3．4 函数的应用(一)
学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点一 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
预习小测 自我检验
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．
2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36
kPa时，y＝108
g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0)
B．y＝3x
C．y＝x(x≥0)
D．y＝x
答案 A
一、一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2
500)－0.16(10x－2
500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1
440(元)．
所以买进400份所获利润最大，获利1
440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式．
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由图象可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以解得k＝，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为y＝
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30
kg.
二、二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋解得－2又因为k>0，所以0反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．
令520－40x>0，则0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1
490,0易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．
三、幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
解 设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y＝
①当x＝20×60＝1
200，即x>500时，应付y＝30＋0.15×(1
200－500)＝135(元)．
②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上网时间为900分钟．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网．
反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解 (1)根据题意得
S＝
即S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6
400，
当t＝20时，S的最大值为6
400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9
000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6
210.
因为6
210<6
400，
所以当t＝20时，日销售额S有最大值6
400.
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
答案 D
解析 每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4
000)
＝5x－4
000.
令W(x)≥0，∴5x－4
000≥0，解得x≥800.
所以为了不亏本，日产手套至少为800副．
2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100
km
B．125
km
C．150
km
D．225
km
答案 C
解析 t＝2时，汽车行驶的路为
s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50
＝150(km)．
3．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息税为人民币( )
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．[(1＋0.06)4－1]万元
D．[(1＋0.06)3－1]万元
答案 C
解析 由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣除20%的利息税，
即得利息税为人民币5×[(1＋6%)4－1]×20%＝(1＋6%)4－1＝(1＋0.06)4－1.
4．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______
m.
答案 3
解析 设隔墙的长为x
m，矩形面积为S
m2，
则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x
＝－2(x－3)2＋18,0所以当x＝3时，S有最大值为18.
5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8
000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8
000
＝－＋88x－8
000
＝－(x－220)2＋1
680,0≤x≤210.
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1
680＝1
660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1
660万元．
1．知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2
000，x∈N
)
B．y＝0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2
000，x∈N
)
D．y＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)
答案 D
解析 由题意知，变速车存车数为(2
000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2
000－x)×0.8
＝0.5x＋1
600－0.8x
＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000，x∈N
)．
2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18%
B．20%
C．24%
D．36%
答案 B
解析 设平均每年降低成本x，
则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
答案 B
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1
300)，
则得
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15
B．40
C．25
D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，
则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，
则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元
B．42元
C．54元
D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
所以当x＝42时，利润最大．
6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．
答案 50
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2
500.
故当x＝50台时，获利润最大．
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10
min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
答案 y＝f(x)＝
解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1
690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．
答案 1
300
解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意，得2019年经营总收入为＝1
000(万元)，
则有1
000(1＋x)2＝1
690.
解得x＝0.3，
故2020年预计经营总收入为
1
000(1＋0.3)＝1
300(万元)．
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1
000元，每天至少卖出多少张门票？
解 (1)由图象知，当x∈[0,200]时，可设y＝kx＋b，
代入点(0，－1
000)和(200,1
000)，
解得k＝10，b＝－1
000，
从而y＝10x－1
000，x∈[0,200]．
当x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2
000)，
解得k＝15，b＝－2
500，x∈(200,300]．
从而y＝15x－2
500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1
000元，则x∈(200,300]，
由15x－2
500>1
000得，x>，
故每天至少需要卖出234张门票．
10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1
000元，问能有几种调运方案？
解 (1)甲地调运x台到B地，
则剩下(6－x)台电脑调运到A地；
乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1
000，
即20x＋960≤1
000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，
所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( )
A．3人
B．4人
C．5人
D．6人
答案 B
解析 水箱内水量y＝200＋2t2－34t，
当t＝时，y有最小值，
此时共放水34×＝289(升)，≈4.4，
故至多可供4人洗澡．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________．
答案 15,12
解析 由题干图知x，y满足关系式＝，
即y＝24－x，
矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－15)2＋180，
故x＝15，y＝12时，S取最大值．
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
15．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1
000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30
B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45
D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1
000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15
000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15
000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12
000.
又S＝－10(x－60)2＋21
000在区间(30,75]上的对称轴为x＝60，
当x＝60时，S取最大值21
000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．微专题3 函数性质的综合问题
一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小
例1 已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A．f(－1)B．f(2)C．f(－3)D．f(0)>f(1)
答案 D
解析 由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)．
二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式
例2 设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
答案 C
解析 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或
由图可知x>2或x<－2，故选C.
