课时素养评价
九 等比数列的前n项和
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·来宾高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,则a2=
( )
A.-3
B.3
C.-
D.3或-
【解析】选D.设公比为q,易知q≠1.
由得,
解得或,当时,a2=a1q=3;
当时,a2=a1q=-,
所以a2=3或a2=-.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选C.S4=,a2=a1q,
所以==.
3.设f(n)=2+24+27+…+23n+1
(n∈N+),则f(n)等于
( )
A.(8n-1)
B.(8n+1-1)
C.(8n+2-1)
D.(8n+3-1)
【解析】选B.f(n)=2+24+27+…+23n+1
==(8n+1-1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·肇庆高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a3=-1,S3=-3,当q=1时,显然满足,
此时a1=-1,
当q≠1时,,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-,a1=-4.
综上,a1=-1或-4.
答案:-1或-4
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为________.?
【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),
又Sn=(2x·3n-1),所以x=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
所以q2==4,所以q=±2,
所以an=2n或an=-(-2)n.
(2)由(1)知Sn==2n+1-2
或Sn==[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.
8.(2020·海淀高二检测)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<100,求n的最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为a2=1,a5=8,所以q3==8,故q=2,
所以an=a2qn-2=2n-2.
(2)由(1)知,a1=,
所以Sn==(2n-1)<100,
则2n<201,由于27=128,28=256.
所以n的最大值为7.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·绍兴高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S10,则=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.由S5=2S10,可知q≠1,
则=2×,
整理可得,2q10-q5-1=0,
解得q5=-或q5=1(舍),
则==-.
2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000m,此时乌龟便领先他100
m;当阿基里斯跑完下一个100
m时,乌龟仍然领先他10
m;当阿基里斯跑完下一个10
m时,乌龟仍然领先他1
m……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2
m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5===.
3.(5分)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=________.?
【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比数列,所以S15==11.
答案:11
4.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为________.?
【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则{an}是以a1=×22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q≠1,
故这10个三角形的面积和为
S10===.
答案:
5.(10分)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,试求:
(1)a1和公比q;
(2)前6项的和S6.
【解析】(1)根据题意,在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,则有a1·a2·a3==27,即a2=3,
a2=3时,a4=30-a2=27,
有q2==9,即q=±3,
若q=3,则a1==1,
若q=-3,则a1==-1,
综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.
(2)当q=3,a1=1时,前6项的和S6==364;
当q=-3,a1=-1时,
前6项的和S6==182.
一个热气球在第一分钟上升了30
m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的.这个热气球上升的高度能超过150
m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn=a1+a2+…+an==
=150×<150,
即这个热气球上升的高度不可能超过150
m.
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-(共64张PPT)
第1课时
等比数列的前n项和
必备知识·素养奠基
等比数列的前n项和公式
q=1
na1
q≠1
a1,q,n
Sn=_________
a1,q,an
Sn=________
【思考】
对于等比数列的前n项和Sn=
=
一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=
.( )
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=
.( )
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0.
( )
提示:(1)×.Sn=
.
(2)×.Sn=
(3)×.Sn=
=
.
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.
所以
=3a1(1+q),
化为q2=2,解得q=
(负值舍去).
3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.?
【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,
即q3=
=8,即q=2,首项a1=
,
则数列{an}的前n项和Sn=
=2n-1-
.
答案:2n-1-
关键能力·素养形成
类型一 等比数列前n项和的计算
【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10=
( )
A.1
022
B.2
046
C.2
048
D.4
094
2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________.?
【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.
2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.
【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5=
=512,
所以a3=8,
因为a2+a4=2(a1+a3),所以
+8q=2
,
整理可得,q3+q=2(1+q2),
所以q=2,a1=2,S10=
=2
046.
2.因为S3=
=6,S6=
=54,
所以
=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,
所以
=6,解得a1=
.
答案:
【内化·悟】
本例2中的消元方法是什么?有什么优点?
提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.
【类题·通】
等比数列前n项和的运算技巧
(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.
(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.
(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【习练·破】
1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=
( )
A.2n-1
B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,
由a5-a3=12,a6-a4=24可得:
?
所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=
=
=2n-1,
因此
=
=2-21-n.
2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=
,
6
=a6,
则S5=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=
,6
=a6,所以6×
=
q5,
解得,q=2,则S5=
=
.
答案:
【加练·固】
(2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=
,
=a6
,
则S4=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=
,
=a6,
所以
=
q5,
解得,q=2,则S4=
=
.
答案:
类型二 等比数列前n项和的实际应用
【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.
【解析】选B.此人每天走的步数构成以
为公比的等比数列,所以
=378,
解得a1=192,
所以an=192×
=384×
,
因为384×
<30,
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【内化·悟】
从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?
提示:Sn=378,q=
,n=6.
