南京市秦淮中学2020-2021学年第二学期期初学情调研试卷
高 一 数 学 2021.02
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
2.已知集合,,则( )
A. B.
C.或 D.或
3. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用和最小为( )
A. 60万元 B. 160万元 C. 200万元 D. 240万元
4. 下列四个函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
5. 已知实数,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7. “”是“函数在上是增函数”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在自然界,大气压强(单位:mmHg)和海拔高度(单位:m)的关系可用指数模型来描述,根据统计计算得到,.现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg,则当大气压强约为350 mmHg时,海拔高度约为( )(参考数据:)
A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有选错的得0分.
9. 为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍
B. 向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的倍
C. 横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.在单调递增 D.的最小值为
11.设正实数,满足,则( )
A. B.
C. D.
12. 高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如,.已知函数,函数,则( )
A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13、 已知幂函数的图象关于原点对称,则________.
14.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为________.
15.已知则的值为 ▲ .
16. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,有f(1-x)=f(1+x),当x≤1时,,则不等式的解集为____.
四、解答题:本大题共6小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)设,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
18. 在条件:①;②;③中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.已知角A为锐角,___________.
(1)求角A的大小;(2)求的值.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
19. 已知.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求不等式的解集;
(3)若函数在区间上有最小值,求a的值.
20. 某同学用“五点法”画函数(其中A>0,0>0,在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如表:(1)请根据上表中的部分数据,求出函数f(x)的解析式;(2)若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7,最小值为1,求实数a,b的值.
ωx+φ 0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)+B
3
-1
21. 已知函数的最小值为0.
(1)求实数的值;
(2)函数有6个不同零点,求实数k的取值范围.
22.已知二次函数对任意的都有,且.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数.
①若存在实数,,使得在区间上为单调函数,且取值范围也为,求的取值范围;
②若函数的零点都是函数的零点,求的所有零点.
南京市秦淮中学2020-2021学年第二学期期初学情调研试卷
高 一 数 学 (答案版) 2021.02
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.已知集合,,则( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
【详解】或,,
∴或.故选:C.
3. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用和最小为( )
A. 60万元 B. 160万元 C. 200万元 D. 240万元
【答案】D
【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用和为:
(万元),当且仅当“”即“”时取等号.故选:D .
4. 下列四个函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A,的最小正周期为,在区间有增有减,故A错误;对于B,的最小正周期为,故B错误;对于C,的最小正周期为,在区间上单调递增,故C正确;对于D,的最小正周期为,故D错误.故选:C.
5. 已知实数,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上为增函数,且,所以,
因为在上为增函数,所以,即,因为在上为增函数,且,所以,即,因为,所以,即,所以,故选:C
6. 函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 当时,,,所以,当时,,
当时, ,,所以,所以排除A,C,
当时,,,所以,所以排除D 故选:B
7. “”是“函数在上是增函数”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时,,则抛物线的对称轴,
因为在上为增函数,
所以函数在上是增函数,
而当函数在上是增函数时,可得,,得,
所以“”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件,
故选:A
8. 在自然界,大气压强(单位:mmHg)和海拔高度(单位:m)的关系可用指数模型来描述,根据统计计算得到,.现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg,则当大气压强约为350 mmHg时,海拔高度约为( )(参考数据:)
A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m
【答案】C
【解析】由题意得,若设大气压强约为350 mmHg时,海拔高度为m,则有,所以,
,两边取对数,得,
解得,故选:C
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有选错的得0分.
9. 为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍
B. 向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的倍
C. 横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度
【答案】BC
【解析】要得到函数的图象,可将y=cosx的图象上所有点向左平移个单位长度,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变而得到.也可将y=cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.故选:BC.
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.在单调递增 D.的最小值为
【答案】ABD
【解析】∵的周期为,故A正确;
∵时,,此时有最小值,图象关于对称,B正确;
∵时,,∴在上不单调,C错误;
∵,故D正确.
故选:ABD.
11.设正实数,满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BD因为正实数,满足,所以,当且仅当时,取等号.
A:因为,所以本选项不正确;
B:设,函数在时,单调递减,因此当时,函数有最小值,最小值为,因此有,即,所以本选项正确;
C:因为正实数,满足,
所以,当且仅当时,取等号,即时,取等号,所以本选项不正确;
D:因为正实数,满足,所以,因此本选项正确.