三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式
例3 奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
解 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1,2)．
反思感悟 解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
例4 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.
解 如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，
由图知，当x∈时，
f(x)min＝f(1)＝－1，
又f
＝2，f(4)＝5，
所以f(x)max＝f(4)＝5.
又f(x)为奇函数，所以当x∈时，
f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.
反思感悟 解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图象关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图象关于y轴对称．
五、抽象函数的性质应用
例5 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
(1)证明 设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)解 ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m<.
故不等式的解集为.
六、函数性质的综合应用
例6 已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得b＝0，
又f(1)＝＝，∴a＝1，
∴f(x)＝.
(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x2>x1≥1，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝.
∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，
∴f(x)max＝f(－4)＝－，f(x)min＝f(－1)＝－.3．3 幂函数
学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)
上增，
在(－∞，0]
上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
预习小测 自我检验
1．下列函数中不是幂函数的是________．
①y＝x0；
②y＝x3；
③y＝2x；
④y＝x－1.
答案 ③
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．
答案 1,3
解析 当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，
又函数的定义域为R，
所以α≠－1，所以α＝1,3.
3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
答案
一、幂函数的概念
例1 (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 幂函数有①⑥两个．
(2)已知是幂函数，求m，n的值．
考点 幂函数的概念
题点 由幂函数定义求参数值
解 由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
跟踪训练1 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A.
B．1
C.
D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义知k＝1.
又f
＝，所以α＝，
解得α＝，从而k＋α＝.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2
B．1
C.
D．0
答案 A
解析 因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
二、幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
解 因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是( )
答案 C
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2 (1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )
A.，－2，
B．－2，，
C．－2，，
D.，，－2
答案 C
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
考点 幂函数的图象
题点 幂函数有关的知图选式问题
答案 C
解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
三、比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
解 (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，所以.
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3 比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)，和.
解 (1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以.
(2)
所以
幂函数性质的应用
典例 已知幂函数y＝x3m－9
(m∈N
)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点 幂函数的性质
题点 利用幂函数的性质解不等式
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N
，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
[素养提升] 通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．
1．以下结论正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点 幂函数的综合问题
题点 幂函数的综合问题
答案 D
2．下列不等式成立的是( )
A.
B.
C.2>2
D．
答案 A
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
答案 －
解析 因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
4．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
答案 2
解析 令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求．
当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．
故m＝2.
5．先分析函数的性质，再画出其图象．
解 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：
1．知识清单：
(1)幂函数的定义．
(2)几个常见幂函数的图象．
(3)幂函数的性质．
2．方法归纳：
(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．
(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．
3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数．
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2
B．y＝10x
C．y＝
D．y＝x＋1
考点 幂函数的概念
题点 判断函数是否为幂函数
答案 C
解析 根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
D．y＝
答案 A
解析 其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
3．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．f
C．f(a)D．f
考点 比较幂值的大小
题点 利用单调性比较大小
答案 C
解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又0，故选C.
4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )
A．－3
B．2
C．－3或2
D．3
考点 幂函数的性质
题点 幂函数的单调性
答案 A
解析 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
5.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
答案 B
解析 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.
6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
答案 α<0
解析 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.
7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．
答案 m解析 设f(x)＝x－1，已知a≠0，
则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(a2＋3)故m8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
考点 幂函数的性质
题点 幂函数的单调性
答案 1
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解 (1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
因为()α＝3，(－2)β＝－，
所以α＝2，β＝－1，
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)11．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N
)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于( )
A．1
B．2
C．1或2
D．3
答案 B
解析 因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，
所以m－3<0.
所以m<3.
又因为m∈N
，
所以m＝1,2.
又因为f(x)＝xm－3是奇函数，
所以m－3是奇数，
所以m＝2.
12．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
答案 B
解析 y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.
13．若<，则a的取值范围是________．
答案
解析 函数y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得－1≤a<.
14．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f
＝________，函数f
的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝＝，∴f
＝.
令－1≥0解得0故f
的定义域为(0,1]．
15．已知幂函数y＝
(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于( )
A．1
B．0,2
C．－1,1,3
D．0,1,2
答案 C
解析 ∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.