【类题·通】
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,
列出方程(组)求解.
【习练·破】
(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今
有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我
马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别
人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一
半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各
应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,
则{an}是公比为
的等比数列,
所以S3=
=50,解得a1=
,
所以羊主人应偿还:a3=
×
=
升粟.
类型三 等比数列前n项和的简单性质
角度1 前n项和公式的函数特征
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则=
( )
A.
B.3
C.6
D.9
【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计
算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=
·3n-1,
所以
=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,
=
=
9;
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则
=
=
9.
【素养·探】
等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.
将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.?
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn=
=-
故q=2,
=-3,故a=-3.
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2 前n项和的性质
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=
( )
A.
B.
C.
D.
【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9=
=
.
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3=
=-
,
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×
=
.
【类题·通】
1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列
?Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).
即指数式的系数与常数项互为相反数,
其中A=
.
2.等比数列前n项和公式的性质
等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.
【习练·破】
(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则( )
A.A+C>2B
B.ACC.AC>B2
D.A+C<2B
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC+
-2·
=
-
=
,当q>1时A+C>2B,
当0【加练·固】
一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求
此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q=
=
=2.
又Sn=85+170=255,据Sn=
,得
=255,
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为
( )
A.1+
B.
C.
D.以上都不对
【解析】选D.当a=1时,Sn=n.
课堂检测·素养达标
2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为
( )
A.29
B.
C.30
D.
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
则
,解得
,
因此,数列{an}的前5项和S5=
=
=
.
3.数列{2n-1}的前99项和为( )
A.2100-1
B.1-2100
C.299-1
D.1-299
【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为
S99=
=299-1.
4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2
020的值为
________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=3,2S2=S3+S4,
当q=1时显然不成立,故q≠1,
所以
,整理可得,q2+q-2=0,
解得,q=-2或q=1(舍),
则a2
020=3×(-2)2
019=-3×22
019.
答案:-3×22
019
【新情境·新思维】
已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N+),则
S5=( )
A.30
B.31
C.15
D.62
【解析】选B.因为等比数列{an}的各项均为正数,且anan+1=4n(n∈N+),所以
a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=
,所以S5=
=31
.
九 等比数列的前n项和
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·来宾高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,
则a2=
( )
A.-3
B.3
C.-
D.3或-
课时素养评价
【解析】选D.设公比为q,易知q≠1.
由
得
,
解得
或
,当
时,a2=a1q=3;
当
时,a2=a1q=-
,
所以a2=3或a2=-
.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则
等于
( )
A.2
B.4
C.
D.
【解析】选C.S4=
,a2=a1q,
所以
.
3.设f(n)=2+24+27+…+23n+1
(n∈N+),则f(n)等于
( )
A.
(8n-1)
B.
(8n+1-1)
C.
(8n+2-1)
D.
(8n+3-1)
【解析】选B.f(n)=2+24+27+…+23n+1
=
(8n+1-1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且
a5=3a3+4a1,则a3=
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·肇庆高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a3=-1,S3=-3,当q=1时,显然满足,
此时a1=-1,
当q≠1时,
,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-
,
a1=-4.
综上,a1=-1或-4.
答案:-1或-4
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-
,则x的值为________.?
【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),
又Sn=
(2x·3n-1),所以x=
.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
所以q2=
=4,所以q=±2,
所以an=2n或an=-(-2)n.
(2)由(1)知Sn=
=2n+1-2
或Sn=
[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或
[1-(-2)m]=126(舍去),
解得m=6.
8.(2020·海淀高二检测)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<100,求n的最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为a2=1,a5=8,所以q3=
=8,故q=2,
所以an=a2qn-2=2n-2.
(2)由(1)知,a1=
,
所以Sn=
(2n-1)<100,
则2n<201,由于27=128,28=256.
所以n的最大值为7.
【能力练】(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·绍兴高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S10,则
( )
【解析】选D.由S5=2S10,可知q≠1,
则
,
整理可得,2q10-q5-1=0,
解得q5=-
或q5=1(舍),
则
.
2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让
乌龟在阿基里斯前面1
000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度
是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000m,此时乌龟便领先他100
m;
当阿基里斯跑完下一个100
m时,乌龟仍然领先他10
m;当阿基里斯跑完下一个
10
m时,乌龟仍然领先他1
m……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规
律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2
m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)
为( )
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列{an},且首
项a1=100,公比q=
,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5=
.
3.(5分)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和
S15=________.?
【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比数列,所以S15=
=11.
答案:11
4.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为________.?
【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边
三角形的面积为an,则{an}是以a1=
×22=
为首项,以q=
为公比的等比数
列,因为公比q≠1,
故这10个三角形的面积和为
S10=
.
答案:
5.(10分)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,试求:
(1)a1和公比q;
(2)前6项的和S6.
