章末复习
一、不等式性质的应用
1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．
2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养．
例1 下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a2>b2，则a>b
C．若a>b，c<0，则a＋c
D．若<，则a答案 D
解析 选项A中，当c＝0时不符，所以A项错；
选项B中，当a＝－2，b＝－1时，符合a2>b2，不满足a>b，B项错；
选项C中，a＋c>b＋c，所以C项错；
选项D中，因为0≤<，由不等式的可乘方性，()2<()2，即a反思感悟 利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度．
跟踪训练1 设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋≥2
B．a2＋b2≥2ab
C．a＋b＋≥2
D.＋≥2＋
答案 D
解析 可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a＝b＝1，
则＋＝2,2＋＝3，故D不正确．
二、解不等式
1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．
2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．
3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．
跟踪训练2 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集．
解 (1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，
由根与系数的关系，得解得a＝－2.
(2)将a＝－2代入不等式，得>3，即－3>0，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2三、基本不等式的应用
1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．
2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．
例3 (1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是( )
A．2
B．3－2
C．3＋2
D．3＋
答案 C
解析 ＋＝(2a＋b)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值是3＋2.
(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A．3＋2
B．3－2
C．6－4
D．6＋4
答案 D
解析 ＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋＋＋＋
≥4＋2＋2＋2
＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝c＝1－，b＝时，等号成立．
反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．
(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．
跟踪训练3 已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解 因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝，即＝时，等号成立，
所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，所以ab＝16.
所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
四、不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．
例4 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1
500元，求x的取值范围；
(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
解 (1)根据题意，
有100≥1
500，
即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－，
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，
则u＝24
000，1≤x≤10，
记y＝－＋＋5(1≤x≤10)，
则y＝－32＋＋5(1≤x≤10)，
当x＝6时，y取得最大值，
此时u＝24
000×＝122
000，
故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122
000元．
反思感悟 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．
跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4
000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解 (1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x＝4
000，得a＝.
则S＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4
000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4
160(x>1)．
(2)80＋4
160≥80×2＋4
160＝1
600＋4
160＝5
760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
1．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.
B.
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>－1}
答案 B
解析 方法一 由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．
由一元二次方程根与系数的关系，知
解得
则2x2＋bx＋a<0的解集即为2x2＋x－1<0的解集，是.
方法二 由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．
分别把x＝－1,2代入方程ax2＋bx＋2＝0中，
得
解得
则2x2＋x－1<0的解集是.
2．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)≥4
B．a3＋b3>2ab2
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D.≥－
答案 B
解析 当a＝b时，a3＋b3＝2ab2，
故a3＋b3>2ab2不恒成立，故选B.
3．若不等式x2＋ax＋1≥0在0A．0
B．－2
C．－
D．－3
答案 B
解析 ∵x2＋ax＋1≥0在0∴ax≥－x2－1在0∴a≥max，0∵x＋≥2，∴－≤－2，当且仅当x＝1时取“＝”，
∴a≥－2，故选B.
4．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
答案 36
解析 y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，
此时ymin＝4.
又由已知x＝3时，ymin＝4.
∴＝3，即a＝36.
5．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为{x|x1答案
解析 由题意，可知x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的两个根，则x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，所以x1＋x2＋＝4a＋≥，当且仅当a＝时，等号成立．第2课时 基本不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数；
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
预习小测 自我检验
1．已知0答案
解析 y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)
≤2＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取“＝”．
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
答案 20
解析 总运费与总存储费用之和
y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，
即x＝20时取等号．
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N
)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．
答案 8
解析 年平均利润＝－x＋18－＝－＋18≤－2＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”．
4．已知x>2，则x＋的最小值为________．
答案 6
解析 x＋＝x－2＋＋2，
∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”．
一、利用基本不等式变形求最值
例1 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥6＋10＝16，
当且仅当＝，
又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
延伸探究 若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
解 方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．
跟踪训练1 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝1＋4＋＋.
∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9.
当且仅当即x＝，y＝时等号成立．
∴min＝9.
二、基本不等式在实际问题中的应用
例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．
那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解 设该批产品的利润为y，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0≤x≤3.
∵21－≤21－2＝17，
当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，ymax＝17.
答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立．
跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1
000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．
解 由题意，得k＋9＝10，即k＝1，
生产1
000千克该产品需要的时间是，
所以生产1
000千克该产品消耗的A材料为
y＝(x2＋9)＝1
000≥1
000×2＝6
000，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且1<3<10.
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6
000千克．
基本不等式在实际问题中的应用
典例 围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45
元/m，新墙的造价为180
元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360.
∵x>0，
∴225x＋≥2＝10
800.
