课时素养评价
七 等比数列的定义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=
( )
A.3
B.9
C.27
D.36
【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,
解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.
3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8则an=
( )
A.2n-1
B.2n
C.3n-1
D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8,
所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=
( )
A.24
B.36
C.48
D.54
【解析】选D.由a1·a3==36,an>0,得a2=6,
因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,
因为a1
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=________.?
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
6.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是________.(填出满足条件的一组即可)?
【解析】因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1得,q+q2=6,所以q=2或q=-3,
若q>1,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,
若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.
取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.
答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在等比数列{an}中
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q==-3,所以a5=405.
(2)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=.
8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若an=,求n.
【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2==.
所以q=±.
当q=时an=a3qn-3=32×=28-n;
当q=-时,an=a3qn-3=32×=
(-1)n+1·28-n.
所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.
(2)当an=时28-n=或32×
=,
解得n=9.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=
( )
A.16
B.64
C.128
D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保留两位小数)
( )?
A.10.09
B.11.85
C.9.85
D.11.09
【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形HPLJ中,LP=HJ==,则在矩形HJIF中,HF==,
同理:FC=,DC=,
则BC=≈11.09.
3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,=a4,则a5=________.?
【解析】因为a1=3,=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=,所以a5=3×=.
答案:
4.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=________.?
【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,解得an=.
答案:
【加练·固】
等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为________.?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1==,
所以an=·2n-1=2n-3,
所以lg
an=(n-3)lg
2.
答案:lg
an=(n-3)lg
2
5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,
所以cn+1=cn,
又因为a1+a1=1,即a1=,
所以c1=a1-1=-1=-,
所以数列{cn}是以-为首项、为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,
所以=+≥2=,因为a5>0,
所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=,a7=时等号成立.
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1
=4-2n-1(n∈N+).当n<3时,bn+1-bn>0,bn即b1当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6
所以k=3或k=4.
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第1课时
等比数列的定义
必备知识·素养奠基
1.等比数列
一般地,如果数列{an}从第__项起,每一项与它的_______之比都等于_______常
数q,即________恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.
前一项
同一个
2
【思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?
提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示:
=q(n≥2)或
=q(q≠0).
2.等比数列的通项公式
首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_________.
3.等比数列的通项公式与函数
由an=a1qn-1=
×qn,记f(x)=
×qx,可看成an=f(n),而且
(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是_______(因此,公比为1的等比
数列为_______);
(2)当公比q≠1时,f(x)是
与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也
与q有关.
常数列
常数列
【思考】
等比数列的单调性与a1和q有什么关系?
提示:
递增数列
a1>0,q>1
a1<0,0递减数列
a1>0,0a1<0,q>1
4.两个结论
(1)数列{an}是等比数列的充要条件是______,其中k,q都是不为0的常数;
(2)等比数列中,所有奇数项的符号_____,所有偶数项的符号_____.
an=kqn
相同
相同
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.
( )
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.( )
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.( )
提示:(1)×.应等于同一个常数.
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-
,a1=
,则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-
<0,所以数列{an}是摆动数列.
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,
解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.
答案:(-3)n
关键能力·素养形成
类型一 等比数列基本量的计算
【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=
( )
A.
B.-
C.-
D.
2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=
( )
A.4
B.3
C.2
D.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=
,则{an}的通项公式
an=________.?
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.
2.将条件用a1,q表示,消元求公比.
3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则
=
=q3=-8,
则q=-2,则a1=
=
-
.
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以
且q>0,解得a1=
,q=2,
所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a3=
,所以
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=
.所以an=3n-2.
答案:3n-2
【内化·悟】
计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?
提示:常用到两式相除.
【类题·通】
关于等比数列基本量的运算
(1)基本量:a1,q,n,an;
(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
【习练·破】
1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=
( )
A.12
B.18
C.24
D.36
【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,
已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.
2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1=
( )
A.1
B.2
C.-
D.-1
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,
所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,
解得a1=1,q=-2.
【加练·固】
已知an=625,n=4,q=5,求a1.
【解析】a1=
=
=5,故a1=5.
类型二 等比数列的判定
角度1 利用定义证明等比数列
【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.
证明:{an+1}是等比数列.
【思维·引】证明
为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=
an+
,
=
=
=
=
,
所以=
.
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),
所以
=
.所以
是以
为公比的等比数列.
【素养·探】
在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.