16．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，
又f(x)为偶函数，则m＝3，
所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝x2－ax－3＝2－3－在[1,3]上不单调，
则对称轴x＝满足1<<3.
即2所以，实数a的取值范围为(2,6)．3．1.2 函数的表示法(一)
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点 函数的表示方法
思考 函数三种表示法的优缺点？
答案
1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
2．任何一个函数都可以用图象法表示．( × )
3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ )
4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( × )
一、函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
跟踪训练1 由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1
B．2
C．4
D．5
答案 B
解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
二、求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)
设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)
∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x2－4(x≥2)
解析 因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
答案 2x－或－2x＋1
解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
三、函数的图象
例3 作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．
延伸探究 根据作出的函数图象求其值域．
解 观察图象可知：
(1)中函数的值域为[1,5]．
(2)中函数的值域为(0,1]．
(3)中函数的值域为[－1,8]．
反思感悟 作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
跟踪训练3 作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解 (1)因为x∈Z，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
函数图象的应用
典例 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1[素养提升] (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A．1
B．2
C．3
D．4
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 A
2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
答案 A
解析 方法一 令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
方法二 因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
考点 函数图象
题点 函数图象的判断与理解
答案 C
4．设函数f
＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1)
B.(x≠－1)
C.(x≠－1)
D.(x≠－1)
答案 C
解析 令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，
即f(x)＝.
5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为__________．
答案 f(x)＝－x2－4x－1
解析 设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
1．知识清单：
(1)函数的表示方法．
(2)求函数解析式．
(3)函数的图象．
2．方法归纳：
(1)待定系数法、换元法．
(2)数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．
1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
答案 B
解析 令t＝x－1，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3
B．2
C．1
D．0
答案 B
解析 ∵g(2)＝1，
∴f(g(2))＝f(1)＝2.
3．从甲市到乙市t
min的电话费由函数g(t)＝1.06·(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为不超过t的最大整数，则从甲市到乙市5.5
min的电话费为( )
A．5.04元
B．5.43元
C．5.83元
D．5.38元
答案 A
解析 依题意知g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)
＝5.035≈5.04，故选A.
4．如果f
＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A.
B.
C.
D.－1
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f
＝，
则有f(t)＝＝，
故f(x)＝.故选B.
5．函数y＝的大致图象是( )
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
答案 A
解析 方法一 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
方法二 y＝＝1－，
由函数的平移性质可知A正确．
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
答案 5
解析 将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
答案 19
解析 设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)得
解得即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
＝x2＋10x＋24，
∴∴或
∴5a－b＝2.
9.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足即0所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为.
10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
11．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( )
A.
B.
C．(－1,3)
D．(－2,1)
答案 A
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
12．设函数f
＝2x＋1，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠1)
B.(x≠1)
C.(x≠－1)
D.(x≠－1)
答案 B
解析 令1＋＝t，则t≠1，
∴x＝，t≠1，
∴f(t)＝＋1＝，t≠1，
∴f(x)＝(x≠1)，故选B.
13．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
答案 F(x)＝3x＋(x≠0)
解析 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，
得解得
所以F(x)＝3x＋(x≠0)．
14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 2或4
解析 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
15．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
答案 f(x)＝－x＋
解析 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由①②解得f(x)＝－x＋.
16．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象．
解 (1)将与代入y＝ax＋中，
得??
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列．3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：
(1)如果?x1，x2∈D，当x1(2)如果?x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案 (1)不是；(2)不能．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( √ )
3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．( √ )
一、函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因为x1，x2∈(－1,1)且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
二、求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解 f(x)＝的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练2 (1)函数y＝的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
解析 方法一 y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，
所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
方法二 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
三、单调性的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)答案
解析 因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
延伸探究
在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条件不变，则a的范围又是什么？
解 由题意可知
解得0因为f(x)在(－1,1)上是增函数，
且f(1－a)所以1－a<2a－1，
即a>.②
由①②可知，即所求a的取值范围是.
反思感悟 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围．
解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，
对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
1．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)B．f(3)≤f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)≥f(5)
答案 C
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．递减
B．递增
C．先减后增
D．先增后减
答案 C
解析 因为y＝|x＋2|＝
作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．
4．若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．
答案 －1
解析 ∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，
∴2－a＝3，∴a＝－1.
5．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)的实数x的取值范围为________．
答案
解析 由题设得
解得－1≤x<.