∴y＝225x＋－360≥10
440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元．
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y＝x＋(a>0)就是一个应用广泛的函数模型．
1．设x>0，则3－3x－的最大值是( )
A．3
B．3－2
C．－1
D．3－2
答案 D
解析 ∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于( )
A．1＋
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5
m
B．6.8
m
C．7
m
D．7.2
m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.
4．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 ＋＝×(a＋2b)
＝
≥(4＋2)＝4.
当且仅当＝，即a＝1，b＝时等号成立，
∴＋的最小值为4.
5．设计用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2
m，则车厢的最大容积是________
m3.
答案 16
解析 设车厢的长为b
m，高为a
m.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤2＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．
1．知识清单：
(1)已知x，y是正数．
①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
即：“和定积最大，积定和最小”．
(2)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．
2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．
1．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18
B．16
C．8
D．10
答案 A
解析 x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．
2．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
答案 C
解析 由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝时，即a＝b＝18等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aB．v＝
C.D．v＝
答案 A
解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，
∵b>a>0，则v＝＝<＝，
又>＝a，故选A.
4．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝.
5．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是( )
A．4
B．5
C．8
D．10
答案 B
解析 依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B.
6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)
随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过_______
h后池水中该药品的浓度达到最大．
答案 2
解析 C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4
.
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．
7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案 20
解析 设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤2＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20
m时，面积最大．
8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N
)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
答案 5
解析 ∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝
＝－＋12≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．
9．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.
(1)求xy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，
∴2x＋5y≥2，
∴2≤20，即xy≤10，
当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为10.
(2)＋＝·(2x＋5y)
＝
＝
≥(7＋2)，
当且仅当x＝y时，等号成立．
∴＋的最小值为(7＋2)．
10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100
km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
解 设总费用为y元．
由题意，得
y＝76.4×＋7.2××
＝＋2x(40≤x≤100)．
因为y＝＋2x≥2＝280.
当且仅当＝2x，即x＝70时取等号．
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70
km/h.
11．设0A．10
B．9
C．8
D.
答案 B
解析 ∵00，
＋＝[x＋(1－x)]·
＝4＋＋＋1≥5＋2
＝5＋2×2＝9.
当且仅当＝，
即x＝时，等号成立．
∴＋的最小值为9.
12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－
B.
C.
D．－4
答案 A
解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
13．一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是( )
①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④.
A．①③
B．①③④
C．②④
D．②③④
答案 A
解析 设矩形的长和宽分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.
对于①(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，
根据基本不等式满足xy≤2，符合题意；
对于②(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，
根据基本不等式不满足xy≤2，不符合题意；
对于③(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式满足xy≤2，符合题意；
对于④，则x＋y＝，xy＝3，
根据基本不等式不满足xy≤2，不符合题意．
综合，可作为数对(S，l)的序号是①③.
14．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m>－10}
解析 ∵2x＋m＋>0在x>1时恒成立，
∴m>－2x－＝－2
＝－2，
又x>1时，x－1>0，
x－1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2≤－2×5＝－10.
∴m>－10，
∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．
15．若不等式ax2＋≥(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 原不等式可转化为a(x2＋1)＋≥，
又a>0，
则a(x2＋1)＋≥2＝2，
当且仅当a(x2＋1)＝，
即a＝时等号成立，
则根据恒成立的意义可知2≥，解得a≥.
16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
解 设2020年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．第2课时 等式性质与不等式性质
学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一 等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二 不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b?b?
2
传递性
a>b，b>c?a>c
不可逆
3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
?ac>bc
c的符号
?ac5
同向可加性
?a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
?ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
同正
1．若a>b，则a－c>b－c.( √ )
2.>1?a>b.( × )
3．a>b?a＋c>b＋c.( √ )
4.?a＋c>b＋d.( × )
一、利用不等式的性质判断或证明
例1 (1)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a答案 ①③
解析 对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
(2)已知a>b>0，c证明 因为c－d>0.
所以0<－<－.
又因为a>b>0，所以－>－>0.
所以>，即－>－，
两边同乘－1，得<.
反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练1 若<<0，有下面四个不等式：
①|a|>|b|，②ab3.
则不正确的不等式的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．
故不正确的不等式的个数为2.
二、利用性质比较大小
例2 若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为( )
A．PB．P＝Q
C．P>Q
D．不能确定
答案 C
解析 P2＝2a＋13＋2，
Q2＝2a＋13＋2，
因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，
所以>，
所以P2>Q2，所以P>Q.
