河南省信阳市2021届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

信阳市2020~2021学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学(理科)
一?选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数.则( )
A. B. 1 C. 0 D. 2
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A. 100，40 B. 100，20 C. 200，40 D. 200，20
4. 已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是函数图像，的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）
A. B.
C. D.
8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，，曲线上总存在两点，使曲线在?两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二?填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为________．
14. 在的展开式中，含的项的系数是__________．
15. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则|AB|=_____
16. 在中，，则面积的最大值是____________
三?解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
18. 已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19. 为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分），并从中随机抽取了200名学生的成绩，经过数据分析得到如图1所示的频数分布表，并绘制了得分在以及的茎叶图，分别如图2?3所示．
成绩






频数 5 30 40 50 45 20 10
图1
（1）求这200名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）
（2）如果变量满足且，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”．经计算知样本方差为210，现在取和分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．
（3）学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：
奖金 50 100
概率

现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为，以样本估计总体，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．
（参考数据：）
20. 已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
21. 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)用表示中的最大值，若函数只有一个零点,求的取值范围.
22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点的坐标．
23. 设函数.
（1）解不等式；
（2）当x∈R，0信阳市2020~2021学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学(理科)（答案版）
一?选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知复数.则( )
A. B. 1 C. 0 D. 2
【答案】A
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A. 100，40 B. 100，20 C. 200，40 D. 200，20
【答案】D
4. 已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 如图是函数图像，的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
9. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
11. 如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12. 已知函数，，曲线上总存在两点，使曲线在?两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二?填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为________．
【答案】
14. 在的展开式中，含的项的系数是__________．
【答案】-9
15. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则|AB|=_____
【答案】6
16. 在中，，则面积的最大值是____________
【答案】
三?解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
18. 已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）.（2）
19. 为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分），并从中随机抽取了200名学生的成绩，经过数据分析得到如图1所示的频数分布表，并绘制了得分在以及的茎叶图，分别如图2?3所示．
成绩






频数 5 30 40 50 45 20 10
图1
（1）求这200名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）
（2）如果变量满足且，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”．经计算知样本方差为210，现在取和分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．
（3）学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：
奖金 50 100
概率

现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为，以样本估计总体，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．
（参考数据：）
【答案】（1）65；（2）是成功的，理由详见解析；（3）分布列详见解析，数学期望为87.5
20. 已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆标准方程与焦距；
（2）直线：与椭圆的交点为，两点，线段的中点为.是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
【答案】（1），焦距为；（2）存在常数，使恒成立，详见解析.
21. 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)用表示中的最大值，若函数只有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1) 上单调递减,在上单调递增，.
(2)
22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）到直线距离的最小值为：，此时点的坐标为
23. 设函数.
（1）解不等式；
（2）当x∈R，0【答案】（1）；（2）证明见解析.