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案 C
解析 单调区间不能用“∪”连接．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x＋1|
答案 B
解析 y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k>
B．k>－
C．k<
D．k<－
答案 C
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)答案 D
解析 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，
且a2＋1>a2，
所以f(a2＋1)5．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
答案 A
解析 因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x2>x1>－1，
所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
因此f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
解 y＝
即y＝的图象如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
11．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数
B．必是减函数
C．是增函数或减函数
D．无法确定单调性
答案 D
解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
12．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)答案 A
解析 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，
有<0，
则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，
则f(x)在R上是减函数．
又3>2>1，则f(3)13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,8)
解 因为f(x)是R上的增函数，所以
解得4≤a<8.
14．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，
∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，
对称轴为x＝－，∴解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．
15．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，
所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
预习小测 自我检验
1．若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.
答案 0
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
解析 f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，
∴f(－1)>f(1)．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函数．
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.
一、利用函数的奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 构造方程组求解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3 (1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10)
B．f(1)C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和f(－10)关系不定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(－10)＝f(10)(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)；
②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)；
④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
答案 ①③⑤
解析 f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例4 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)的x的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)，
即－<2x－1<，
解得反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
解析 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．
5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－11．知识清单：
(1)利用奇偶性，求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6
B．－6
C．2
D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
答案 A
解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5，故选A.
3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．a≤－2
B．a≥2
C．a≤－2或a≥2
D．－2≤a≤2
答案 D
解析 由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，
∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
答案 D
解析 y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实根之和为0.
5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
答案 －5
解析 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 (－∞，1)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增，
f(x)8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
答案 f(－2)解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
10．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋.
又∵f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函数f(x)在区间上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在上为减函数．
11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，<0，
即<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.
综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析 令x＝y＝0，所以f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0.
又因为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故选A.
13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)答案 1 (0,2)
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．再练一课(范围：3.2)
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．非单调函数
D．可能是增函数，也可能是减函数
答案 A
解析 ∵f(x)为偶函数，∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，
∴f(x)的对称轴为y轴，
故f(x)在(－5，－2)上是增函数．
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2)
D．f(－1)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案 D
解析 ∵当x≥0时，f(x)＝x＋1是增函数，
∴f(1)又∵f(x)为偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，
∴D对．
3．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0成立，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)答案 A
解析 由任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0成立，
知f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)又f(x)是偶函数，
∴f(3)4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
答案 B
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，解得a<1.
5．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA．有最大值4
B．有最小值－4
C．有最大值－3
D．有最小值－3
答案 B
解析 方法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选B.
方法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选B.
6.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 f(x)为奇函数，∴画出f(x)在左侧图象如图所示，
当－27．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．
答案 －3或
解析 f(x)的对称轴为直线x＝－1.
当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；
当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.
综上，a＝或a＝－3.
8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________.
答案 －21
解析 令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，
∴g(x)为奇函数，
又g(－3)＝f(－3)＋8＝13，
∴g(3)＝－13，
又g(3)＝f(3)＋8，∴f(3)＝g(3)－8＝－21.
9．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解 (1)因为f(x)＝＝2－，
所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，
且x1＝.
因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)得，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以f(x)在[1,4]上是增函数．
最大值为f(4)＝＝，
最小值为f(1)＝＝.
10．已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求a－b的值；
(2)若f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，求实数m的取值范围．
解 (1)令x<0，则－x>0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，
所以a＝1，b＝2，所以a－b＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝
由函数图象特征，知f(x)在[－1,1]上单调递增，
若函数f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，
则[－1，m－2]?[－1,1]，
所以解得1所以实数m的取值范围是(1,3]．
11．函数f(x)在R上为奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2－x＋2－b，则f(－2)等于( )
A．6－b
B．－4＋b
C．2
D．－2
答案 D
解析 ∵x∈R且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝2，
∴x≥0时，f(x)＝x2－x，
∴f(2)＝2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2.故选D.
12．已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，
∴－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，
又f(x)在R上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
13．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
C．(－∞，2]
D．[－2,2]
答案 B
解析 由题意，知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意的x∈[1,2]恒成立，∴|a|≤|x|对任意的x∈[1,2]恒成立，∴|a|≤1，即－1≤a≤1，故选B.
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
解析 依题意画出f(x)的简图如下，
不等式>0可化为或
即－22.
15．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)答案
解析 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－2a＋3＝22＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>，
∴a的取值范围为.