反思感悟 比较大小的两种方法
作商比较法
乘方比较法
依据
a>0，b>0，且>1?a>b；
a>0，b>0，且<1?aa2>b2且a>0，b>0?a>b
应用范围
同号两数比较大小或指数式之间比较大小
要比较的两数(式)中有根号
步骤
①作商
②变形
③判断商值与1的大小
④下结论
①乘方
②用作差比较法或作商比较法
跟踪训练2 下列命题中一定正确的是( )
A．若a>b，且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b，且ac>bd，则c>d
答案 A
解析 对于A，∵>，∴>0，
又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，
∴a>0，b<0，故A正确；
对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错；
对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，
故C错；
对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错．
三、利用不等式的性质求范围
例3 已知12解 ∵15∴12－36又<<，∴<<，即<<4.
故－24延伸探究
已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
解 令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.
由解得
∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.
而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，
∴5≤4a－2b≤10.
反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
跟踪训练3 已知0答案 －<2a－b<
解析 因为0且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)，
结合不等式的性质可得，
－<2a－b<.
1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
答案 C
解析 由a＋b>0知，a>－b，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．a>b?ac2>bc2
B.>?a>b
C.?>
D.?>
答案 C
解析 当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b?<，即>，C成立．同理可证D不成立．
3．若a>b>0，cA.>
B.<
C.>
D.<
答案 B
解析 因为c－d>0，
即>>0.
又a>b>0，所以>，
从而有<.
4．若a>b>c，则下列不等式成立的是( )
A.>
B.<
C．ac>bc
D．ac答案 B
解析 ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴<，
故选B.
5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
答案 －1<α－β<0
解析 ∵－<α<，
－<－β<，
∴－1<α－β<1.
又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.
1．知识清单：
(1)等式的性质．
(2)不等式的性质及其应用．
2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．
3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.<
B.<
C．a2D．|a|>|b|
答案 A
解析 ∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c
B．ac>bc
C.>0
D．(a－b)c2≥0
答案 D
解析 ∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，故选D.
3．已知a>b>c，则＋的值是( )
A．正数
B．负数
C．非正数
D．非负数
答案 A
解析 ＋＝＝，
∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，
∴＋>0，故选A.
4．若x>1>y，下列不等式不一定成立的是( )
A．x－y>1－y
B．x－1>y－1
C．x－1>1－y
D．1－x>y－x
答案 C
解析 利用性质可得A，B，D均正确，故选C.
5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>>
B.>>a
C.>a>
D.>>a
答案 D
解析 ∵a<0，b<－1，∴>0，b2>1，
∴0<<1，∴0>>，
∴>>a.
6．不等式a>b和>同时成立的条件是________．
答案 a>0>b
解析 若a，b同号，则a>b?<.
7．给出下列命题：
①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
8．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________．
答案 z>y>x
解析 ∵a>b>c>0，
y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.
同理可得z>y，故z>y>x.
9．判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)若a(2)<，则a>b；
(3)若a>b，且k∈N
，则ak>bk；
(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
解 (1)假命题．∵a0，
∴>不一定成立，
∴推不出<，∴是假命题．
(2)假命题．当c>0时，c－3>0，则a(3)假命题．当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，
∴是假命题．
(4)假命题．当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝210．若－1解 设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
则解得
因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，
所以－<(a＋b)－(a－b)<，
所以－<2a＋3b<.
11．下列命题正确的是( )
A．若ac>bc，则a>b
B．若a2>b2，则a>b
C．若>，则aD．若<，则a答案 D
解析 对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a12．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．xy>yz
B．xz>yz
C．xy>xz
D．x|y|>z|y|
答案 C
解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.
所以由可得xy>xz.
13．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.<
B．a2>b2
C.>
D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 对于A，若a>0>b，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，
∴>恒成立，∴C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c
B．b>c>d>a
C．d>b>c>a
D．c>a>d>b
答案 A
解析 ∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，
∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b又a＋c综上可得，d>b>a>c.
15．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N
B．MC．M≤N
D．M>N
答案 B
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M16．若a>b>0，c.
证明 ∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，
即<.
又e<0，∴>.章末检测
试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b?<.
其中正确的命题个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 对于①，当a＝1，b＝－2时，a>b，但a2对于②，当ab2也成立，故②错误；
对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；
当a>0，b<0时，④错误．
2．已知a>1，b>1，记M＝＋，N＝，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
B．M＝N
C．MD．不确定
答案 A
解析 M＝＋＝≥>，故选A.
3．不等式<0的解集为( )
A．{x|x>1}
B．{x|x<－2}
C．{x|－2D．{x|x>1或x<－2}
答案 C
解析 原不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，则原不等式的解集为{x|－24．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为( )
A.
B.
C.
D．{x|x>2}
答案 B
解析 不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2>0，方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，则不等式3x2－7x＋2>0的解集是，故选B.
