“课时素养评价”
二 数列中的递推
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.数列,,,,…的递推公式可以是
( )
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.a1=,an+1=an(n∈N+)
D.a1=,an+1=2an(n∈N+)
【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(n∈N+).
2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=
( )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,
a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.
3.(多选题)如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为
( )
A.an=2n+3
B.an=-n2-3n+1
C.an=
D.an=1+log2n
【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;
B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-,所以为递减数列;
C是n的指数函数,且底数为,是递减数列;
D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.
【加练·固】
在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是
( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
【解析】选C.因为{an}是递减数列,
所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
4.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是
( )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
【解析】选C.因为ln
an+1-ln
an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.?
【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以
当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6;
当n=4时,a4=4a3=24;
当n=5时,a5=5a4=120.
故a5=120.
答案:120
6.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.?
【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,
a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则a3==,a5==.故a3+a5=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+(n∈N+).
(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+).
【解析】(1)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=.
(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.
【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,
所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]
=4n-5.
n=1时,4n-5=-1≠a1,
所以{an}的通项公式an=(n∈N+).
(15分钟·30分)
1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2
012=
( )
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,
…
故知{an}是周期为6的数列,
所以a2
012=a2=6.
2.(5分)已知数列{an}满足an=若对于任意的n∈N+都有an
( )
A.(1,4)
B.(2,5)
C.(1,6)
D.(4,6)
【解析】选A.因为对于任意的n∈N+都有an所以应满足解得1故实数a的取值范围是(1,4).
3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N+),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.?
【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.
当n=1时,a1=S1=1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.
答案:12 2n
4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
(1)该数列有无限多个正数项.
(2)该数列有无限多个负数项.
(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.
(4)-70是该数列中的一项.
其中正确说法的序号为________.?
【解析】令-2n2+13n>0,得0令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).
即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.
答案:(2)(4)
5.(10分)已知数列{an}满足a1=,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.
所以n≥2时,=+++…+=2+
=n+1.所以=n+1,所以当n≥2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(n∈N+).
1.(2020·辛集高二检测)已知an=(n∈N+),则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是
( )
A.a1,a50
B.a1,a44
C.a45,a50
D.a44,a45
【解析】选D.an==1+,
因为442=1
936,452=2
025,
所以n≤44时,数列{an}单调递减,且01.
所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.
2.设an=n2-2kn+6(n∈N+,k∈R)
(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;
(2)若对任意的n∈N+,≥1,求k的取值范围.
【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,
解得k<,所以k<.
所以k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件.
(2)因为对任意的n∈N+,≥1,
所以n+-2k≥1,即n+≥2k+1,
因为n+≥5,
所以2k+1≤5,所以k≤2.
所以k的取值范围是k≤2.5.1.2 数列中的递推
必备知识·素养奠基
1.数列的递推公式
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
提示:
不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号,直接用代入法求出该项
都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项
递推公式
可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项
2.数列的前n项和
(1)定义:一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.
(2)关系:an=
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)递推公式不能用来表示数列.
( )
(2)所有的数列都有递推公式.
( )
(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )
(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.
( )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…
的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
(3)×.还需知道数列中至少一项的值.
(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).?
【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N+),得an<0(n∈N+).
又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.
答案:递减
关键能力·素养形成
类型一 由递推公式写数列的项
【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么a4的值为
( )
A.4
B.8
C.15
D.31
2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________.?
3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N+);
(2)a1=1,an+1=(n∈N+);
(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N+).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.
2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.
3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.
2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,
a5=a4+a3=8.
答案:8
3.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2=,a3==,
a4=,a5==,所以an=.
(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,
a3=19=1+2×32,
a4=55=1+2×33,
a5=163=1+2×34,
所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】
由递推公式写出通项公式的步骤是什么?
提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.
(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【习练·破】
设数列{an}满足写出这个数列的前五项.
【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.
