人教A版选修2-2第一章导数及其应用 1.1.1-1.1.2 变化率问题和导数的概念（共12张PPT）

1.1.1变化率问题
1.1.2导数的概念
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的平均膨胀率和运动员的平均速度都是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率：
思考：
可用式子
平均变化率的定义：
表示。
所以，平均变化率可以表示为：
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
注意
3、平均变化率的几何意义就是两点间（如AB两点）的斜率。
o
A
B
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在区间[ –2 , –1]的平均变化率。
(1)解：
△y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
(2)解：
△y=f (-1)- f (-2)= -3
△x= -1-(-2)=1

求函数的平均变化率
，计算运动员在
这段时间内的平均速度，并回答下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(2) 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．需要用瞬时速度描述运动状态（物体在某一时刻的速度称为瞬时速度）.
但不是静止
如何求某时刻的瞬时速度呢?更一般的如何求出函数在某点的瞬时变化率？
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 , 即
说明：
求函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤：
2.算比值（平均变化率）：
1.求函数增量：
3.取极限，得导数：
例：
练习：求下列函数在x=1时的导数：
(1) y=x2
（2）y = x2 + x
(1) 2
(2) 3
做课本P6练习