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
答案 B
解析 设每件产品的平均费用为y元，
由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．
6．若y＝－x2＋mx－1有正值，则m的取值范围是( )
A．m<－2或m>2
B．－2C．m≠±2
D．1答案 A
解析 因为y＝－x2＋mx－1有正值，
所以Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.
7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.>(a>b>0)
B．a2＋b2>2ab(a>b>0)
C.<(a>b>0)
D.<(a>b>0)
答案 D
解析 由图形可知OF＝AB＝，OC＝OB－BC＝－b＝，
在Rt△OCF中，
CF＝＝
＝>OF＝，故选D.
8．已知≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是( )
A.
B．4
C．8
D.
答案 B
解析 y2＝＝x＋1＋.
当x＝1时，y2取得最小值3，所以y1＝(x－1)2＋3.
所以当x＝2时，(y1)max＝4.故选B.
9．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.>
B.＋≤1
C.≥2
D.≤
答案 D
解析 由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，
∴≤，D正确．
10．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．－16≤a<0
B．a>－16
C．－16D．a<0
答案 C
解析 设y＝ax2＋ax－4，x∈R，
则由题意可知y<0恒成立．
当a＝0时，y＝－4<0满足题意；
当a≠0时，需满足即解得－1611．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A.
B．2
C．2
D．4
答案 C
解析 由＋＝知，a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
12．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．{m|－1B．{m|m<－1或m>4}
C．{m|－4D．{m|m<0或m>3}
答案 B
解析 因为不等式x＋所以min因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x＋＝
＝＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即x＝2，y＝8时取“＝”，
所以min＝4，故m2－3m>4，
即(m＋1)(m－4)>0，
解得m<－1或m>4，
所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<－1}．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知x>0，则7－x－的最大值为________．
答案 1
解析 因为x>0，则7－x－＝7－≤7－2＝1，当且仅当x＝即x＝3时取等号．
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．
答案
解析 由题图知，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－＝3且＝2，
所以b＝－3a，c＝2a且a>0.
不等式<0等价于(ax＋b)(cx＋a)<0，
即(x－3)(2x＋1)<0，所以－15.(x>0)的最小值为________．
答案
解析 ＝≥×(2＋3)＝.当且仅当x＝2时等号成立．
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50答案 60
解析 设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝
＝≤＝2
500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2
500.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的二次项系数为a，且不等式ax2＋bx＋c>－4x的解集为{x|1解 由题意得方程ax2＋bx＋c＝－4x的两个根是1,3，
即ax2＋(b＋4)x＋c＝0的两个根是1,3.
所以
所以b＝－4a－4，c＝3a.
又二次函数的最大值大于－3，即>－3，且a<0，
消去b，c得到关于a的不等式a2＋5a＋4>0，
解得a的取值范围是－118．(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集是{x|－1(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0.
解 (1)因为不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集为{x|－1所以－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，
所以可得解得
(2)当b＝2时，y＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，
因为a>0，
所以(x＋1)(ax－a＋2)>0可转化为
(x＋1)>0，
①若－1＝，
即a＝1时，解集为{x|x≠－1}．
②若－1>，即0解集为.
③若－1<，即a>1时，
解集为.
综上，当0当a＝1时，解集为{x|x≠－1}；
当a>1时，解集为.
19．(12分)设函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式ax2＋bx＋3>0的解集为{x|－1(2)若a＋b＝1，a>0，b>0，求＋的最小值．
解 (1)∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为{x|－1∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有解得
(2)∵a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
所以＋的最小值为9.
20．(12分)已知二次函数y＝x2－ax(a∈R)．
(1)若a＝2，求不等式x2－ax≥3的解集；
(2)若x≥1时，x2－ax≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．
解 (1)若a＝2，可得x2－2x－3≥0，(x－3)(x＋1)≥0，
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
(2)当x≥1时x2－ax≥－x2－2，即a≤2恒成立，
又2≥4＝4，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
所以a≤4，故所求a的取值范围是{a|a≤4}．
21．(12分)已知不等式>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为{x|x<－1}；
当a>0时，不等式的解集为.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为{a|a>1}．
22．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)
解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y1＝－4；
当4则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x<8，
所以此时0≤x≤4.
当4所以此时4综合得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂，
则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，
浓度y2＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4.
因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，
所以4≤4≤8，故y2≥8－a－4.
当且仅当14－x＝4时，y2有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，
所以a的最小值为24－16≈1.6.微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案 5
解析 ∵x>a，
∴x－a>0，
∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，
当且仅当x＝a＋1时，等号成立，
∴2＋a≥7，即a≥5.
