第2课时 等差数列习题课
关键能力·素养形成
类型一 由递推公式写数列的项
【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1=,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式an=________.?
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列.
【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定义证出数列是等差数列.
2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N+时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.
【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,
所以an=-2Sn·Sn-1.
当n=1时,a1=.
当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1,
所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.
因为a1=,所以SnSn-1≠0,
①式的两边同除以SnSn-1得:
-=-2即:-=2,
所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,
所以=2+2(n-1)=2n,即:Sn=,
则an=-2SnSn-1=-(n≥2).
因为a1=不满足an=-(n≥2),
所以数列的通项公式为an=
答案:
2.(1)因为Sn=3n2+2n,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.
又a1=S1=5,满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.
(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,
所以{an}是等差数列.
【素养·探】
在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,根据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-1”,如何解答?
【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.
又a1=S1=4,不满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=
(2)由(1)知,当n≥2时,
an+1-an=[6(n+1)
-1]-(6n-1)=6,
但a2-a1=11-4=7≠6,
所以{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
【类题·通】
1.由Sn求通项公式an的步骤
第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;
第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;
第三步:验证a1与an的关系:
(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.
(2)若a1不适合an,则an=
2.Sn与an的关系式的应用
Snan
(1)“和”变“项”.
首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.
(2)“项”变“和”.
首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.
提醒:关于数列的式子中,如果含有如an-1,Sn-1,必须注明n≥2.
【习练·破】
设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N+,an与1的等差中项等于,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意知,=,得Sn=,
所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.
即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,
所以an+1-an=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.
【加练·固】
数列{an}的前n项和Sn=-n2+n-1,求数列{an}的通项公式.
【解析】n=1时,a1=S1=-+1-1=-,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=-n2+n-1-=
-3n+,因为a1=-不适合an=-3n+,
所以an=
类型二 实际应用题
【典例】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=
( )
A.23
B.32
C.35
D.38
【思维·引】儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.
【解析】选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+×(-3)=207,
解得a1=35.
【内化·悟】
解答等差数列实际应用问题的关键是什么?
提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公【类题·通】
应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10
m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________
m.?
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+×20+10×20+×20=2
000.
答案:2
000
类型三 数列求和问题
角度1 裂项求和与并项求和问题
【典例】1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于
( )
A.0
B.100
C.-100
D.10
200
2.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.
2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;
(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.
【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),
所以由已知条件知an=
即an=
所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),
所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+
(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为所以
解得a1=1,d=.
所以{an}的通项公式为an=.
(2)bn===-,
所以Sn=++…+
=.
【素养·探】
在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.
将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10
=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+
(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
角度2 求数列{|an|}的前n项的和
【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.
【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得解得则an=n+2.
(2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn=n(19+21-2n)=20n-n2,
当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;
当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,
综上可得数列{|bn|}的前n项和为
Tn=
【类题·通】
1.裂项相消求和
(1)适用数列:形如(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式:=.
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
(4)特殊裂项:
①==.
②=-.
③=.
④=1+.
2.关于并项法求数列的和
(1)适用形式:
①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.
3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
【习练·破】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,满足a1+a2=10,S5=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知,a1+a2=2a1+d=10,
S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,
所以所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
(2)令cn=13-an=11-2n,
bn=|cn|=|11-2n|=设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.
当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.
【加练·固】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.
(1)求an及Sn.
(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
即解得
则an=3+2(n-1)=2n+1,
所以Sn=3n+=n2+2n.
(2)由题意可得bn===2,
所以Tn=b1+b2+…+bn=2
=2<2.
2.等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n--(n-1)2+(n-1)=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n,
当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=n2-n+3
502,
所以Tn=
课堂检测·素养达标
1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019=
( )
A.-2
020
B.-1
010
C.-505
D.1
010
【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019
=(1+5+9+…+2
017)-(3+7+11+…+2
019)
=(1+2
017)-=-1
010.
