2020－2021学年苏科版数学 七年级下册 9.5 多项式的因式分解 第2课时 运用公式法 教学课件（共29张）

第9章 整式乘法与因式分解
9.5 多项式的因式分解
七年级数学下册苏科版
第2课时 运用公式法因式分解
1
用平方差公式因式分解
2
用完全平方式分解因式
3
运用公式法因式分解
1
新知导入
想一想：
观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积.
a
b
b
a
ab+(a+b)(a-b)
方法一：
方法二：
a2-b2+ab=an+bn+cn+ad+bd+cd
a2+b(a-b)=a2-b2+ab
(a+b)(a-b)=a2-b2
2
课程讲授
用平方差公式因式分解
问题1.1 你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？
因为992－1＝(99＋1)(99－1)=100×98，
所以992－1是100的倍数
上面这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式?
平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2
用平方差公式因式分解
问题1.2 将乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2反过来，就变成了a2-b2=(a+b)(a-b)，这个式子有什么特点？这个式子从左到右是因式分解吗？
1.这个等式从左边到右边的变形是多项式的因式分解.
2.这个等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这
两个数的差的积.
用平方差公式因式分解
因式分解
整式乘法
a2-b2
(a+b)(a-b)
定 义：
像上面那样，把两个数的平方差化成两个数的和与这两个数的差的积的形式（平方差公式的逆运算），对某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
用平方差公式因式分解
例1 把下列各式分解因式：
（1）36－25x2 ； （2）16a2－9b2；
（3）9(a＋b)2－4(a－b)2 .
解：（1）36－25x2 =62-(5x)2=(6+5x)(6-5x).
（2）16a2－9b2=(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b).
（3）9(a＋b)2－4(a－b)2=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]
=(5a+b)(a+5b).
用平方差公式因式分解
1.只有两项；
2.这两项可以写成a2－b2的形式．
可以用平方差公式分解因式的多项式具有什么样的特点呢？
用平方差公式因式分解
例2 求图中圆环形绿地的面积S（结果保留π）.
解：S=π×322-π×182
=π×(322-182)
=π×(32+18)×(32-18)
=700π(m2).
答：圆环形绿地的面积是700π m2.
18m
32m
用平方差公式因式分解
练一练：下列能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.a2+b2 B.-a2-b2
C.a2-c2-2ac D.-4a2+b2
D
用完全平方式分解因式
a2+2ab+b2
=a2+ab+ab+b2
=a(a+b)+b(a+b)
=(a+b)(a+b)
a2-2ab+b2
=a2-ab-ab+b2
=a(a-b)-b(a-b)
=(a-b)(a-b)
=(a+b)2
=(a-b)2
提公因式
提公因式
问题2.1 多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？
用完全平方式分解因式
问题2.2 将乘法公式中的完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就变成了
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2和a2－2ab＋b2＝(a－b)2，这两个个式子有什么特点？它们是因式分解吗？
1.这两个个等式从左边到右边的变形都是多项式的因式分解.
2.第1个等式的左边是两个数的平方加上这两个数乘积的2倍，
右边是这两个数和的平方；
第2个等式的左边是两个数的平方减去这两个数乘积的2倍，
右边是这两个数差的平方.
用完全平方式分解因式
因式分解
整式乘法
a2＋2ab＋b2
a2 - 2ab＋b2
(a＋b)2
(a＋b)2
定 义：
像上面那样，把两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍化成两个数的和（或差）的形式（完全平方公式的逆运算），对某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
用完全平方式分解因式
例3 把下列各式分解因式：
（1）x2＋10x＋25 ； （2）4a2＋36ab＋81b2.
解：（1）x2＋10x＋25=x2＋2?x?5＋52=(x+5)2.
（2）4a2＋36ab=(2a)2-2?2a?9b＋(9b)2=(2a-9b)2.
用完全平方式分解因式
例4 把下列各式分解因式：
（1）25a4＋10a2＋1 ； （2）(m＋n)2－4(m＋n)＋4.
解：（1）25a4＋10a2＋1=(5a2)2-2?5a2?1＋12=(5a2+1)2.
（2）(m＋n)2－4(m＋n)＋4
=(m＋n)2-2?(m＋n)?2＋22
=[(m＋n)-2]2
=(m＋n-2)2.
运用公式法因式分解
定 义：
运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式因式分解的方法叫做运用乘法公式法.
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
运用公式法因式分解
例5 把下列各式分解因式：
（1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y；
（3）a2(x－y)－b2(x－y).
解：（1）18a2－50=2(9a2-25)=2(3a+5)(3a-5).
（2）2x2y－8xy＋8y=2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2.
（3）a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a+b)(a－b).
运用公式法因式分解
例6 把下列各式分解因式：
（1）a4－16； （2）81x4－72x2y2＋16y4.
解：（1）a4－16=(a2)2-42=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2).
（2）81x4－72x2y2＋16y4=(9x2)2-2?9x2?＋(4y2)2
=(9x2－4y2)=[(3x+2y)(3x－2y)]2=(3x+2y)2(3x－2y)2.
练一练：把x4-2x2+1因式分解.
运用公式法因式分解
解：x4-2x2+1
= (x2)2-2?x2?1+12
= (x2-1)2
=(x+1 )2(x-1 )2.
3
随堂练习
1.因式分解x2-4y2的结果是（ ）
A.(x+4y)(x-4y) B.(x+2y)(x-2y)
C.(x-4y)2 D.(x-2y)2
B
C
2.把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（ ）
A.2(x2-8) B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2) D.2x(x- )
3.二次三项式x2-6x+k是一个完全平方式，则k的值是_____.
4.填空：
（1）x2+10x+________=（x+________）2；
（2）1012+101×98+492=________.
5.若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是________.
9
22500
25
5
1
6.分解因式：
（1）x3-6x2+9x； （2）-4a2-8ab-4b2；
（3）(a＋b)2－4a2； （4）9(m＋n)2－(m－n)2.
解：（1）x3-6x2+9x =x(x2-6x+9)=x(x-3)2.
（3）(a＋b)2－4a2＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).
（4）9(m＋n)2－(m－n)2
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n).
（2）-4a2-8ab-4b2=-4(a2+2ab+b2)=-4(a+b)2.
7.已知ab=2，a+b=5，求a3b+2a2b2+ab3的值.
解：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.
当ab=2，a+b=5时，
a3b+2a2b2+ab3=2×52=50.
4
课堂小结
运用公式法因式分解
用平方差公式因式分解
运用公式法因式分解
把两个数的平方差化成两个数的和与这两个数的差的积的形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)
用完全平方式分解因式
把两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍化成两个数的和（或差）的形式：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式因式分解的方法叫做运用乘法公式法.