反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
二、平方后使用基本不等式
例2 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．
答案
解析 (x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2
≤3·2＝3×2.
当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
三、展开后求最值
例3 若a，b是正数，则的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 ∵a，b是正数，
∴＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当b＝2a时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例4 已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A.
B.
C．2
D．3
答案 B
解析 由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]
＝
≥(5＋4)＝，
当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，故选B.
反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
五、代换减元求最值
例5 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号．
反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．
答案 6－1
解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，
即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)
≥2＝6，
当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，
即有3a＋4b的最小值为6－1.
例7 已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4
B．a＋b≥2
C．1D．a＋b>4
答案 A
解析 ∵a＋b＋＋＝5，
∴a＋b＋＝5.
∵a>0，b>0，ab≤2，
∴≥，
∴a＋b＋≥a＋b＋，
∴a＋b＋≤5，
即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，
当a＝b＝时，左边等号成立，
当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.
反思感悟 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．2．1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．
知识点一 基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据
如果a>b?a－b>0.
如果a＝b?a－b＝0.
如果a结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？
答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
知识点二 重要不等式
?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
预习小测 自我检验
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．
答案 T≤40
解析 “限重40吨”是不超过40吨的意思．
2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．
答案 M≥N
解析 因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N.
3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
答案 c－2b
解析 c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.
4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．
答案 2
一、用不等式(组)表示不等关系
例1 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
1.2≤h≤1.5
h>1.5
h<1.2
P≤160
反思感悟
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等式所联系的量．
②用适当的不等号连接．
③多个不等关系用不等式组表示．
(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
>
<
≥
≤
跟踪训练1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解 提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(2.5≤x<6.5)．
二、作差法比较大小
例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N
，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练2 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
又∵2＋>0，x－1<0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
重要不等式
典例 已知a>0，求证：a＋≥2.
证明 方法一 利用a2＋b2≥2ab.
∵a>0，∴a＋＝()2＋2≥2·＝2.
方法二 a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，
∴a＋≥2.
[素养提升] 由a＋构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
答案 D
解析 由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20
000，即5x＋4y≤200.
3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b
B．aC．a≥b
D．a≤b
答案 C
解析 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案 x解析 x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1
000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________．
答案
解析 由题意得即
1．知识清单：
(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)．
(2)比较大小．
(3)重要不等式．
2．方法归纳：作差法．
3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x元不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”
C．变量x不小于a可表示为“x≥a”
D．变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案 C
解析 对于A，x应满足x≤2
000，故A错误；对于B，x，y应满足x2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5
cm，人跑开的速度为每秒4
m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100
m以外的安全区，导火索的长度x(cm)应满足的不等式为( )
A．4×≥100
B．4×≤100
C．4×>100
D．4×<100
答案 C
解析 导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为4×
m．由题意可得4×>100.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．MD．与x有关
答案 A
解析 ∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，
∴M>N.
4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．随x值变化而变化
答案 A
5．如图，在一个面积为200
m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )
A．a>4b
B．(a＋4)(b＋4)＝200
C.
D.
答案 C
解析 由题意知a>4b，根据面积公式可以得到(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.
6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)
答案 5x－2(19－x)≥80，x∈N
解析 这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N
.
7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．
答案 |x－500|≤1
解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克，
若用x表示商品的重量，
则－1≤x－500≤1，
∴|x－500|≤1.
8．若x∈R，则与的大小关系为________．
答案 ≤
解析 ∵－＝＝≤0.
∴≤.
9．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解 因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/kg)
600
700
400
维生素B(单位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
若用甲、乙、丙三种食物各x
kg、y
kg、z
kg配成100
kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56
000单位维生素A和63
000单位维生素B.
试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．
解 依题意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
由及z＝100－x－y，
得
∴x，y所满足的不等关系为
11．已知0A．MB．M>N
C．M＝N
D．无法确定
答案 B
解析 ∵00，
∴M>N，故选B.
12．若0A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1
D.
答案 A
解析 令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.
13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．
答案 (x，y，z∈N
)
解析 由题意可得(x，y，z∈N
)．
14．若a1”“<”“＝”)
答案 >
解析 a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)
＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)
＝(b1－b2)(a1－a2)，
∵a1∴b1－b2<0，a1－a2<0，
即(b1－b2)(a1－a2)>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
15．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．PD．P≤Q
答案 A
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)
＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，
又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，
∴P>Q，故选A.
16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
解 设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s
＝·s＝>0，
∴甲用时多．∴乙先到达教室．微专题2 不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
一、“Δ”法解决恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1综上，实数k的取值范围是{k|－1(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．
反思感悟 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方?ymin>0?