2.+++…+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式=++…+==.
3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两周共得________积分.?
【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周共得=105积分.
答案:105
4.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=________.?
【解析】由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,
所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18
=2S10-S18=60.
答案:60
【新情境·新思维】
在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列的前100项和S100.
【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,
第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,
所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,
所以==-,
所以数列的前100项和S100=1-+-+…+-=1-=.(共80张PPT)
第2课时 等差数列习题课
关键能力·素养形成
类型一
由递推公式写数列的项
【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1=
,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N+),
则数列{an}的通项公式an=________.?
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列.
【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定义
证出数列
是等差数列.
2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N+时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.
【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,
所以an=-2Sn·Sn-1.
当n=1时,a1=
.
当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1,
所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.
因为a1=
,所以SnSn-1≠0,
①式的两边同除以SnSn-1得:
-
=
-2
即:
-
=2,
所以数列
是首项为2,公差为2的等差数列,
所以
=2+2(n-1)=2n,即:Sn=
,
则an=-2SnSn-1=
-
(n≥2).
因为a1=
不满足an=-
(n≥2),
所以数列的通项公式为an=
答案:
2.(1)因为Sn=3n2+2n,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.
又a1=S1=5,满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.
(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,
所以{an}是等差数列.
【素养·探】
在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,根据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-1”,如何解答?
【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,
所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,
所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.
又a1=S1=4,不满足an=6n-1,
所以数列{an}的通项公式是an=
(2)由(1)知,当n≥2时,
an+1-an=[6(n+1)
-1]-(6n-1)=6,
但a2-a1=11-4=7≠6,
所以{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
【类题·通】
1.由Sn求通项公式an的步骤
第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;
第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;
第三步:验证a1与an的关系:
(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.
(2)若a1不适合an,则an=
2.Sn与an的关系式的应用
(1)“和”变“项”.
首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化
为“项”之间的关系,最后求通项公式.
(2)“项”变“和”.
首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.
提醒:关于数列的式子中,如果含有如an-1,Sn-1,必须注明n≥2.
【习练·破】
设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N+,an与1的等差中项等于
,
求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意知,
=
,
得Sn=
,
所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=
[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.
即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,
所以an+1-an=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.
【加练·固】
数列{an}的前n项和Sn=-
n2+n-1,求数列{an}的通项公式.
【解析】n=
1时,a1=S1=-
+1-1=-
,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=-
n2+n-1-
=
-3n+
,因为a1=-
不适合an=-3n+
,
所以an=
类型二 实际应用题
【典例】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=( )
A.23
B.32
C.35
D.38
【思维·引】儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.
【解析】选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3207，
即S9=9a1+
×(-3)=207,
解得a1=35.
【内化·悟】
解答等差数列实际应用问题的关键是什么?
提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公差、项数、第n项、前n项和,知道哪些量,要求什么量.
【类题·通】
应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10
m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________
m.?
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来
领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两
侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往
返的总路程为S=9×20+
×20+10×20+
×20=2
000.
答案:2
000
类型三 数列求和问题
角度1 裂项求和与并项求和问题
【典例】1.已知函数f(n)=
且an=f(n)+f(n+1),则
a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0
B.100
C.-100
D.10
200
2.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.
2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;
(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.
【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),
所以由已知条件知an=
即an=
所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),
所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+
(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为
所以
解得a1=1,d=
.
所以{an}的通项公式为an=
.
(2)bn=
=
=
-
,
所以Sn=
+
+…+
=
.
【素养·探】
在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过
对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.
将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10
=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+
(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
角度2 求数列{|an|}的前n项的和
【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.
【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得
首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得
解得
则an=n+2.
(2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn=
n(19+21-2n)=20n-n2,
当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;
当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,
综上可得数列{|bn|}的前n项和为
Tn=
【类题·通】
1.裂项相消求和
(1)适用数列:形如
(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式:
=
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理
化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留
项.