【解析】(1)根据题意,在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,则有a1·a2·a3=
=27,即a2=3,
a2=3时,a4=30-a2=27,有q2=
=9,即q=±3,
若q=3,则a1=
=1,若q=-3,则a1=
=-1,
综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.
(2)当q=3,a1=1时,前6项的和S6=
=364;
当q=-3,a1=-1时,
前6项的和S6=
=182.
【培优练】
一个热气球在第一分钟上升了30
m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度
都是它在前一分钟内上升高度的
.这个热气球上升的高度能超过150
m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项
a1=30,公比q=
的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn=a1+a2+…+an=
=150×
<150,
即这个热气球上升的高度不可能超过150
m.5.3.2 等比数列的前n项和
新版课程标准
学业水平要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题
1.借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a1,an,q,n,Sn的关系.(数学运算)3.掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题,能解决数列求和等相关问题.(数学运算、数学建模)
第1课时 等比数列的前n项和
必备知识·素养奠基
等比数列的前n项和公式
q=1
na1
q≠1
a1,q,n
Sn=
a1,q,an
Sn=
对于等比数列的前n项和Sn==一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=.
( )
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=.
( )
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0.
( )
提示:(1)×.Sn=.
(2)×.Sn=.(q≠1)
(3)×.Sn==.
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.
所以=3a1(1+q),
化为q2=2,解得q=(负值舍去).
3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.?
【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,
即q3==8,即q=2,首项a1=,
则数列{an}的前n项和Sn==2n-1-.
答案:2n-1-
关键能力·素养形成
类型一 等比数列前n项和的计算
【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10=
( )
A.1
022
B.2
046
C.2
048
D.4
094
2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________.?
【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.
2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.
【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5==512,
所以a3=8,
因为a2+a4=2(a1+a3),所以+8q=2,
整理可得,q3+q=2(1+q2),
所以q=2,a1=2,S10==2
046.
2.因为S3==6,S6==54,
所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,
所以=6,解得a1=.
答案:
【内化·悟】
本例2中的消元方法是什么?有什么优点?
提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.
【类题·通】
等比数列前n项和的运算技巧
(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.
(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.
(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【习练·破】
1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=
( )
A.2n-1
B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,
由a5-a3=12,a6-a4=24可得:
?,
所以an=a1qn-1=2n-1,Sn===2n-1,
因此==2-21-n.
2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=,6=a6,则S5=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=,6=a6,所以6×=q5,
解得,q=2,则S5==.
答案:
【加练·固】
(2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=,=a6,则S4=________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=,=a6,
所以=q5,
解得,q=2,则S4==.
答案:
类型二 等比数列前n项和的实际应用
【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.
【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,
所以an=192×=384×,
因为384×<30,
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【内化·悟】
从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?
提示:Sn=378,q=,n=6.
【类题·通】
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,
列出方程(组)求解.
【习练·破】
(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,
则{an}是公比为的等比数列,
所以S3==50,解得a1=,
所以羊主人应偿还:a3=×=升粟.
类型三 等比数列前n项和的简单性质
角度1 前n项和公式的函数特征
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则=
( )
A.
B.3
C.6
D.9
【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,
所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,
==9;
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则==9.
【素养·探】
等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.
将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.?
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn==-
qn+,
故q=2,=-3,故a=-3.
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2 前n项和的性质
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=
( )
A.
B.-
C.
D.
【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9==.
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3==-,
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×
=.
【类题·通】
1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列
?Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).
即指数式的系数与常数项互为相反数,
其中A=.
2.等比数列前n项和公式的性质
等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.
【习练·破】
(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则
( )
A.A+C>2B
B.ACC.AC>B2
D.A+C<2B
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC2·=-=,当q>1时A+C>2B,当0【加练·固】
一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q===2.
又Sn=85+170=255,据Sn=,得=255,
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
课堂检测·素养达标
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为
( )
A.1+
B.
C.
D.以上都不对
【解析】选D.当a=1时,Sn=n.
2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为
( )
A.29
B.
C.30
D.
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
则,解得,
因此,数列{an}的前5项和S5===.
3.数列{2n-1}的前99项和为
( )
A.2100-1
B.1-2100
C.299-1
D.1-299
【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.
4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2
020的值为________.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=3,2S2=S3+S4,
当q=1时显然不成立,故q≠1,
所以=+,整理可得,q2+q-2=0,
解得,q=-2或q=1(舍),
则a2
020=3×(-2)2
019=-3×22
019.
答案:-3×22
019
【新情境·新思维】
已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N+),则S5=
( )
A.30
B.31
C.15
D.62
【解析】选B.因为等比数列{an}的各项均为正数,且anan+1=4n(n∈N+),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=,所以S5==31.
