（试题1）第二章推理与证明综合测试
文档属性
| 名称 | （试题1）第二章推理与证明综合测试 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 196.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-23 17:11:52 | ||
图片预览
文档简介
推理与证明综合测试卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．下面说法正确的有（ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3．若，且，则的最大值为（ ）
Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17
4．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
5．设为奇函数，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件
8．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，
，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（ ）
Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确
Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确
9．若数列满足：，且对任意正整数都有，则数列是（ ）
Ａ．首项为，公差为的等差数列 Ｂ．首项为，公比为的等比数列
Ｃ．首项为，公差为的等差数列 Ｄ．首项为，公比为的等比数列
10．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知是正实数，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）
Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，，，，则四面体的体积 ．
14．长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．
15．在三角形中，若，则三角形是直角三角形；在三角形中，若，则三角形是 三角形．
16．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）证明：对于任意实数都有．
18．（本小题13分）已知．
（1）求证：；
（2）求证：，，中至少有一个不小于．
19．（本小题14分）已知，考查
①；
②；
③，
归纳出对，，…，都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
20．（本小题15分）已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
21．（本小题15分）自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当、、、满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）
（3）设，，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1、答案：Ｃ
解析 当，时，式子成立
2、答案：Ｃ
解析 错误的是①
3、答案：Ｃ
解析 ＝－x2+8x=-(x-4)2+16
4、答案：Ｃ
解析 不可能是平行直线
5、答案：Ｃ
解析 f(1+4)=f(1)+f(4)=+2=
6、答案：Ｄ
解析
7、答案：Ｂ
解析 充要条件
8、答案：Ｄ
解析 从到的推理不正确
9、答案：Ｂ
解析 等比数列，公比为
10、答案：Ｄ
解析 根据定义的集合关系，集合的所有元素之和为8
11、答案：Ｂ
解析 根据放缩法证明：＞＋＋＋＝1，同样得到＜2
12、答案：Ｂ
解析 剩余的弹子应是4的倍数
二、填空题
13、答案：
14、答案：长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有
15、答案：锐角三角形
16、答案：不存在
三、解答题
17、证明：（分析法）要证，
只需证明，
即．
要证，
只需与同时成立即可．
又知，即成立，
只需再有成立即可．
由于，
与同号，
，即成立，
对于任意实数都有成立．
18、证明：（1）；
（2）（反证法）假设，，中至少有一个不小于不成立，则假设，，都小于，则，
即． ①
而，
即，
即，这与①矛盾，
从而假设不成立，原命题成立，即，，中至少有一个不小于．
19、解：归纳得．下面用数学归纳法证明：
（1）由已知，时，不等式成立．
（2）假设时，不等式成立，即有，
则当时，
．
20、解：（1），，；
（2），
当时，
；
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的问题可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为．
21、解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，
即，；
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，
，即．
，．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变；
（3）若的值使得，．
又，，则，，特别地，有，即．
而，所以．
由此猜想的最大允许值是．
下证：当，时，都有，．
①当时，结论显然成立．
②假设当时，结论成立，即．
则当时，．
又因为，
所以．故当时，结论成立．
由①②可知，对于任意的都有．
综上所述，为保证对任意的都有，，则捕捞强度的最大允许值是．
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．下面说法正确的有（ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3．若，且，则的最大值为（ ）
Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17
4．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
5．设为奇函数，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件
8．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，
，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（ ）
Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确
Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确
9．若数列满足：，且对任意正整数都有，则数列是（ ）
Ａ．首项为，公差为的等差数列 Ｂ．首项为，公比为的等比数列
Ｃ．首项为，公差为的等差数列 Ｄ．首项为，公比为的等比数列
10．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知是正实数，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）
Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，，，，则四面体的体积 ．
14．长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．
15．在三角形中，若，则三角形是直角三角形；在三角形中，若，则三角形是 三角形．
16．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）证明：对于任意实数都有．
18．（本小题13分）已知．
（1）求证：；
（2）求证：，，中至少有一个不小于．
19．（本小题14分）已知，考查
①；
②；
③，
归纳出对，，…，都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
20．（本小题15分）已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
21．（本小题15分）自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当、、、满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）
（3）设，，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1、答案：Ｃ
解析 当，时，式子成立
2、答案：Ｃ
解析 错误的是①
3、答案：Ｃ
解析 ＝－x2+8x=-(x-4)2+16
4、答案：Ｃ
解析 不可能是平行直线
5、答案：Ｃ
解析 f(1+4)=f(1)+f(4)=+2=
6、答案：Ｄ
解析
7、答案：Ｂ
解析 充要条件
8、答案：Ｄ
解析 从到的推理不正确
9、答案：Ｂ
解析 等比数列，公比为
10、答案：Ｄ
解析 根据定义的集合关系，集合的所有元素之和为8
11、答案：Ｂ
解析 根据放缩法证明：＞＋＋＋＝1，同样得到＜2
12、答案：Ｂ
解析 剩余的弹子应是4的倍数
二、填空题
13、答案：
14、答案：长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有
15、答案：锐角三角形
16、答案：不存在
三、解答题
17、证明：（分析法）要证，
只需证明，
即．
要证，
只需与同时成立即可．
又知，即成立，
只需再有成立即可．
由于，
与同号，
，即成立，
对于任意实数都有成立．
18、证明：（1）；
（2）（反证法）假设，，中至少有一个不小于不成立，则假设，，都小于，则，
即． ①
而，
即，
即，这与①矛盾，
从而假设不成立，原命题成立，即，，中至少有一个不小于．
19、解：归纳得．下面用数学归纳法证明：
（1）由已知，时，不等式成立．
（2）假设时，不等式成立，即有，
则当时，
．
20、解：（1），，；
（2），
当时，
；
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的问题可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为．
21、解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，
即，；
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，
，即．
，．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变；
（3）若的值使得，．
又，，则，，特别地，有，即．
而，所以．
由此猜想的最大允许值是．
下证：当，时，都有，．
①当时，结论显然成立．
②假设当时，结论成立，即．
则当时，．
又因为，
所以．故当时，结论成立．
由①②可知，对于任意的都有．
综上所述，为保证对任意的都有，，则捕捞强度的最大允许值是．