16．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f
＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
(1)解 令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，
故f(1)＝0.
(2)证明 令y＝，
得f(1)＝f(x)＋f
＝0，
故f
＝－f(x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f
＝f
.
由于>1，故f
>0，
从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 由于f
＝－1，而f
＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，
得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤.
又∴2∴x的取值范围是.．1.2 函数的表示法(二)
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．
知识点 分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．函数f(x)＝是分段函数．( √ )
2．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( √ )
3．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.( × )
4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( √ )
一、分段函数求值
例1 已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f
的值．
解 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
因为f
＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f
＝f
＝2＋2×
＝－3＝－.
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈?.
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是12.
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值的方法．
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练1 已知f(x)＝
(1)求f(2)，f
；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)f(2)＝1，f
＝2＝，
所以f
＝f
＝.
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②的解集为?.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)∵f(x)≥，
∴或
解得x≥或x≤－，
∴x的取值范围是∪.
二、分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
解 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
反思感悟 分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是( )
答案 A
解析 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是______________．
答案 f(x)＝
解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
则∴∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.
即f(x)＝
三、分段函数的实际应用
例3 A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
解 (1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，
则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，
从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．
反思感悟 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
答案 B
解析 方法一 函数的解析式可化为y＝
画出此分段函数的图象，故选B.
方法二 由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
2．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1
B．0
C．2
D．－1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
3．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于( )
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
答案 B
4．函数f(x)＝的定义域为______，值域为________．
答案 (－1,1) (－1,1)
解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．
值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．
5．已知f(n)＝则f(8)＝________.
答案 10
解析 因为8<10，所以f(8)＝f(8＋5)＝f(13)，
又13>10，所以f(13)＝13－3＝10，所以f(8)＝10.
1．知识清单：
(1)分段函数的概念及求值．
(2)分段函数的图象．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．
3．常见误区：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．
1．函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 A
2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
答案 D
解析 函数y＝x|x|＝故选D.
3．设f(x)＝若f(x)＝3，则x等于( )
A．1
B．±
C.
D.
答案 D
解析 若即无解．
若即∴x＝.
若即无解．
故x＝.
4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 f(x)＝
∴f
＝－.
5．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为下图中的( )
答案 B
6．函数f(x)＝的定义域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
7．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________立方米．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
答案 13
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
8．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
故a>4.
9．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f
，f
，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解 (1)∵>1，
∴f
＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，∴f
＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
11．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－1)＝＝1.
∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.
∴f(a)＝1，即
① 或②
解①得a＝1，解②得a＝－1.
∴a＝±1.
12．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
13．设函数f(x)＝若f
＝4，则b＝________.
答案
解析 f
＝3×－b＝－b，∴f
＝4，
①无解；
②解得b＝.
综上，b＝.
14.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是________．
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
答案 ②③
解析 由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，②③正确．
15．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是( )
A．?
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．{－1}∪[0,2]
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，
所以0≤x≤2，
当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，
综上有0≤x≤2或x＝－1.
16．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30
千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17
千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13
千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10
千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14
千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．期中检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合
A∩(?UB)等于( )
A．{2,5}
B．{3,6}
C．{2,5,6}
D．{2,3,5,6,8}
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 A
解析 根据补集的定义可得?UB＝{2,5,8}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}，故选A.
2．不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D．{x|x<2}
答案 B
解析 ≥1?－1≥0?≥0
?≤0?
解得≤x<2.故选B.
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，
所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
4．命题“?x∈R,1A．?x∈R,1B．?x∈R,1C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案 D
解析 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．
5．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若aC．若a>b>0，则<
D．若ad>0，则ac答案 B
解析 对于A，若ac2>bc2，则a>b，故正确；
对于B，根据不等式的性质，若ab2，故错误；
对于C，若a>b>0，则>，即>，故正确；
对于D，若ad>0，则ac6．不等式ax2＋2ax＋1≤0的解集为?，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．[0,1]
C．[0,1)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意知，不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，1>0，不等式恒成立，
当a≠0时，则解得0综上有0≤a<1，故选C.
7．函数f(x)＝2x＋(x>1)，则f(x)的最小值为( )
A．8
B．6
C．4
D．10
答案 D
解析 f(x)＝2(x－1)＋＋2
≥2＋2＝10，
当且仅当2(x－1)＝，即x＝3时取等号，
所以当x＝3时，f(x)min＝10，故选D.