故选:BD
12. 高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如,.已知函数,函数,则( )
A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根
【答案】AD
【解析】【分析】先研究函数的奇偶性,作出函数的图象,作出函数的图象判断选项ABC的正确性,再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
,所以函数为偶函数,
当时,;
当时,;
当时,;
所以函数的图象如图所示,
所以函数的图象如图所示,
所以函数的值域是,故选项A正确;
由函数的图象得到不是周期函数,故选项B不正确;
由函数的图象得到函数的图象不关于对称,故选项C不正确;
对于方程,当时,,方程有一个实数根;
当时,,此时,此时方程没有实数根;
当时,,此时,此时方程没有实数根;
故方程只有一个实数根,故选项D正确.
故选:AD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13、 已知幂函数的图象关于原点对称,则________.
【答案】-2
14.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为________.
【答案】[-1,0]
【解析】因为函数的定义域为,所以对恒成立,
即恒成立因此解得
则的取值范围为,故答案为
15.已知则的值为 ▲ .
【答案】
【考点】三角函数中同角的三角函数关系式与诱导公式综合应用(给值求值)
【解析】因为,,所以sin(-α)=
,,
所以sin(-α)+sin2(-α)=.故答案为.
16. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,有f(1-x)=f(1+x),当x≤1时,,则不等式的解集为____.
【答案】(或)
【解析】【由对任意的实数x,有f(1-x)=f(1+x),则函数关于对称,
当x≤1时,,函数单调递增,所以当时,函数单调递减,
所以不等式,即,即,
两边平方解不等式可得,所以不等式的解集为(或).
故答案为:(或)
四、解答题:本大题共6小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)设,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】集合化简得,
(1)当时,,
所以
(2)因为是的必要不充分条件,所以
所以,验证当时满足,
所以实数的取值范围为.
18. 在条件:①;②;③中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.已知角A为锐角,___________.
(1)求角A的大小;(2)求的值.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
【解析】若选①,
(1)由可得,因为为锐角,故.
(2).
若选②,(1)由,故,
故或(舍),因为为锐角,故.
(2).
若选③,(1)由可得,因为为锐角,故,
故.(2).
【点睛】方法点睛:(1)利用同角的三角函数基本关系式化简时,常见的方法有弦切互化法、“1的代换”等,注意根据三角函数式的特征选择合适的方法.
(2)使用诱导公式化简三角函数式,注意函数名是否改变,三角函数式的符号是否改变.
19. 已知.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求不等式的解集;
(3)若函数在区间上有最小值,求a的值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】(1)因为,所以,所以,所以;
(2)因为且,所以,解得.
所以不等式的解集为;
(3)令,则,设,,当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,则,解得.
当时,在区间上单调递增,所以,解得(舍去).综上可得:.
20. 某同学用“五点法”画函数(其中A>0,0>0,在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如表:
ωx+φ 0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)+B
3
-1
(1)请根据上表中的部分数据,求出函数f(x)的解析式;
(2)若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7,最小值为1,求实数a,b的值.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)由题,函数的周期,所以,
由,得,故,
由表可知,,得,所以.
(2)由(1)可知,
由,得,所以;
当时,的最大值是,最小值是,
解得;
当时,的最大值是,最小值是,
解得,
综上,;或.
21. 已知函数的最小值为0.
(1)求实数的值;
(2)函数有6个不同零点,求实数k的取值范围.
【解析】(1)当时,f(x)在上单调递增,所以f(x)没有最小值,不合题意;
当时,在上任意上任取且,
则,
当时,
在是减函数;
当时,
在是增函数.
所以.
(2)令,则在是减函数,在是增函数,
则有个不同根,得有个不同根,
一根,另一根,
记,
则得.
22.已知二次函数对任意的都有,且.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数.
①若存在实数,,使得在区间上为单调函数,且取值范围也为,求的取值范围;
②若函数的零点都是函数的零点,求的所有零点.
【解析】(1)设二次函数的解析式为,
则,
由得恒成立,又,
所以,所以,所以;
(2)①由(1)可得:,对称轴,在区间上单调,
所以或,
当时,在区间上单调增,所以,即为的两个根,所以只要有小于等于2两个不相等的实根即可,
所以要满足,得
当时,在区间上单调减,所以,即
两式相减得,因为,所以,
所以,,得;
综上,的取值范围为
②设为的零点,则,即,得或,
当时,
所以所有零点为;
当时,
由得,
所以所有零点为.