(共29张PPT)
2.5
二次函数与一元二次方程（1）
数学北师大版
九年级下
复习导入
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是？
怎样判断方程的根的个数？
复习导入
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式，通常用△表示.
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.
新知讲解
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以近似地用公式h
=-5t2
+
v0t
+
h0表示，其中
h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度．
图2-12
新知讲解
图2-12
一个小球从地面被以
40
m/s
的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h（m）与运动时间
t（s）的关系如图2-12所示，那么
（1）h
与
t
的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
新知讲解
图2-12
解:
是二次函数h=－5t2＋40t．
（1）h
与
t
的关系式是什么？
新知讲解
图2-12
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
解:
8s.
可以利用图象，
也可以解方程
－5t2＋40t=0
新知讲解
议一议
二次函数y=x2
+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2
的图象如图
2-13所示．
图
2-13
新知讲解
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程
x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？用判别式验证一下，一元二次方程x2
-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与
x
轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0
的根有什么关系？
新知讲解
图
2-13
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（1）两个
（2）一个
（3）没有
新知讲解
（2）一元二次方程
x2+2x=0，x2-2x+1=
0有几个根？用判别式验证一下，一元二次方程x2
-2x+2=0有根吗？
解：x2+2x=0
∵△=22-4×1×0=4＞0
∴
原方程有两个不相等的实根.
x2-2x+1=
0
∵△=(-2)2-4×1×1=0=0
∴
原方程有两个相等的实根.
x2
-2x+2=0
∵△=(-2)2-4×1×2=-4＜0
∴
原方程无实根.
新知讲解
变式
二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(
)
A.
k<3
B.
k<3且k≠0
C.
k≤3
D.
k≤3且k≠0
D
新知讲解
解：∵二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，
∴k≠0且Δ=(-6)2-4k×3≥0，
∴k≤3且k≠0，故ABC错误，D正确．
故选D．
二次函数
y=ax2
+bx+c的图象与
x
轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0
的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
二次函数
y
=
ax2+bx+c
的图象与
x
轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c
=
0
的根．
新知讲解
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
新知讲解
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
解:
在h=-5t2+v0t+h0中,
令h=60,
解得x1=2
,
x2=6
想一想
课堂练习
1、抛物线y=-x2+3x-5与坐标轴的交点的个数是(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
解：△=b2-4ac=9-4×(-1)(-5)=-11<0，
故抛物线与x轴无交点，
抛物线与y轴交点为：(0,-5)；
故抛物线y=-x2+3x-5与坐标轴的交点的个数1个；
故选：B．
B
课堂练习
2、若二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是(
)
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
不能确定
A
课堂练习
解：∵二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有两个交点，
∴当y=0时，3x2+x-2m=0，此时使得3x2+x-2m=0成立的x的值有两个，
∴关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
课堂练习
3、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是(
)
A.
有两个相等的实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
没有实数根
D.
有两个异号的实数根
A
课堂练习
解：由函数图象可知，
函数y=ax2+bx+c的最大值是4，
即4=ax2+bx+c对应的x的值只有一个，
即一元二次方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根，
故选：A．
拓展提高
4、已知二次函数y=-x2+2x+m．
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
拓展提高
解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m>0．
解得：m>-1；
(2)∵二次函数的图象过点A(3,0)，
∴0=-9+6+m．
解得：m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3．
拓展提高
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵令x=0，得y=3，∴B(0,3)．
设直线AB的解析式为：y=kx+b．
∵将点A(3,0)，(0,3)代入得
3k+b=0
b=3，
解得k=-1
b=3,
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P(1,2)．
课堂总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
板书设计
课题：2.5
二次函数与一元二次方程（1）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次函数与一元
二次方程
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P53练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P53练习第3、4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下册2.5
二次函数与一元二次方程（1）导学案
课题
2.5
二次函数与一元二次方程（1）
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系.
使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点
难点
二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是？怎样判断方程的根的个数？
2、二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是?
???
A.
B.
且
C.
D.
且
合
作
探
究
探究一：
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以近似地用公式h
=-5t2
+
v0t
+
h0表示，其中
h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度．一个小球从地面被以
40
m/s
的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h（m）与运动时间
t（s）的关系如图2-12所示，那么
（1）h
与
t
的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
图2-12
探究二：
二次函数y=x2
+2x、y=x2-2x+1，y=x2-2x+2
的图象如图
2-13所示．
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程
x2+2x=0，x2-2x+1=
0有几个根？用判别式验证一下，一元二次方程
x2
-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c
=
0
的根有什么关系？
图
2-13
二次函数
y=ax2
+bx+c的图象与
x
轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0
的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
二次函数
y
=
ax2+bx+c
的图象与
x
轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c
=
0
的根．
探究三：
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
当
堂
检
测
1、抛物线y=-x2+3x-5与坐标轴的交点的个数是(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
2、若二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是(
)
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
不能确定
3、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是(
)
A.
有两个相等的实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
没有实数根
D.
有两个异号的实数根
4、已知二次函数y=-x2+2x+m．
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
课
堂
小
结
参考答案
自主学习：
1、我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用△表示.
当b2-4ac＞0时,方程有两个
不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
2、解：二次函数的图象与x轴有交点，
且，
且，故ABC错误，D正确．
故选D．
合作探究：
探究一：
解:
（1）是二次函数h=－5t2＋40t．
（2）
8s.
可以利用图象，也可以解方程
－5t2＋40t=0
探究二：
解：（1）有两个交点
有一个交点
没有交点.
（2）x2+2x=0
∵△=22-4×1×0=4＞0
∴
原方程有两个不相等的实根
x2-2x+1=
0
∵△=(-2)2-4×1×1=0=0
∴
原方程有两个相等的实根
x2
-2x+2=0
∵△=(-2)2-4×1×2=-4＜0
∴
原方程无实根
探究三：
解:
在h=-5t2+v0t+h0中,
令h=60
解得x1=2
,
x2=6
当堂检测：
1、解：△=b2-4ac=9-4×(-1)(-5)=-11<0，
故抛物线与x轴无交点，
抛物线与y轴交点为：(0,-5)；
故抛物线y=-x2+3x-5与坐标轴的交点的个数1个；
故选：B．
2、解：∵二次函数y=3x2+x-2m的图象与x轴有两个交点，
∴当y=0时，3x2+x-2m=0，此时使得3x2+x-2m=0成立的x的值有两个，
∴关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
3、解：由函数图象可知，
函数y=ax2+bx+c的最大值是4，
即4=ax2+bx+c对应的x的值只有一个，
即一元二次方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根，
故选：A．
4、解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m>0．
解得：m>-1；
(2)∵二次函数的图象过点A(3,0)，
∴0=-9+6+m．
解得：m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵令x=0，得y=3，∴B(0,3)．
设直线AB的解析式为：y=kx+b．
∵将点A(3,0)，(0,3)代入得
3k+b=0
b=3，
解得k=-1
b=3,
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P(1,2)．
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
