（试题2）第二章推理与证明综合测试

推理与证明单元测试题
一．选择题
1.下列关于推理的表述，正确的是：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理．④由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是类比推理．
A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①③
【答案】C.
【解析】归纳推理是由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”．对以上推理正确地评述是：
A．推理形式错误 B．大前提错误 C．大前提和结论都正确 D．大前提和结论都错误
【答案】B.
【解析】 大前提“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”是错误的.
3.我们把1，4，9，16，25，……这些数称为正方形点数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示，则第n个正方形数点是（ ）
A、n（n－1） B、n（n＋1） C、 D、
【答案】：C
【解析】1，4，9，16，25分别为序号的平方，所以第n个正方形点数为，
故选C.
4.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果与是两条平行直线的同旁内角，则
B．某校高三（1）班有55人，高三（2）班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．鲁班通过研究带齿的草叶和蝗虫的齿牙,发明了锯；
D．在数列中，，，通过计算，，由此归纳出的通项公式
【答案】A.
【解析】B、D是归纳推理；C是类比推理.
5. 如果且那么的大小关系是（ ）
A、 B、
C、 D 、
【答案】B
【解析】因为即（a＋1）a<0,可得－1所以0>－a综上知选择B.
6. 下列类比恰当的是（ ）
A．若”a·３＝b·３，则a=b”类推出“a·0=b·0,则a=b”
B．“(a+b)c=ac+bc” 类推出“(a·b)c=ac·bc”
C． “(a+b)c=ac+bc” 类推出“(a+b)/c=a/c+b/c”
D．“(ab)n =anbn” 类推出“(a+b)n =an +bn”
【答案】：C
【解析】：A、B、D之间的类比都不合适．
7. 用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设的结论，应将变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】：。所以B是正确答案。
8.已知函数，若实数是函数的零点，且0<，则的值为（ ）
A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0
【答案】A
【解析】根据函数知识容易判断函数是减函数，又是函数的零点，所有，又0<，利用函数单调性得：，所以的值恒为正。
9. 用数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝，（）时，从“n＝k”到“n＝k＋1”可两边同乘以一个代数式，它是（ ）
A、2k＋1 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】n＝k时，即（k＋1）（k＋2）…（k＋k）＝，当n＝k＋1时：
（k＋2）（k＋3）…（2k）（2k＋1）（2k＋2），故要求同乘：，故选D.
10. 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径:
A. B． C． D．
【答案】A.
【解析】将四面体补充成长方体：.
11. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的，都有，求证：.那么他的反设应该是：
A．，使得且
B．，使得且
C．，使得且
D．，使得且
【答案】C.
【解析】反证法就是否定命题的结论.
12.若函数y＝f（x）得定义域为D，若对任意的，，都有，则称为函数y＝f（x）为“Storm”函数那么下列函数是“Storm”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】：根据定义知小于等于函数f（x）最大值与最小值之差的绝对值，故若判断一个函数是否是“Storm”函数只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可，在D选项中因为在上是减函数，所以m＝f（3）＝，M＝f（1）＝1，所以，所以该函数是“Storm”函数，所以选择D。
二．填空题
13．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”的大前提是
【答案】．矩形的对角线相等
【解析】：此推理省略了大前提
14 用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，
第100个图形中有白色地砖________块；
【答案】603
【解析】按拼图的规律，第1个图有白色地砖（3×3－1）块，第2个图有白色地砖（3×5－2）块，第3个图有白色地砖（3×7－3）块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503（块），第100个图中黑白地砖共有603块。
15.命题甲： 成等比数列，命题乙：lgx，lg（x＋1）,lg(x+3)成等差数列，则甲是乙的_________。（填写充分、必要条件）
【答案】必要不充分条件
【解析】：根据甲命题得：，解得x＝1或x＝－2；
根据命题乙得：，解得x＝1，所以由乙命题可以得到甲命题，但是由甲得不到乙命题，所以选择B。
16. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。
答案：59。
解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。
17.若，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况）
①②③④
【答案】：1个
【解析】①项，所以，；②项，；
③项，所以；④项，因为，
所以，得，故只有④正确。
18.已知数列的通项公式为，记，试通过求f（1）、f（2）、f（3）的值，推测出
f（n）＝_____.
【答案】
【解析】因为；；
，所以
19. 若存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除，则m的最大值为
【答案】36
【解析】：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36。可以利用数学归纳法证明：
三．解答题
20. 请阅读下列不等式的证法:已知，求证:．
证明：构造函数,
则
因为对一切，恒有≥0，所以≤0，
从而得．
请回答下面的问题：
（Ⅰ）若，请写出上述结论的推广式；
（Ⅱ）参考上述证法，请证明你的推广式．
解：（Ⅰ）推广形式：若，
则．
（Ⅱ）证明：构造函数
则
因为对一切，恒有≥0，
所以≤0，
从而得．
21. 已知正数数列中，前n项和为，且2，用数学归纳法证明：
解：（1）当n＝1时，，结论成立。
（2）假设当n＝k时，结论成立，即，
则当n＝k＋1时，
，故当n＝k＋1时，结论也成立，由（1）（2）知，对于一切正整数n，结论都成立。
22. 已知m，a，n成等差数列，m，b，c，n成等比数列，其中m，n>0，求证：
证明：据已知2a＝m＋n，则要证，即证，又m>0，
所以只需证，又已知m，b，c，n成等比数列，设其公比为q，且由m，n>0知q>0，则，，所以只需证，
即，也就是，而此式显然成立，
所以即得证
23. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，
（1）则此数列的通项公式为；
（2）如果把乙图中的直角三角形继续作下去，那么的长为多少？
解：（1）由已知可得：，且，则，，
，…，，将以上各式相加，得
，
所以，即
（2）
24. 如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
（Ⅰ）求证：EN//平面PCD；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
解析：（Ⅰ）证明：
，
∴点M为PC的中点，又E为AD的中点，
∴四边形DENM为平行四边形.，∴EN//DM，∴EN//面PDC
（Ⅱ）连结PE、BE
∵ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°，∴BE⊥AD 又∵PE⊥AD
∴AD⊥面PBE，∴AD⊥PB
又∵PA=AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB，∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
25. 已知，
（1）分别就判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的相应的猜想，并证明这个猜想。
解：（1）当时，m=n=1,当时，， 故由此可以猜想：
任意的，有，当且仅当a=b时取得等号；
（2）类比第（1）小题，对于任意的，猜想：
,当且仅当a=b=c时取得等号。
证明如下：
对于，要证成立，
只需证：
即证：
即证： (*)
∵对于，有
同理:, 　
∴不等式（*）成立。
要使（*）的等号成立，必须，
故当a=b=c时等号成立。
备用题目
直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于A、B两点。求证：对于该抛物线的任意给定的一个弦CD，直线不可能是CD的垂直平分线。
解：设C、D两点的坐标分别是，则，且，假设直线是CD的垂直平分线，由焦点，得
，即，
所以
又，所以，
那么，该结论与实数平方和为非负数相矛盾，故假设不成立，直线不可能是CD的垂直平分线。
ICME－7
图甲
O
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
图乙