2020-2021学年八年级数学人教版下册 17.2勾股定理的逆定理（共18张）

勾股定理　如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
　　题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
　　结论：a2+b2=c2．
　　　回忆勾股定理的内容．
复习旧知　
反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 .那么这个三角形的形状怎样？
勾股定理的逆定理
你知道吗？
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
猜 想
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，
互逆命题 在一对命题中，第一个命题的题设恰为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
1、两条直线平行，内错角相等．
2、如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
3、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
4、全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的
逆命题成立吗?
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
巩固新知　　　
5．原命题：对顶角相等．（ ）
逆命题：相等的角是对顶角．（ ）
6．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（ ）
逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（ ）
7．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（ ）
逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（ ）
明确下面问题
（1）任何一个命题都有逆命题；
（2）原命题是正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确；
（3）原命题与逆命题的关系就是，命题中题设与结论相互转换的关系．
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
定 理：两直线平行,同位角相等；
逆定理：同位角相等,两直线平行.
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b
且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
勾股定理的逆定理的证明
a
b
B'
C'
A'
合作探究　　　
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’ =c
∵ 边长取正值
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’(全等三角形对应角相等）
∴ ∠C= 900
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
a
b
B'
C'
A'
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,
B’C’=a, C’A’=b
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
合作探究　　　
例题
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15．
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）．
练习
1．如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
2．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．5，6，7 B．10，8，4
C．7，25，24 D．9，17，15
3．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2 ，a+1
C．a-1， ，a+1 D．a-1， a，a+1
4．说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）等腰三角形的底角相等．
练习
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a= ，b=4，c=5．
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
(2)∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4,
c2 = (2mn )2 = 4m2n2
又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
拓展提升　　
当堂检测
1.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
　　 逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
　　任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
2. 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
当堂检测
课堂小结
1．勾股定理的逆定理及其作用；
2．什么是互逆命题；
3．什么是互逆定理；
4．什么是勾股数．