(4)特殊裂项:
①
=
=
.
②
=
-
.
③
=
.
④
=1+
.
2.关于并项法求数列的和
(1)适用形式:
①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.
3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可
以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始
其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负
数,同样可以把数列分成两段处理.
【习练·破】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,满足a1+a2=10,S5=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知,a1+a2=2a1+d=10,
S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,
所以
所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
(2)令cn=13-an=11-2n,
bn=|cn|=|11-2n|=
设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.
当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+
2(-52+10×5)=n2-10n+50.
【加练·固】
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.
(1)求an及Sn.
(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
即
解得
则an=3+2(n-1)=2n+1,
所以Sn=3n+
=n2+2n.
(2)由题意可得bn=
=
=2
,
所以Tn=b1+b2+…+bn=2
=2
<2.
2.等差数列{an}的前n项和Sn=
n2
+
n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
n2+
n-
=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-
n2+
n,
当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=
n2-
n+3
502,
所以Tn=
1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019=
( )
A.-2
020
B.-1
010
C.-505
D.1
010
【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2
017-2
019
=(1+5+9+…+2
017)-(3+7+11+…+2
019)
=
(1+2
017)-
=-1
010.
课堂检测·素养达标
2.
+
+
+…+
=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式=
+
+…+
=
=
.
3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以
后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两
周共得________积分.?
【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周
共得
=105积分.
答案:105
4.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和
S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=________.?
【解析】由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,
所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18
=2S10-S18=60.
答案:60
【新情境·新思维】
在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列
的前100项和S100.
【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第
n行的数为2+2(n-1)=2n,
第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,
所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,
所以
=
=
-
,
所以数列
的前100项和S100=1-
+
-
+…+
-
=1-
=
.
六 等差数列习题课
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
课时素养评价
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),
所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,
m+
d=25,联立解得m=5,d=2.
2.数列{an}的通项公式是an=
,若前n项和为10,则项数为
( )
A.11
B.99
C.120
D.121
【解析】选C.因为an=
所以Sn=a1+a2+…+an=(
-1)+(
)+…+(
)=
-1,令
-1=10,得n=120.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|
的值为
( )
A.61
B.62
C.65
D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)
-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×
(-3)=67.
4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n
分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=
·n=240,解得n=15或
n=-16(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则a5=______,an=________.?
【解析】因为Sn=3+2n,
所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.
a1=S1=5,
n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,
当n=1时,上式不成立,所以an=
答案:16
6.(2020·南通高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得an>Sn的n的最小值为________.?
【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,
所以a1+4d=0,a1=-4d,
由an>Sn,得a1+(n-1)d>na1+
d,
即-4d+(n-1)d>-4nd+
d,
因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,
解得n>10,所以n的最小值为11.
答案:11
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=
求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知
解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn=
所以Tn
8.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,
故an=(n-5)d,Sn=
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】因为等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,
所以an=13+(n-1)×(-4)=17-4n,
等差数列{an}的前n项和Sn=13n+
×(-4)=15n-2n2,
由an=17-4n>0,得n<
,
a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,
因为Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,
所以n≤4时,Tn=Sn=15n-2n2,
n≥5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.
所以Tn=
【能力练】(15分钟·25分)
1.(5分)已知数列{an}:
…,那么数列{bn}=
的前n项和Sn为
( )
【解析】选A.因为an=
所以bn=
所以Sn=
【加练·固】
一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于
( )
A.12 B.16 C.9 D.16或9
【解析】选C.an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N+,由n
边形内角和定理得(n-2)×180=120n+
×5,解得n=16或n=9,又n<13,
n∈N+,所以n=9.
2.(5分)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是
( )
A.若S5=S9,则必有S14=0
B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项
C.若S6>S7,则必有S7>S8
D.若S6>S7,则必有S5>S6
【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14=
=0,A正确;
对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是Sn中的
最大项,B正确;
对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确;
对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.
