河南省信阳市2021届高三上学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

信阳市2020—2021学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知复数false.则false等于（ ）
A.false B.1 C.0 D.2
3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
甲 乙
A.100，40 B.100，20 C.200，40 D.200，20
4.已知正项数列false满足false，false的前false项和为false，则false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.已知角false的终边上有一点false，则false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.如图是函数false的图像，false的解析式可能是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
7.对于任意非零实数false，且false，又false，则有（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.执行如图所示的程序框图，若输入false，则输出的结果是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
9.已知false，在区间false上任取一个实数false，则false的概率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
10.已知直线false与函数false（其中false）的相邻相交于点间的距离为false，则函数false的单调递增区间为（ ）
A.false，false B.false，false
C.false，false D.false，false
11.定义在false上的偶函数false满足false，且当false时，false，函数false是定义在false上的奇函数，当false时，false，则函数false的零点个数是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
12.如图，false，false是双曲线false的左、右焦点，过false的直线与双曲线false交于false、false两点，若false，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知向量false，false，则false在false方向上的投影是______.
14.已知false，则false的值为______.
15.已知抛物线false的焦点为false，过点false的直线交抛物线于false、false两点，且false，则false______.
16.对于任意false，当false时，恒有false成立，则实数false的取值范围是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在false中，false、false、false分别是角false、false、false的对边，且false.
（Ⅰ）求角false的值；
（Ⅱ）若false，且false为锐角三角形，求false的取值范围.
18.已知等比数列false的前false项和为false，满足false，false，false成等差数列，且false.
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）设false，求数列false的前false项和false.
19.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
A B
（Ⅰ）已知抽取的100个使用A订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
（Ⅱ）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
（Ⅲ）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
20.已知椭圆false经过点false且离心率为false.
（Ⅰ）求椭圆false的标准方程与焦距；
（Ⅱ）直线false与椭圆false的交点为false，false两点，线段false的中点为false.是否存在常数false，使false恒成立，并说明理由.
21.已知函数falsefalse.
（Ⅰ）当false时，判断函数false的单调性；
（Ⅱ）若关于false的方程false有两个不同实根false，求实数false的取值范围，并证明：false.
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。
22.已知直线false的参数方程为false(false为参数)，以坐标原点为极点，false正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线false的极坐标方程是false.
（Ⅰ）写出直线false的极坐标方程与曲线false的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点false是曲线false上的动点，求点false到直线false距离的最小值，并求出此时false点坐标.
23.设函数false.
（Ⅰ）解不等式false；
（Ⅱ）当false，false时，证明：false.
2020—2021学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学文科参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11.C 12.A
二、填空题
13.3 14.false 15.6 16.false
三、解答题
17.【解】（Ⅰ）由题意知false，false，
由余弦定理可知false
又false，false
（Ⅱ）由正弦定理可知：false，
即false，false
false
false，
又false为锐角三角形，false，
则false，所以false，
综上false的取值范围为false.
18.【解】（Ⅰ）设数列false的公比为false，依题意得：false，
所以false即false，
因为false，所以false，解得false或false，
因为false，所以false，
又因为false，所以false即false，
所以false；
（Ⅱ）由题意可得：falsefalse
则falsefalse
false.
19.【解】（Ⅰ）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有false个，分别记为为false
从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.
false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false.
甲商家被抽到的情况如下：共10种.
false，false，false，false，false，false，false，false，false，false记时间A为甲商家被抽到，则false.
（Ⅱ）依题意可得，使得A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为falsefalse.
（Ⅲ）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为falsefalse
所以选B款订餐软件.
20.【解】（Ⅰ）因为椭圆false经过点false，且离心率为false，
所以false，false，又因为false，
可解得false，false，焦距为false，所求椭圆方程为：false.
（Ⅱ）存在常数false，使false恒成立，
证明如下：
由false，
得false，false，
设false，false，
则false，false
又因为false，false，.
所以false
false
false
false，
所以false，
因为线段false的中点为false，所以false，所以false.
存在常数false，使false恒成立.
21.【解】：（Ⅰ）false时，false，
故false，
false在false上单调递增.
（Ⅱ）由题意可知false有两解，
设直线false与false相切，切点坐标为false，
则false，解得false，false，false，
false，即false.
false实数false的取值范围是false.
不妨设false，则false，false，
两式相加得：false，
两式相减得：false，
false，故false，
要证false，只需证false，
即证false，
令false，故只需证false在false恒成立即可.
令false，
即false，
false在false上单调递增，
false，
即false在false恒成立
故原命题成立
22.【解】：（Ⅰ）由false得false，所以直线false的极坐标方程为
false
即false，即false
因为false，false，false，
即false，
故曲线false的直角坐标方程为false.
（Ⅱ）设false点的坐标为false，则false，所以false点到直线false的距离
falsefalse
所以当false时，false，此时false点的坐标为false，
所以当false点坐标为false时，false点到直线false的距离最小，最小值为false.
23.【解】（Ⅰ）由已知可得false，
当false时，false成立；
当false时，false，即false，则false，
所以false的解集为false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，false，
由于false，
则falsefalse，
当且仅当false，即false时取等号，
则有false.