8．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为( )
A．10
B．－10
C．－15
D．15
答案 C
解析 ∵f(x)在[3,6]上为增函数，
∴f(6)＝8，f(3)＝－1，
∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－15.
9．定义在R上的奇函数f(x)，满足f
＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 y＝f(x)的草图如图，
xf(x)>0的解集为
∪.
10．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D
解析 依题意可知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4当811．函数f(x)＝(x>0)的值域是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C.
D.
答案 C
解析 ∵f(x)＝＝
＝1－在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)∈.
12．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是( )
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中至少有4个元素
答案 D
解析 因为a∈M，∈M，
所以＝－∈M，
所以＝∈M，
又因为＝a，
所以集合M中必同时含有a，－，，这4个元素，
由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
答案 1
解析 由A∩B＝{1}知，1∈B，
又因为a2＋3≥3，所以a＝1.
14．有下列三个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N
，x为29的约数．其中真命题为________．(填序号)
答案 ①③
解析 对于①，这是全称量词命题，
因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称量词命题，
因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以③为真命题．
15．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 [6，＋∞)
解析 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋
≥10＋2＝16，
当且仅当＝即a＝4，b＝12时，等号成立，
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立．
又设f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
16．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
答案 6
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值，最大值为6.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)．
解 (1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得?UA＝{－5}，?UB＝.
所以(?UA)∪(?UB)＝.
18．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 解不等式组得2∴q：20时，不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|a∴p：a∵p是q的必要不充分条件，
∴解得1当a<0时，不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|3a∴p：3a∴此时无解．
综上所述，a的取值范围是(1,2]．
19．(12分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解关于x的不等式：ax2－(ac＋b)x＋bx<0.
解 (1)∵不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
∴a>0，且方程ax2－3x＋2＝0的两个根是1和b.
由根与系数的关系，得解得a＝1，b＝2.
(2)∵a＝1，b＝2，
∴ax2－(ac＋b)x＋bx<0，即x2－(c＋2)x＋2x<0，
即x(x－c)<0.
∴当c>0时，解得0当c＝0时，不等式无解；
当c<0时，解得c综上，当c>0时，不等式的解集是(0，c)；
当c＝0时，不等式的解集是?；
当c<0时，不等式的解集是(c,0)．
20．(12分)为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
解 (1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)，
将p＝3－代入化简得y＝16－－x(0≤x≤a)．
(2)当a≥1时，y＝17－≤17－2＝13，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当0所以当x＝a时，y取最大值为16－－a.
所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．
当021．(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
解 (1)若x<0，则－x>0，
f(x)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－222．(12分)已知函数f(x)＝2x＋b，g(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，h(x)＝.对任意的x∈R，恒有f(x)≤g(x)成立．
(1)如果h(x)为奇函数，求b，c满足的条件；
(2)在(1)的条件下，若h(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数c的取值范围．
解 (1)设h(x)＝的定义域为D，
因为h(x)为奇函数，所以对任意x∈D，h(－x)＝－h(x)成立，解得b＝0.
因为对任意的x∈R，恒有f(x)≤g(x)成立，
所以对任意的x∈R，恒有2x＋b≤x2＋bx＋c，
即x2＋(b－2)x＋c－b≥0对任意的x∈R恒成立．
由(b－2)2－4(c－b)≤0，得c≥＋1，即c≥1.
于是b，c满足的条件为b＝0，c≥1.
(2)当b＝0时，h(x)＝＝＝x＋(c≥1)．
因为h(x)在[2，＋∞)上为增函数，
所以任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1h(x2)－h(x1)＝(x2－x1)>0恒成立，
即任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x10恒成立，也就是c综合(1)，得实数c的取值范围是[1,4]．3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合叫做函数的值域
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
2.其他区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x区间
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．定义域中的某一个x可以对应着不同的y.( × )
4．区间不可能是空集．( √ )
一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A?R，B?R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
反思感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1 下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝2－；
(2)y＝；
(3)y＝＋.
解 (1)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(2)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为.
(3)由解得－2≤x<0或0所以函数y＝＋的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝－；
(2)y＝＋.
解 (1)由得
所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)由得x≤－或2≤x<4，
所以定义域为∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2
(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解 (1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
反思感悟 求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝则f(f(2))＝________.
