2020-2021学年苏科版八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》 练习（一）（word版含答案）

八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》
培优练习（一）
1．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：F为BC中点；
（2）若OB⊥AC，OF＝2，求平行四边形ABCD的周长．
3．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．
（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；
（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．
4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．
（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，求证：PM＝QN．
5．如图，在?ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
6．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
8．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在平行四边形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在平行四边形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，AB＝，求线段FH的长．
9．如图所示，?ABCD中E、F分别是AB、CD上的点，BE＝DF．
（1）如图（1），求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）如图（2），连接EF，连接BD分别交AF、EF、CE于点P、Q、R，不添任何辅助线的条件下，直接写出面积等于四边形ABCD的面积一半的4个图形．
10．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE＝AF＝4，AE＝BC，
∵∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
2．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴OD∥EC，OD＝EC，
∴EC∥OB，EC＝OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∴BF＝CF，
即F为BC中点；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形OBEC为矩形，
∴BC＝OE＝2OF，
∵OF＝2，
∴BC＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝16．
3．解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD，CD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∵AD＝BC，AB∥CD，
∴AC＝BD，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝6，
∴AE＝AC＝6，
∴CH＝AE＝3，
∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；
（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠DCM＝∠HAM，
∵M是对角线AC的中点，
∴AM＝CM，
∵∠CMD＝∠AMH，
∴△AMH≌△CMD（ASA），
∴DM＝HM，
∵N是对角线BD的中点，
∴DN＝BN，
∴MN∥AB∥CD，
∴AG＝DG，
∴GM＝CD＝，
∵MN＝2，
∴GN＝，
∴AB＝2GN＝7．
4．解：（1）连接AC，如图1，
∵在菱形AC⊥BD中，AC⊥BD，
又∵CM⊥BD，
∴A、C、M三点共线，
∴S菱形ABCD＝2S△ABC，，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠ACN＝120°，
∴∠ACD＝∠DCN＝60°，
∴点M，N关于CD对称，
∴MN⊥CD，
∵，
∴，
∴MC＝4，
∴，
∴S菱形ABCD＝2×16＝32；
（2）证明：四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
由旋转的性质得：CM＝CN，∠MCN＝120°，
∴∠MCN＝∠BCD，
∴∠BCM＝∠DCN，
在△BCM和△DCN中，，
∴△MCB≌△NCD（SAS），
∴BM＝DN，∠CDN＝∠CBM＝∠ABD＝30°，
在CD上取点H，使DH＝BP，如图2所示：
则，在△BPM和△DHN中，
∴△MPB≌△NHD（SAS），
∴PM＝HN，∠DHN＝∠BPM，
∵∠BPM＝∠CQN，
∴∠CQN＝∠BPM，
∴∠QHN＝∠HQN，
∴HN＝QN＝PM，
∴QN＝PM．
5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
7．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠FCO＝∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，
∴OE＝5，
∴AE＝．
8．（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF
∴∠BFG＝∠DHE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：连接EG，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG
∵AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵，
∴，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG＝FH，
∴．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD＝S△CDB＝S四边形ABCD；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CFE＝S四边形AECF，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴S△ADF＝S△CBE，
∴S四边形AEFD＝S四边形CFEB＝S四边形ABCD；
∴面积等于四边形ABCD的面积一半的4个图形为△ABD、△CDB，四边形AEFD、四边形CFEB．
10．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∴∠ECB＝∠CDB．
∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，
∴∠CFB＝∠BCF
∴BF＝BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝5．
又∵BD?CE＝BC?DC，
∴CE＝．
∴BE＝．
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．
∴CF＝cm．