类型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法
【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-ln
n,a1=2,
a2-a1=ln
2,a3-a2=ln
3-ln
2,
a4-a3=ln
4-ln
3,…
an-an-1=ln
n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式相加得an=2+ln
2+(ln
3-ln
2)+…+[ln
n-ln(n-1)].
所以an=2+ln
n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln
n.
【素养·探】
在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+(n≥2),
所以an-an-1==-,
所以a1=1,
a2-a1=-,
a3-a2=-,
a4-a3=-,
…
an-an-1=-.
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)
=-+1.
当n=1时a1=1也适合上式,
所以an=-+1.
角度2 累乘法
【典例】设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.
【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),
所以=,an=×××…×××a1=×××…×××1=.
又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.
【类题·通】
1.用“累加法”求数列的通项公式
当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=···…··a1累乘来求通项an.
【习练·破】
已知数列{an}中,a1=1,当n∈N+且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.
【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,
所以=,
所以···…··=···…··=.
所以=,
所以an=,
当n=1时符合上式,
所以an=,n∈N+.
【加练·固】
若a1=2,an+1=an,求该数列{an}的通项公式.
【解析】由an+1=an,可得=,
则an=···…··a1=···…··2=,n=1时,a1=2也满足上式,
所以an=.
类型三 数列相关概念的应用
角度1 Sn与an的关系
【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.
【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.
【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N+).
【素养·探】
本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.
【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.
所以an=(n∈N+).
角度2 数列的单调性
【典例】已知函数f(x)=(x+1)(x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)
(n∈N+).
(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.
(2)求该数列的最大项.
【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.
(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1).
所以an+1-an=(n+2)-(n+1)=
,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1则a1a11>a12>….
所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.
a9=a10=10×.
【内化·悟】
数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?
提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】
1.关于Sn与an的关系
数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an=求通项公式
时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是
要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.
2.数列单调性的判断方法
根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.
3.求数列的最大项和最小项的方法
方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.
方法二:解不等式(组):设an是最大项,则有对任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式组即可.
【习练·破】
1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是
( )
A.107
B.108
C.108
D.109
【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2+108,由于n∈N+,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________.?
【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,
an==.
答案:7
【加练·固】
数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1所以数列中仅有两项a2,a3是负数.
(2)an=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,
又n∈N+,所以n取2,3时,an有最小值-2.
课堂检测·素养达标学
1.符合递推关系式an=an-1的数列是
( )
A.1,2,3,4,…
B.1,,2,2,…
C.,2,,2,…
D.0,,2,2,…
【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}为
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定数列的增减性
【解析】选B.因为an==2+,所以n≥2时,an-an-1=2+-2-=-<0,所以an3.
已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=________.?
【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,
a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:255
4.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2
020=________.?
【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,
所以{an}的周期为2,所以a2
020=a2=-.
答案:-
【新情境·新思维】
两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足
( )
A.an+1=4an-3n
B.an+1=4an-1
C.an+1=2an+1
D.an+1=2an+n
【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.(共75张PPT)
5.1.2 数列中的递推
必备知识·素养奠基
1.数列的递推公式
如果已知数列的_____(或_______),且数列的_________或_________的关系都
可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递
归公式).
首项
前几项
相邻两项
两项以上
【思考】
数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
提示:
不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号,直接用代入法求出该项
都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项
递推公式
可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项
2.数列的前n项和
(1)定义:一般地,给定数列{an},称Sn=_____________为数列{an}的前n项和.
(2)关系:
a1+a2+a3+…+an
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)递推公式不能用来表示数列.
( )
(2)所有的数列都有递推公式.
( )
(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )
(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.
( )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.
(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如
精确到1,0.1,0.01,0.001,…
的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
(3)×.还需知道数列中至少一项的值.
(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0,
(n∈N+),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).?
【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N+),得an<0(n∈N+).
又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.
答案:递减
关键能力·素养形成
类型一 由递推公式写数列的项
【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么a4的值为
( )
A.4
B.8
C.15
D.31
2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________.?