(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方?ymax<0?
二、数形结合法解决恒成立问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1,2]上恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.
如图，得
∴
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
反思感悟 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解 y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．
反思感悟 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解 y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1∴x的取值范围为.
反思感悟 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
例5 当10有解，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m>－5}
解析 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
反思感悟 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
例6 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}．
反思感悟 能成立问题可以转化为m>ymin或m第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识点一 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
预习小测 自我检验
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案 ②④
解析 一定是一元二次不等式的为②④.
2．不等式x(2－x)>0的解集为________．
答案 {x|0解析 原不等式可化为x(x－2)<0，∴03．不等式4x2－9<0的解集是________．
答案
解析 原不等式可化为x2<，即－4．已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．
答案 {a|a<－1}
解析 由题意知∴∴a<－1.
一、解不含参数的一元二次不等式
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
解 (1)不等式可化为x2－5x＋6<0.
因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，
所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝.
由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.
(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解 (1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
二、三个“二次”间的关系及应用
例2 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解 (1)因为y>0的解集为{x|－3所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
反思感悟 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
跟踪训练2 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
三、含参数的一元二次不等式的解法
例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为?；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，
解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练3 (1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
解 (1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，
故不等式的解集为.
(2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0，
①当0②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；
③当a>1时，a>，不等式的解集为.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为{1}；
当a>1时，不等式的解集为.
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C．?
D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．如果关于x的不等式x2A．－81
B．81
C．－64
D．64
答案 B
解析 不等式x2其解集是{x|1那么，由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
3．不等式x2－2x>0的解集是( )
A．{x|x≥2或x≤0}
B．{x|x>2或x<0}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0答案 B
解析 解x2－2x>0，即x(x－2)>0，
得x>2或x<0，故选B.
4．不等式x2－3x－10<0的解集是________．
答案 {x|－2解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－25．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．
答案 {m|m≥9或m≤1}
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．
1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2答案 C
解析 ∵N＝{x|－2∴M∩N＝{x|－22．若0A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵01>m，
故原不等式的解集为，故选D.
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3答案 C
解析 由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，
又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5
B．－5
C．－25
D．10
答案 B
解析 由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，
∴－1＋3＝，－3＝，
∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.
5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≤－2或m≥2}
B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2}
D．{m|－2答案 B
解析 ∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，
∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.
6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．
答案 {2}
解析 原不等式可化为(x－2)2≤0，∴x＝2.
7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．
答案 {x|－4解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－48．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
答案 {m|m<0}
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
解 (1)由x2－2x－3<0，得－1∴A＝{x|－1由x2＋x－6<0，得－3∴B＝{x|－3(2)由题意，得解得
∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，
∵Δ＝1－8＝－7<0，
∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.
10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
解 (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
11．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
答案 C
解析 ①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2或x>1}
D．{x|－1答案 B
解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－213．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．
答案 2≤a<3
解析 若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，
∴a＝2满足条件，
若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，
解得2综上有a的取值范围是2≤a<3.
14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．
答案 {a|－1≤a≤4}
解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，
∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，
∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
15．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案
解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
因为x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解 ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．理解题意，搞清量与量之间的关系；
2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．
3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
预习小测 自我检验
1．不等式≥0的解集为________．
答案 {x|－1≤x<1}
解析 原不等式?
∴－1≤x<1.
2．不等式≤1的解集为________．
答案 {x|x≥1或x<0}
解析 ∵≤1，∴≥0，
∴∴x≥1或x<0.
3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0台．
答案 150
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，
即x2＋50x－30
000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
一、分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0； (2)≤1.
解 (1)<0?(2x－5)(x＋4)<0?－4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或
解得或
∴－3∴原不等式的解集为.
方法二 原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
二、一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0反思感悟 解不等式应用题的步骤
跟踪训练2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解．
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
不等式恒成立问题
典例 (1)若对?x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，
∴0∴m的取值范围为{m|0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，
∴m的取值范围为{m|m<0}．
[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2}
D．{x|x>2或x≤1}
答案 D
解析 由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.故选D.
2．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤2}
D．{x|－1答案 D
解析 ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，
故－13．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
答案 C
解析 设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．
4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为__________．
答案 {x|x>－a或x解析 原不等式等价于
(x＋a)(b－x)<0?(x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
答案 {t|3≤t≤5}
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y
万元，
则y＝2
400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法
(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
①选取合适的字母表示题目中的未知数；
②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
③求解所列出的不等式(组)；
④结合题目的实际意义确定答案．
2．方法归纳：转化、恒等变形．
3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为或
解得≤x<2，则原不等式的解集为，
故选B.
