江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高一下学期期初学情调研数学试题 Word版含解析

南京市秦淮中学2020－2021学年第二学期期初学情调研试卷
高 一 数 学 2021.02
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
3. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ）
A. 60万元 B. 160万元 C. 200万元 D. 240万元
4. 下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（　　）
A. B. C. D.
5. 已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7. “”是“函数在上是增函数”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在自然界，大气压强（单位：mmHg）和海拔高度（单位：m）的关系可用指数模型来描述，根据统计计算得到，．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（ ）（参考数据：）
A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C. 横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．的最小值为
11.设正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）
A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13、 已知幂函数的图象关于原点对称，则________.
14．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
15．已知则的值为 ▲ ．
16. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式的解集为____.
四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A为锐角，___________.
（1）求角A的大小；（2）求的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19. 已知.
（1）求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）若函数在区间上有最小值，求a的值.
20. 某同学用“五点法”画函数(其中A>0，0>0，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：（1）请根据上表中的部分数据，求出函数f(x)的解析式；（2）若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值.
ωx+φ 0
π
2π
x




Asin(ωx+φ)+B
3
-1
21. 已知函数的最小值为0．
（1）求实数的值；
（2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围．
22.已知二次函数对任意的都有，且．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数．
①若存在实数，，使得在区间上为单调函数，且取值范围也为，求的取值范围；
②若函数的零点都是函数的零点，求的所有零点．
南京市秦淮中学2020－2021学年第二学期期初学情调研试卷
高 一 数 学 （答案版） 2021.02
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】或，，
∴或.故选：C.
3. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ）
A. 60万元 B. 160万元 C. 200万元 D. 240万元
【答案】D
【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用和为：
(万元)，当且仅当“”即“”时取等号.故选：D .
4. 下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，的最小正周期为，在区间有增有减，故A错误；对于B，的最小正周期为，故B错误；对于C，的最小正周期为，在区间上单调递增，故C正确；对于D，的最小正周期为，故D错误.故选：C.
5. 已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上为增函数，且，所以，
因为在上为增函数，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，即，因为，所以，即，所以，故选：C
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 当时，，，所以，当时，，
当时， ，，所以，所以排除A，C，
当时，，，所以，所以排除D 故选：B
7. “”是“函数在上是增函数”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则抛物线的对称轴，
因为在上为增函数，
所以函数在上是增函数，
而当函数在上是增函数时，可得，，得，
所以“”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件，
故选：A
8. 在自然界，大气压强（单位：mmHg）和海拔高度（单位：m）的关系可用指数模型来描述，根据统计计算得到，．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（ ）（参考数据：）
A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m
【答案】C
【解析】由题意得，若设大气压强约为350 mmHg时，海拔高度为m，则有，所以，
，两边取对数，得，
解得，故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．
9. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C. 横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
【答案】BC
【解析】要得到函数的图象，可将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到．也可将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得．故选：BC．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】∵的周期为，故A正确；
∵时，，此时有最小值，图象关于对称，B正确；
∵时，，∴在上不单调，C错误；
∵，故D正确.
故选：ABD.
11.设正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号.
A：因为，所以本选项不正确；
B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；
C：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；
D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确.
故选：BD
12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）
A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根
【答案】AD
【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
，所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；
由函数的图象得到不是周期函数，故选项B不正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故选：AD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13、 已知幂函数的图象关于原点对称，则________.
【答案】-2
14．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】[－1,0]
【解析】因为函数的定义域为，所以对恒成立，
即恒成立因此解得
则的取值范围为，故答案为
15．已知则的值为 ▲ ．
【答案】
【考点】三角函数中同角的三角函数关系式与诱导公式综合应用（给值求值）
【解析】因为，，所以sin(－α)＝
，，
所以sin(－α)＋sin2(－α)＝.故答案为.
16. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式的解集为____.
【答案】（或）
【解析】【由对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，则函数关于对称，
当x≤1时，，函数单调递增，所以当时，函数单调递减，
所以不等式，即，即，
两边平方解不等式可得，所以不等式的解集为（或）.
故答案为：（或）
四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】集合化简得，
（1）当时，，
所以
（2）因为是的必要不充分条件，所以
所以，验证当时满足，
所以实数的取值范围为.
18. 在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A为锐角，___________.
（1）求角A的大小；（2）求的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】若选①，
（1）由可得，因为为锐角，故.
（2）.
若选②，（1）由，故，
故或（舍），因为为锐角，故.
（2）.
若选③，（1）由可得，因为为锐角，故，
故.（2）.
【点睛】方法点睛：（1）利用同角的三角函数基本关系式化简时，常见的方法有弦切互化法、“1的代换”等，注意根据三角函数式的特征选择合适的方法.
（2）使用诱导公式化简三角函数式，注意函数名是否改变，三角函数式的符号是否改变.
19. 已知.
（1）求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）若函数在区间上有最小值，求a的值.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）因为，所以，所以，所以；
（2）因为且，所以，解得．
所以不等式的解集为；
（3）令，则，设，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，解得．
当时，在区间上单调递增，所以，解得（舍去）．综上可得：．
20. 某同学用“五点法”画函数(其中A>0，0>0，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
ωx+φ 0
π
2π
x




Asin(ωx+φ)+B
3
-1
（1）请根据上表中的部分数据，求出函数f(x)的解析式；
（2）若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题，函数的周期，所以，
由，得，故，
由表可知，，得，所以.
（2）由（1）可知，
由，得，所以；
当时，的最大值是，最小值是，
解得；
当时，的最大值是，最小值是，
解得，
综上，；或.
21. 已知函数的最小值为0．
（1）求实数的值；
（2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）当时,f(x)在上单调递增,所以f(x)没有最小值,不合题意；
当时,在上任意上任取且,
则,
当时,
在是减函数；
当时,
在是增函数．
所以．
（2）令,则在是减函数,在是增函数,
则有个不同根,得有个不同根,
一根,另一根,
记,
则得.
22.已知二次函数对任意的都有，且．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数．
①若存在实数，，使得在区间上为单调函数，且取值范围也为，求的取值范围；
②若函数的零点都是函数的零点，求的所有零点．
【解析】（1）设二次函数的解析式为，
则，
由得恒成立，又，
所以，所以，所以；
（2）①由（1）可得:，对称轴，在区间上单调，
所以或，
当时，在区间上单调增，所以，即为的两个根，所以只要有小于等于2两个不相等的实根即可，
所以要满足，得
当时，在区间上单调减，所以，即
两式相减得，因为，所以，
所以，，得；
综上，的取值范围为
②设为的零点，则，即，得或，
当时，
所以所有零点为；
当时，
由得，
所以所有零点为．