3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N+);
(2)a1=1,an+1=
(n∈N+);
(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N+).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.
2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.
3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),
所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.
2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,
a5=a4+a3=8.
答案:8
3.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2=
,a3=
a4=
,a5=
,所以an=
(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,
a3=19=1+2×32,
a4=55=1+2×33,
a5=163=1+2×34,
所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】
由递推公式写出通项公式的步骤是什么?
提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).
(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.
(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【习练·破】
设数列{an}满足
写出这个数列的前五项.
【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+
=2,a3=1+
=
,a4=1+
,
a5=1+
.
类型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法
【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln
,求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln
=ln(1+n)-ln
n,a1=2,
a2-a1=ln
2,a3-a2=ln
3-ln
2,
a4-a3=ln
4-ln
3,…
an-an-1=ln
n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式相加得an=2+ln
2+(ln
3-ln
2)+…+[ln
n-ln(n-1)].
所以an=2+ln
n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln
n.
【素养·探】
在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究
递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.
将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+
(n≥2)”,求数列的
通项公式.
【解析】因为an=an-1+
(n≥2),
所以an-an-1=
=
,
所以a1=1,
a2-a1=
,
a3-a2=
,
a4-a3=
,
…
an-an-1=
.
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1+(
)+(
)+(
)+…+(
)
=
.
当n=1时a1=1也适合上式,
所以an=
.
角度2 累乘法
【典例】设数列{an}中,a1=1,an=
(n≥2),求数列的通项公式an.
【思维·引】将递推公式整理为
=f(n),累乘求通项公式.
【解析】因为a1=1,an=
(n≥2),
所以
,an=
又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=
.
【类题·通】
1.用“累加法”求数列的通项公式
当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+
(a2-a1)+a1累加来求通项an.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当
=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=
累乘来求通
项an.
【习练·破】
已知数列{an}中,a1=1,当n∈N+且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.
【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,
所以
,
所以
所以
,
所以an=
,
当n=1时符合上式,
所以an=
,n∈N+.
【加练·固】
若a1=2,an+1=
,求该数列{an}的通项公式.
【解析】由an+1=
,可得
,
则an=
时,a1=2也满足上式,
所以an=
.
类型三 数列相关概念的应用
角度1 Sn与an的关系
【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.
【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.
【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N+).
【素养·探】
本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.
【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.
所以
角度2 数列的单调性
【典例】已知函数f(x)=(x+1)
(x∈R),设数列{an}的通项公式
an=f(n)(n∈N+).
(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.
(2)求该数列的最大项.
【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.
(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1)
.
所以an+1-an=(n+2)
-(n+1)
=
,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1则a1a11>a12>….
所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.
a9=a10=10×
.
【内化·悟】
数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?
提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】
1.关于Sn与an的关系
数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为
求通项公式时注
意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验
证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.
2.数列单调性的判断方法
根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1列;若an+1=an,则{an}是常数列.
作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单
调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.
3.求数列的最大项和最小项的方法
方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大
项或最小项.
方法二:解不等式(组):设an是最大项,则有
对任意n∈N+且n≥2均成立,
解不等式组即可.
【习练·破】
1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是
( )
A.107
B.108
C.108
D.109
【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2
+108
,由于n∈N+,故当n取
距离
最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为
a7=108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________.?
【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,
答案:7
【加练·固】
数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1所以数列中仅有两项a2,a3是负数.
(2)an=n2-5n+4=
,其对称轴为n=
,
又n∈N+,所以n取2,3时,an有最小值-2.
1.符合递推关系式an=
an-1的数列是
( )
A.1,2,3,4,…
B.1,
,2,
,…
C.
,2,
,2,…
D.0,
,2,
,…
【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的
倍,
符合递推公式an=
an-1.
课堂检测·素养达标
2.已知数列{an}的通项公式为an=
,则数列{an}为
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定数列的增减性
【解析】选B.因为an=
=2+
,所以n≥2时,an-an-1=2+
<0,所以an3.
