB，
∴∠1＝∠B，
又∵FN∥AB，
∴FN∥EM，
∴∠2＝∠3，
又∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠4+∠C＝180°，
又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°
∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C
＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）
＝60°+180°
＝240°；
（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，
又∵EF∥AB，
∴2∠1+∠7＝180°，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴2∠4+∠8＝180°，
∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），
又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，
∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，
又∵MN∥AB，
∴∠1＝∠5，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠6，
∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，
又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，
∴∠BGC+2∠BHC＝180°，
又∠BGC＝∠BHC+27°，
∴3∠BHC+27°＝180°，
∴∠BHC＝51°；
故答案为：240°，51°．
10．解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．