答案 －
解析 f(2)＝－22＋1＝－3，
∴f(f(2))＝f(－3)＝－.
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案 B
解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝，y＝x－3.
解 (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝·＝，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝·与y＝是同一函数．
(3)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数．
1．下列四种说法中，不正确的一个是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
答案 B
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．若f(x)＝，则f(3)等于( )
A．2
B．4
C．2
D．10
答案 A
解析 f(3)＝＝2.
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞)
D．[0,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由得
∴定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
4．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A．{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．{－1,0}
答案 D
解析 因为当x＝0时，在集合B中没有值与之对应．
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x0与g(x)＝；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案 ②③
解析 ①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数的定义域、函数值．
2．方法归纳：数学抽象．
3．常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化
1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．R
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由解得
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0
B．3a2－1
C．6a2－2
D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；
B中的函数定义域不同；
C中两函数的对应关系不同，故选D.
5．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
6．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 或2
解析 f(a)＝＝2，
所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
7．下列对应关系是函数的为________．(填序号)
(1)x→x2，x∈R；
(2)x→y，其中y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)t→s，其中s＝，t≠1，t∈R.
答案 (1)(3)
8．函数y＝的定义域用区间表示为________．
答案 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
解析 要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
9．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f
的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是
{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f
＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解 要使函数有意义，需满足
即
所以－1≤x≤3且x≠，
所以函数的定义域为，
用区间表示为∪.
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
答案 A
解析 ∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
12．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2]
B．[0,1]
C．[0,4]
D．(0,1)
答案 B
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝f(2x)有意义，
需0≤2x≤2，即0≤x≤1.
13．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对?x∈R，有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2.②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
15．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)，则f(g(x))＝________.
答案 (x≠0)
解析 f(g(x))＝＝
＝(x≠0)．
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f
，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f
有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f
＋f(3)＋f
＋…＋f(2
019)＋f
的值．
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，f
＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f
＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f
＝1.
证明如下：f(x)＋f
＝＋
＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f
＝1，
∴f(2)＋f
＝1，f(3)＋f
＝1，
f(4)＋f
＝1，…，f(2
019)＋f
＝1.
∴f(2)＋f
＋f(3)＋f
＋…＋f(2
019)＋f
＝2
018.3．2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ )
2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( × )
3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．( × )
4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．( × )
一、函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解 (1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
二、奇、偶函数图象的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2三、利用函数的奇偶性求参数值
例3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 方法一 显然x∈R，
由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．
答案
解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
∴m＝.
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x2，x∈(－1,1]
答案 B
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
答案 C
解析 ∵f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)＝－x的图象关于原点对称．
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
4．f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
5．若已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f
＝，则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝
解析 ∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.
即f(x)＝，
又f
＝，∴＝.
∴a＝1，∴函数f(x)＝.
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．
1．下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3；
②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋；
④f(x)＝.
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是( )
A．(3，－2)
B．(3,2)
C．(－3，－2)
D．(2，－3)
答案 A
解析 f(－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，
∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f(x)的图象上．
3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 A
解析 F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数
4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0得a＝1.
5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2
B．2
C．1
D．0
答案 A
解析 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案 4
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
答案 5
解析 因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；
②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)<0；
④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
答案 ①②
解析 ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解 (1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－
答案 B
解析 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增．
另外，函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．故选B.
12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断抽象函数的奇偶性
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
13．函数f(x)＝的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．
答案 [－2,0)∪(0,2] 奇
解析 依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
14．函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
答案 8
解析 设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋(x≠0)，
∵g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，
∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]
＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，
又g(3)＝f(3)－5＝3，
∴f(3)＝8.
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案
解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
16．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
解 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得－1∴b＝或1，由于b∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 根据题意有解得x≥1且x≠2.
2．已知f
＝2x＋3，则f(6)的值为( )
A．15
B．7
C．31
D．17
答案 C
解析 令－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f
＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝
D．y＝x|x|
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为( )
A．[2,6]
B．[2,6)
C．[2,3]
D．[3,6]
答案 B
解析 f(x)＝(x＋2)2＋2，
当x＝－2时，f(x)min＝2，
又f(－3)＝3，f(0)＝6，
所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( )
A．2
B．－2
C．－3
D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 C
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9
B.
C．3
D.
