2020-2021学年九年级数学人教版下册 第二十七章 相似 培优综合练（Word版 含答案）

人教版九年级数学下册 第二十七章 相似
培优综合练
1．（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为　 　．
2．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
（1）求证：AB2＝BF?DE；
（2）若，求证：EF∥MN．
3．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证：．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）以坐标原点O为位似中心，2为位似比．将△ABC放大，得到△A'B'C′．请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
（2）求出△A'B'C的面积．
5．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
7．如图所示，在?ABCD中，AE：EB＝1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．
8．已知：?ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．
（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；
（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．
9．如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．
（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？
（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
10．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD?OC＝AB?OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．
求证：（1）CE⊥AB；
（2）AF?DE＝AG?BC．
参考答案
1．（1）证明：方法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，
∴∠B＝∠BFD，
∴BD＝FD，
方法二：
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∵AB＝AC，
∴BD＝FD；
∵BD＝CE，
∴DF＝CE，
在△FDM和△CEM中，
，
∴△FDM≌△CEM（AAS），
∴FM＝CM；
（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，
∴BN＝FN，
∵FM＝CM，
∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，
∵AB＝AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴MN＝BC＝．
故答案为：．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，
∴∠AED＝∠BAF，
∴△AED∽△FAB，
∴，
即AD?AB＝BF?DE，
∴AB2＝BF?DE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△BME∽△DAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴MN∥BD，
∴EF∥MN．
3．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠EDC＝∠EBD，
∵∠DEF＝∠DEB，
∴△EDF∽△EBD，
∴＝＝，
（）2＝?，
∴．
4．解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）△A'B'C的面积＝4S△ABC＝4（2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2）＝6．
5．解：（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴8﹣y：8＝y：10，
解得：y＝；
（2）设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．
6．解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t?（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
7．解：（1）∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF
∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，
即△AEF与△CDF的周长比为1：3；
（2）∵△AEF∽△CDF，
∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2，
即6：S△CDF＝（1：3）2
∴S△CDF＝6×9＝54 cm2．
∵＝＝，
∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，
∴∠BAG＝∠DEA，
∴△ABG∽△EDA
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，
∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BFE，
∴＝，
∴AD＝BE，
∴BC＝CE，
∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．
9．解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．
∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，
∴四边形PMCN是菱形，
∴CP⊥NM，CH＝PH，
∴PH＝PN?cos53°≈30（cm），
∴PC＝2PH＝60cm，
∴PB＝PC﹣BC＝40cm．
（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．
∵四边形CMBN是菱形，
∴CJ＝JB＝10cm，
∵MJ∥EH，
∴△CMJ∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝24，
∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，
∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．
10．证明：（1）∵AD?OC＝AB?OD，
∴，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，
∴Rt△ADB∽Rt△ODC，
∴∠ABD＝∠OCD，
又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．
∴∠OEB＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△ADB和△AEC中，
∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，
∴△ADB∽△AEC，
∴，即，
在△DAE和△BAC中
∵∠DAE＝∠BAC，．
∴△DAE∽△BAC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴，即AF?DE＝AG?BC．