若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,
证明:{an+1}是等比数列.
证明:因为an+1=2an+1,
所以
=
=
=
2,
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2
已知Sn与an的关系证明等比数列
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=
an+b(n∈N+,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列.
【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn=
an
+b,
所以当n≥2时Sn-1=
an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=
an+b-
an-1-b,
所以an=
an-
an-1,
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1=
a1+b,
所以a1=-2b,
所以a2=-6b,a3=-18b,
所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,
(a2+1)2=1+36b2-12b.
(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.
【类题·通】
关于等比数列的证明
(1)定义法
①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明
或
(n≥2)为常数.
②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系
证明.
(2)等比中项法
证明
=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.
【习练·破】
(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N+.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{
}和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为Sn=p-23-n,
所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,
所以a1=p-4,a2=2,a3=1,
因为数列{an}为等比数列,
所以q=
,所以
=
=
,
所以p=8,a1=4,所以an=4×
=23-n;
(2)数列{
}是等比数列,{nan}不是等比数列.
证明如下:由(1)得
=(23-n)2=43-n,
所以
=
=
,
所以数列{
}是以
为公比的等比数列,
由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.
【加练·固】
已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=
,求证数列{bn}是等比
数列,并求其通项公式.
【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
故
=
=
=
=2,
所以数列{bn}是等比数列.因为b1=
=
,
所以bn=
=2n-3.
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=
( )
A.15
B.24
C.32
D.64
【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.
课堂检测·素养达标
2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为( )
A.-
B.-1
C.-
或1
D.-
或-1
【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以
=2,整理,得2q2-q-
1=0,解得q=1,或q=-
.
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________.?
【解析】因为an+1=2an,所以
=2,所以公比为2,因为12=a3=2a2,所以a2=6.
因为6=a2=2a1,所以a1=3.
答案:3
4.若等比数列{an}满足a1=
,a2a3=2,则a7=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为等比数列{an}满足a1=
,a2a3=2,
所以
q·
q2=2,解得q=2,所以a7=
×26=32.
答案:32
【新情境·新思维】
已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是( )
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+3>0
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2
=(ak·q)2>0,B正确;对于C,
ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3
=
·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.
课时素养评价
七 等比数列的定义
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=
( )
A.3
B.9
C.27
D.36
【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,
解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=
( )
A.8
B.10
C.12
D.16
【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.
3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8
则an=
( )
A.2n-1
B.2n
C.3n-1
D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8
,
所以a2q4=8a2q=8
,所以a2=q,q3=8,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且
a1·a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=
( )
A.24
B.36
C.48
D.54
【解析】选D.由a1·a3=
=36,an>0,得a2=6,
因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,
因为a1二、填空题(每小题5分,共10分)
5.正项等比数列{an},若3a1,
a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=________.?
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,
a3,2a2成等差数列,所以
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
6.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是________.(填出满足条件的一组即可)?
【解析】因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1得,q+q2=6,所以q=2或q=-3,
若q>1,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,
若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.
取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.
答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在等比数列{an}中
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q=
=-3,所以a5=405.
(2)因为
由
得q3=4,从而q=
,而a1q3=2,
于是a1=
所以an=a1qn-1=
8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若an=
,求n.
【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2=
所以q=±
.
当q=
时an=a3qn-3=32×
=28-n;
当q=-
时,an=a3qn-3=32×
=(-1)n+1·28-n.
所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.
(2)当an=
时28-n=
或32×
=
,
解得n=9.
【能力练】(15分钟·30分)
1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=
( )
A.16
B.64
C.128
D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,
人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例
(
≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形
有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是
黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保
留两位小数)
( )?
A.10.09
B.11.85
C.9.85
D.11.09
【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形
HPLJ中,LP=HJ=
则在矩形HJIF中,HF=
同理:FC=
DC=
则BC=
≈11.09.
3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,
=a4,则a5=
________.?
【解析】因为a1=3,
=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=
,所以a5=3×
答案:
4.(5分)在数列{an}中,a2=
,a3=
,且数列{nan+1}是等比数列,则an=
________.?
【解析】因为数列{an}中,a2=
,a3=
,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,解得an=
答案:
【加练·固】
等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为________.?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1=
所以an=
·2n-1=2n-3,
所以lg
an=(n-3)lg
2.