3.(5分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________.?
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N+).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N+.
答案:3(n+1)(n∈N+)
4.(10分)数列{an}满足an=6-
(n∈N+,n≥2).
(1)求证:数列
是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg
an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-
(n∈N+,n≥2),所以
所以数列
是等差数列.
(2)因为a1=6,所以
由(1)知:
所以an=
所以lg
an=lg
3+lg(n+1)-lg
n.
所以数列{lg
an}的前999项和S=999lg
3+(lg
2-lg
1+lg
3-lg
2+…+
lg
1
000-lg
999)
=999lg
3+lg
1
000=999lg
3+3.
【培优练】
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N+),则S21的值为________.?
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}
的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=
=231.
答案:231
2.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值
范围为
( )
A.d≤-2
或d≥2
B.-2
≤d≤2
C.d<0
D.d>0
【解析】选A.由S5S6+15=0,
则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
整理可得,2
+9a1d+10d2+1=0有解,
故Δ=81d2-8(1+10d2)≥0,
解可得,d≥2
或d≤-2
.课时素养评价
六 等差数列习题课
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,
因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),
所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,
m+d=25,联立解得m=5,d=2.
2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为
( )
A.11
B.99
C.120
D.121
【解析】选C.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|
的值为
( )
A.61
B.62
C.65
D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.
4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则a5=______,an=________.?
【解析】因为Sn=3+2n,
所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.
a1=S1=5,
n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,
当n=1时,上式不成立,所以an=
答案:16
6.(2020·南通高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得an>Sn的n的最小值为________.?
【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,
所以a1+4d=0,a1=-4d,
由an>Sn,得a1+(n-1)d>na1+d,
即-4d+(n-1)d>-4nd+d,
因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,
解得n>10,所以n的最小值为11.
答案:11
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn===
所以Tn
=
==-.
8.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式.
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由S9=-a5得a1=-4d,
故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
【加练·固】
若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】因为等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,
所以an=13+(n-1)×(-4)=17-4n,
等差数列{an}的前n项和Sn=13n+×(-4)=15n-2n2,
由an=17-4n>0,得n<,
a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,
因为Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,
所以n≤4时,Tn=Sn=15n-2n2,
n≥5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.
所以Tn=
(15分钟·25分)
1.(5分)已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为
( )
A.4
B.4
C.1-
D.-
【解析】选A.因为an===,所以bn===4.
所以Sn=41-+-+-+…+-=4.
【加练·固】
一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于
( )
A.12 B.16 C.9 D.16或9
【解析】选C.an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N+,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N+,所以n=9.
2.(5分)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是
( )
A.若S5=S9,则必有S14=0
B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项
C.若S6>S7,则必有S7>S8
D.若S6>S7,则必有S5>S6
【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,
S14===0,A正确;
对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是Sn中的最大项,B正确;
对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确;
对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.
3.(5分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________.?
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N+).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N+.
答案:3(n+1)(n∈N+)
4.(10分)数列{an}满足an=6-(n∈N+,n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg
an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N+,n≥2),所以-=-=
=,所以数列是等差数列.
(2)因为a1=6,所以=.
由(1)知:=+=,
所以an=,所以lg
an=lg
3+lg(n+1)-lg
n.
所以数列{lg
an}的前999项和S=999lg
3+(lg
2-lg
1+lg
3-lg
2+…+lg
1
000-
lg
999)
=999lg
3+lg
1
000=999lg
3+3.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N+),则S21的值为________.?
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231.
答案:231
2.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值范围为
( )
A.d≤-2或d≥2
B.-2≤d≤2
C.d<0
D.d>0
【解析】选A.由S5S6+15=0,
则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
整理可得,2+9a1d+10d2+1=0有解,
故Δ=81d2-8(1+10d2)≥0,
解可得,d≥2或d≤-2.
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