答案 B
解析 因为＝
＝(－6≤a≤3)，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
答案 C
解析 正方形边长为，
而(2y)2＝2＋2，
所以y2＝.
所以y＝＝x.
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)＝0；
②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 ①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性．
9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为( )
A．1≤m≤2
B．m＝1或m＝2
C．m＝2
D．m＝1
答案 B
解析 由题意得
解得∴m＝1或m＝2.
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2)
B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2)
D．f(x)＝|x|(|x|－2)
答案 D
解析 设x<0，则－x>0，
f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x.
故f(x)＝|x|(|x|－2)．
11．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1]
B．[－2,0]
C．[0,2]
D．[－2,2]
答案 D
解析 方法一 依题意，可得
或或
解得－2≤a≤2.
方法二 f(x)是偶函数，其图象如图所示．
f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.
由图知－2≤a≤2.
12．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为( )
A．gB．g(0)C．gD．g(3)答案 A
解析 由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2)．
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(2)的值为________．
答案
解析 设幂函数为y＝xα，过点，
则＝3α，所以α＝－1，
所以y＝x－1，
则f(2)＝2－1＝.
14．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
考点 分段函数
题点 分段函数求参数值
答案 (－∞，2]
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
答案 －10
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)
答案 (3)
解析 ①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
解 (1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得a＋b＝2,2a＋b＝－1，
即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
解 (1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，
即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，
解得m＝0.
又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.
所以f(x)＝2x2＋2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，
转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，
由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.
所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解 (1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
所以a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
所以a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
20．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．
解 因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．
因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，
所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．
21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N
)：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．
设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N
)，
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N
)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N
)．
所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
考点 函数的单调性、最值的综合应用
题点 单调性及最值的综合问题
解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为；
由f(0)＝－3，f
＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以
所以a＝.第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
最值
条件
几何意义
最大值
①对于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点二 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
预习小测 自我检验
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
答案 －1 2
2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值为________．
答案
3．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案 2
4．函数y＝在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．
答案
一、图象法求函数的最值
例1 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解 y＝－|x－1|＋2＝
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
二、利用函数的单调性求最值
例2 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
解 设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝＋3－
＝－＝
＝，
因为2≤x1所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[2,4]上是增函数，
所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
三、函数最值的实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解 (1)由题意得G(x)＝2.8＋x，
所以f(x)＝R(x)－G(x)
＝
(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，
所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．
反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1
000－10x)个，则y＝(x－40)(1
000－10x)＝－10(x－70)2＋9
000≤9
000.
故当x＝70时，ymax＝9
000.
即售价为70元时，利润最大值为9
000元．
二次函数最值分类讨论问题
典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
解 ∵对称轴x＝1，
(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1f(x)min＝f(1)＝－4.
(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有
g(t)＝
[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．
1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 A
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5
B．10,1
C．5,1
D．以上都不对
答案 B
解析 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，
当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 A
4．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．?
答案 B
解析 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.
又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，
所以m≤－1，故m∈(－∞，－1]．
5．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素．
(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案 A
解析 选项B，C在[1,4]上均为增函数，选项A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确．
2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为( )
A．0
B.
C．2
D．3
答案 B
解析 函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1,2]上是增函数．
当x＝2时，ymax＝2－＝.
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
答案 C
解析 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.
综上a＝±2.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
答案 C
解析 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，x∈N，
公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增．
又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，
即a＝－2.
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)答案 f(－2) f(6)
解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
7．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________．
答案
解析 因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，
所以当x＝0时，ymax＝，
当x＝5时，ymin＝.
所以ymax＋ymin＝＋＝.
8．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解 f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和(0，＋∞)上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)因为f
＝，f
＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解 (1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4
860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
11．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．10
B．10或20
C．20
D．无法确定
答案 C
解析 当k＝0时，不满足．
当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝＝5，
∴k＝20满足条件，
k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，
f(x)min＝f(2)＝＝5，
∴k＝10，
又∵k<0，∴k＝10舍去，
综上有k＝20.
12．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
答案 {m|1≤m≤2}
解析 y＝f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
利用图象(图略)得1≤m≤2.
14．函数y＝x＋的最小值为________．
答案
解析 令t＝，t≥0，∴x＝，
∴y＝＋t＝(t2＋2t＋1)＝(t＋1)2，
∵t≥0，∴当t＝0时，ymin＝.
15．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
答案 D
解析 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
(1)证明 设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.