答案:lg
an=(n-3)lg
2
5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=
(an-1).又因为cn=an-1,
所以cn+1=
cn,
又因为a1+a1=1,即a1=
,
所以c1=a1-1=
-1=-
,
所以数列{cn}是以-
为首项、
为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-
·
所以an=1-
.
【培优练】
1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且
则a5的值可能是
( )
【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,
所以
因为a5>0,
所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=
,a7=
时等号成立.
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d=
=4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3=
=8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1
=4-2n-1(n∈N+).当n<3时,bn+1-bn>0,bn即b1当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6
所以k=3或k=4.5.3 等
比
数
列
5.3.1 等
比
数
列
新版课程标准
学业水平要求
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义2.体会等比数列与指数函数的关系3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题
1.借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念.(数学抽象)2.借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质.(数学运算)3.会求等比数列的通项公式,并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题.(数学运算)4.体会等比数列与指数函数的关系.(数学抽象)5.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题(数学运算、数学建模)
第1课时 等比数列的定义
必备知识·素养奠基
1.等比数列
一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即=q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.
(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?
提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).
2.等比数列的通项公式
首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
3.等比数列的通项公式与函数
由an=a1qn-1=×qn,记f(x)=×qx,可看成an=f(n),而且
(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公比为1的等比数列为常数列);
(2)当公比q≠1时,f(x)是与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.
等比数列的单调性与a1和q有什么关系?
提示:
递增数列
a1>0,q>1
a1<0,0递减数列
a1>0,0a1<0,q>1
4.两个结论
(1)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q都是不为0的常数;
(2)等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号相同.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.
( )
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.
( )
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.
( )
提示:(1)×.应等于同一个常数.
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,
解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.
答案:(-3)n
关键能力·素养形成
类型一 等比数列基本量的计算
【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=
( )
A.
B.-
C.-
D.
2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=
( )
A.4
B.3
C.2
D.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{an}的通项公式an=________.?
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.
2.将条件用a1,q表示,消元求公比.
3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,
则q=-2,则a1==-.
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以,
且q>0,解得a1=,q=2,
所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.
答案:3n-2
【内化·悟】
计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?
提示:常用到两式相除.
【类题·通】
关于等比数列基本量的运算
(1)基本量:a1,q,n,an;
(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
【习练·破】
1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=
( )
A.12
B.18
C.24
D.36
【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,
已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.
2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1=
( )
A.1
B.2
C.-
D.-1
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,
所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,
解得a1=1,q=-2.
【加练·固】
已知an=625,n=4,q=5,求a1.
【解析】a1===5,故a1=5.
类型二 等比数列的判定
角度1 利用定义证明等比数列
【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.
证明:{an+1}是等比数列.
【思维·引】证明为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,
====,
所以=.
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),
所以=.所以是以为公比的等比数列.
【素养·探】
在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.
若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,
证明:{an+1}是等比数列.
证明:因为an+1=2an+1,
所以===2,
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(n∈N+,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列.
【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn=an+b,
所以当n≥2时Sn-1=an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,
所以an=an-an-1,
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1=a1+b,
所以a1=-2b,
所以a2=-6b,a3=-18b,
所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,
(a2+1)2=1+36b2-12b.
(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.
【类题·通】
关于等比数列的证明
(1)定义法
①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明或(n≥2)为常数.
②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.
(2)等比中项法
证明=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.
【习练·破】
(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N+.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{}和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为Sn=p-23-n,
所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,
所以a1=p-4,a2=2,a3=1,
因为数列{an}为等比数列,
所以q=,所以==,
所以p=8,a1=4,所以an=4×=23-n;
(2)数列{}是等比数列,{nan}不是等比数列.
证明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,
所以==,
所以数列{}是以为公比的等比数列,
由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.
【加练·固】
已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
故====2,
所以数列{bn}是等比数列.因为b1==,
所以bn=×2n-1=2n-3.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=
( )
A.15
B.24
C.32
D.64
【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,
故a6=a1q5=32.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为
( )
A.-
B.-1
C.-或1
D.-或-1
【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________.?
【解析】因为an+1=2an,所以=2,所以公比为2,因为12=a3=2a2,所以a2=6.
因为6=a2=2a1,所以a1=3.
答案:3
4.若等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,则a7=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,
所以q·q2=2,解得q=2,所以a7=×26=32.
答案:32
【新情境·新思维】
已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是
( )
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+3>0
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2=(ak·q)2>0,B正确;对于C,
ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3=·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.