已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=________.?
【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,
a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:255
4.已知数列{an}中,a1=2,an=
(n≥2),则a2
020=________.?
【解析】因为a2=-
=-
,a3=-
=2,a4=-
=a2,
所以{an}的周期为2,所以a2
020=a2=-
.
答案:-
【新情境·新思维】
两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足
( )
A.an+1=4an-3n
B.an+1=4an-1
C.an+1=2an+1
D.an+1=2an+n
【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.
课时素养评价
二 数列中的递推
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,
有选错的得0分)
1.数列
…的递推公式可以是
( )
A.an=
(n∈N+)
B.an=
(n∈N+)
C.a1=
,an+1=
an(n∈N+)
D.a1=
,an+1=2an(n∈N+)
【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的
,故递推公式为a1=
,an+1
=
an(n∈N+).
2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=
( )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,
a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.
3.(多选题)如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为
( )
A.an=2n+3
B.an=-n2-3n+1
C.an=
D.an=1+log2n
【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;
B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-
,所以为递减数列;
C是n的指数函数,且底数为
,是递减数列;
D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.
【加练·固】
在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是
( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
【解析】选C.因为{an}是递减数列,
所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
4.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是
( )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
【解析】选C.因为ln
an+1-ln
an=1,所以ln
=1.所以
=e.由累乘法可得
an=en-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.?
【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以
当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6;
当n=4时,a4=4a3=24;
当n=5时,a5=5a4=120.
故a5=120.
答案:120
6.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=
________.?
【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,
a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,
则
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+
(n∈N+).
(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+).
【解析】(1)a1=1,a2=
,a3=
=2,a4=
.猜想an=
(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.
【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,
所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]
=4n-5.
n=1时,4n-5=-1≠a1,
所以{an}的通项公式an=
(n∈N+).
【能力练】(15分钟·30分)
1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2
012=
( )
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,
a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,
…
故知{an}是周期为6的数列,
所以a2
012=a2=6.
2.(5分)已知数列{an}满足an=
若对于任意的n∈N+都有an成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(1,4)
B.(2,5)
C.(1,6)
D.(4,6)
【解析】选A.因为对于任意的n∈N+都有an所以应满足
解得1故实数a的取值范围是(1,4).
3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+n(n∈N+),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.?
【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.
当n=1时,a1=S1=1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.
答案:12 2n
4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
(1)该数列有无限多个正数项.
(2)该数列有无限多个负数项.
(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.
(4)-70是该数列中的一项.
其中正确说法的序号为________.?
【解析】令-2n2+13n>0,得0,故数列{an}有6项是正数项,有无限个负数项,
所以(1)错误,(2)正确;当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)
取到最大值,所以(3)错误;
令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-
(舍去).
即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.
答案:(2)(4)
5.(10分)已知数列{an}满足a1=
,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公
式.
【解析】因为anan-1=an-1-an,所以
=1.
所以n≥2时,
=n+1.
所以
=n+1,所以当n≥2时,an=
.当n=1时,a1=
也适合上式,所以an=
(n∈N+).
【培优练】
1.(2020·辛集高二检测)已知an=
(n∈N+),则数列{an}的前50项中最
小项和最大项分别是
( )
A.a1,a50
B.a1,a44
C.a45,a50
D.a44,a45
【解析】选D.an=
=1+
因为442=1
936,452=2
025,
所以n≤44时,数列{an}单调递减,且01.
所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.
2.设an=n2-2kn+6(n∈N+,k∈R)
(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;
(2)若对任意的n∈N+,
≥1,求k的取值范围.
【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,
解得k<
所以k<
.
所以k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件.
(2)因为对任意的n∈N+,
≥1,
所以n+
-2k≥1,即n+
≥2k+1,
因为n+
≥5,
所以2k+1≤5,所以k≤2.
所以k的取值范围是k≤2.