2．与不等式≥0同解的不等式是( )
A．(x－3)(2－x)≥0
B．0C.≥0
D．(x－3)(2－x)>0
答案 B
解析 解不等式≥0，得2A．不等式(x－3)(2－x)≥0的解是2≤x≤3，故不正确．
B．不等式0C．不等式≥0的解是2≤x<3，故不正确．
D．不等式(x－3)(2－x)>0的解是23．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2}
B．{x|1C．{x|x>2或x<－1}
D．{x|－1答案 C
解析 x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，
∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1}
D．{a|－4≤a≤1}
答案 A
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x<16}
B．{x|12≤x<18}
C．{x|15D．{x|10≤x<20}
答案 C
解析 设这批台灯的销售单价为x元，
则[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，∴10又∵x>15，∴156．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
答案 {x|x<0}
解析 由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴且a<0，
∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，
∵a<0，即－2<－x，即<0，
∴x<0.
7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
答案 {x|100解析 5%<<6%，
解得x的取值范围是{x|1008．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s
m和汽车车速x
km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40
m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________
km/h.
答案 80
解析 根据题意，得x＋x2≥40.
移项整理，得x2＋10x－7
200≥0.
显然Δ>0，x2＋10x－7
200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7
200的图象(图略)，
得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80
km/h.
9．解关于x的不等式>0(a∈R)．
解 原不等式可化为<0，
即(x＋1)(x－a)<0，
①当a＝－1时，x∈?；
②当a>－1时，{x|－1③当a<－1时，{x|a综上，a＝－1时，不等式的解集为?，
a>－1时，不等式的解集为{x|－1a<－1时，不等式的解集为{x|a10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例x应在011．不等式>0的解集为( )
A．{x|x>－1且x≠2}
B．{x|x>－1}
C．{x|－1D．{x|x<－1或x>2}
答案 A
解析 原不等式可化为>0?∴x>－1且x≠2.故选A.
12．若a>0，b>0，则不等式－b<A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 原不等式可化为即
可得
故不等式的解集为.
13．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
C．?
D．{x|x<－2或x>2}
答案 A
解析 ∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
14．在一个限速40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s
m与车速x
km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．
答案 乙车
解析 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得
x甲<－40或x甲>30.
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30
km/h，x乙>40
km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．某商家一月份至五月份累计销售额达3
860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7
000万元，则x的最小值为________．
答案 20
解析 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，
则y＝3
860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7
000，
解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以xmin＝20.
16．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
解 税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即销售额为y1＝80(80－10P)，
税金为y2＝80(80－10P)·P%，
其中0(1)由
解得2≤P≤6.
(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，
∴当P＝2时，y1取最大值，为4
800万元．
(3)∵0y2＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．再练一课(范围：2.1～2.3)
1．(2019·全国Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( )
A．{x|x<1}
B．{x|－2C．{x|－3D．{x|x>3}
答案 A
解析 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，
所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M
>N
B．M
≥N
C．MD．M≤N
答案 A
解析 ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.
∴M
>N.
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>2}
B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤2}
答案 D
解析 由三个“二次”之间关系易知选D.
4．对于a>0，b>0，下列不等式中不正确的是( )
A.<＋
B．ab≤
C．ab≤2
D.2≤
答案 A
解析 当a>0，b>0时，因为≤，所以≤＋，当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确．
5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2}
B．{a|a≥－2}
C．{a|－2≤a≤2}
D．{a|a≥0}
答案 B
解析 当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立．
当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－恒成立．
∵|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时，等号成立)，
∴－≤－2.∴a≥－2.
6．一段长为40
m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.
答案 100
解析 设矩形菜园的长为x
m，宽为y
m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，
∴矩形的面积S＝xy≤2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100
m2.
7．若不等式x2＋ax＋1≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．
答案 {a|－2≤a≤2}
解析 ∵Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
8．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 因为x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，
即
≤1，解得xy≤3，
所以xy的最大值为3.
9．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解．
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
10.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
解 (1)设DN的长为x(x>0)米，则AN＝(x＋2)米，
∵DN∶AN＝DC∶AM，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32，
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得06，
即DN长的取值范围是.
(2)矩形花坛AMPN的面积为
＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
11．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．－3B．－3≤k≤0
C．－3≤k<0
D．－3答案 A
解析 由题意可得
解得－312．已知a>0，b>0且a2＋＝1，则a的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵·≤＝＝＝，当且仅当＝时等号成立，∴a≤，故a的最大值为.
13．当x＝a时，x－4＋(x>－1)取得最小值b，则a＋b等于( )
A．－3
B．2
C．3
D．8
答案 C
解析 因为x>－1，所以x＋1>0，
所以x－4＋＝(x＋1)＋－5
≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.
14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m≥0的解集为________．
答案 {x|x≥m或x≤3}
解析 由题意知16－4m≤0，∴m≥4，
∴x2－(m＋3)x＋3m＝(x－3)(x－m)≥0，
∴x≥m或x≤3.
15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M
B．2?M,0?M
C．2∈M,0?M
D．2?M,0∈M
答案 A
解析 由题可知M＝，
当k∈R时，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M.
16．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x(x>0)台，需另投入成本y1万元．若年产量不足80台，则y1＝x2＋40x；若年产量不小于80台，则y1＝101x＋－2
180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解 (1)当0当x≥80时，y＝100x－－500＝1
680－.
所以当0当x≥80时，y＝1
680－.
(2)当0300，
当x＝60时，y取得最大值，最大值为1
300.
当x≥80时，y＝1
680－
≤1
680－2＝1
500，
当且仅当x＝，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1
500.
所以当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1
500万元．2．2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学习目标 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值．
知识点 基本不等式
1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.( √ )
2．n∈N
时，n＋>2.( √ )
3．x≠0时，x＋≥2.( × )
4．若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )
一、利用基本不等式比较大小
例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
考点 基本不等式比较大小
题点 利用基本不等式比较大小
答案 B
解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a>0，b>0，x>0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.
反思感悟 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练1 若0解 ∵0∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
∵0∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，
∴a2＋b2－(a＋b)<0，
即a2＋b2二、利用基本不等式直接求最值
例2 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)当x>1时，求2x＋的最小值；
(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解 (1)∵x>0，∴>0,4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
(3)2x＋＝2＋2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．
(4)4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，
∴a＝36.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练2 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
答案 B
解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
三、用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0.
证明 ∵a，b，c都是正数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，
∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)，
∴a＋b＋c≥＋＋，
即a＋b＋c－－－≥0.
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
跟踪训练3 若实数a<0，求证：a＋≤－2，并指出等号成立的条件．
证明 根据题意，a<0，则－a>0，
左式＝a＋＝－，
又由(－a)＋≥2＝2，
则有a＋≤－2，
当且仅当a＝－1时，等号成立．
故a＋≤－2，当且仅当a＝－1时，等号成立．
1．若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
考点 基本不等式的理解
题点 基本不等式的理解
答案 C
解析 ∵0a＋b，∴b>>.
又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
2．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2
B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋2≤－2
答案 C
解析 ∵a2>0，故a2＋≥2成立．
3．下列等式中最小值为4的是( )
A．y＝x＋
B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0)
D．y＝t＋
答案 C
解析 A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.
4．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
答案 D
解析 a<0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则<，故C错；
由基本不等式可知D项正确．
5．已知x>－1，则的最小值为________．
答案 16
解析 ＝
＝
＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当x＋1＝，
即x＝2时，等号成立．
1．知识清单：
两个不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a，b都是正数)．
2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．
1．给出下列条件：
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
其中可使＋≥2成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 根据基本不等式的条件，a，b同号，
则>0，故选C.
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2>2|ab|
答案 A
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴＋≥2
＝2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
4．若0A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2
＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵05．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么( )
A．a＋b≥4
B．a＋b≤4
C．a2＋b2≥4
D．a2＋b2≤4
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，
∴a＋b≥2＝2，故A，B均错误．
a2＋b2≥2ab＝4，故选C.
6．已知a>b>c，则与的大小关系是____________________．
答案 ≤
解析 因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
7．设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
8．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2
＝4.当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③.
9．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.
证明 由于a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，
由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取得等号，∴a＋b≥2.
10．(1)设0(2)已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
解 (1)∵00，
∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵0<<，
∴4x(3－2x)的最大值为.
(2)(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.
11．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3
B.
C．4
D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)≥4
C.≥2
D.>
答案 D
解析 a＋b＋≥2＋≥
2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，a>0，b>0，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
13.(x>1)的最小值为________．
答案 2＋2
解析 令x－1＝t，则x＝1＋t且t>0，
∴＝＝
＝t＋＋2≥2＋2.
当且仅当t＝，即t＝，
x＝＋1时，等号成立．
14．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
答案
解析 因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是________．(写出编号)
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
答案 ①③⑤
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴ab≤2＝1，∴①恒成立；
当a＝b＝1时，＋＝2>，故②不恒成立；
a2＋b2≥＝2，∴③恒成立；
当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，∴④不恒成立；
＋＝(a＋b)＝≥2，
∴⑤恒成立．故填①③⑤.
16．若0解 由x＝
＝
＝≤·
＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，
x＝时取“＝”，故x的最大值为.