7.1 二次根式课件（共35张PPT）
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文档简介
第七章 二次根式
1 二次根式
知识点一 二次根式的概念
内容
举例
概念
知识详解
知识点一 二次根式的概念
内容
举例
概念
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数，“ ”叫做二次根号
， ， ， ， 都是二次根式
知识详解
（1） 中的a可以表示一个数，也可以表示单项式、多项式、分式等代数式.（2）判断一个式子是不是二次根式，看它是否具备两个特征:一是根指数为2，二是被开方数为非负数
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
分析 根据二次根式的概念，（1）（3）（5）（7）（9）是二次根式，因为它们都含二次根号并且被开方数都是非负数；（2）的被开方数为负数；（4）的根指数是3；（6）当x≠ 时，被开方数为负数；
（8）当x＜- 时，被开方数为负数.
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
分析 根据二次根式的概念，（1）（3）（5）（7）（9）是二次根式，因为它们都含二次根号并且被开方数都是非负数；（2）的被开方数为负数；（4）的根指数是3；（6）当x≠ 时，被开方数为负数；
（8）当x＜- 时，被开方数为负数.
解析 （1）（3）（5）（7）（9）一定是二次根式.
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
式子表示
有意义
无意义
重点
解读
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
式子表示
有意义
被开方数为非负数
有意义→a≥0
无意义
被开方数为负数
无意义→a＜0
重点
解读
（1）由算术平方根的性质可知，当a≥0时，
有意义；当a＜0时，因为负数没有平方根，所以 无意义.例如: 表示-8的算术平方根，由于负数没有平方根，故 没有意义；
（2）如果一个式子中含有多个二次根式，且这个式子有意义，则各个二次根式中的被开方数都是非负数
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
解析 根据题意得，x-1≥0且3x-6≠0，∴x≥1且x≠2.
答案 x≥1且x≠2.
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
解析 根据题意得，x-1≥0且3x-6≠0，∴x≥1且x≠2.
答案 x≥1且x≠2.
点拨 求含二次根式的分式有意义的条件时，首先，找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式；其次，需要满足分母不为0，列出所需的不等式；最后，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是使其有意义的条件.
知识点三 二次根式的非负性
二次根式的非负性
内容
知识详解
知识点三 二次根式的非负性
二次根式的非负性
内容
知识详解
≥0（a≥0）
二次根式 的被开方数a≥0， ≥0，即 具有双重非负性
1.因为非负数才有平方根，因此被开方数a≥0，即知识点二中二次根式有意义的条件；
2.当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a＝0时， 表示0的算术平方根，因此 ＝0，所以 （a≥0）是一个非负数
（ ）2＝a（a≥0）
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身
（1）正用公式:（ ）2＝5，（ ）2＝x2＋1；（2）逆用公式:若a≥0，则a＝（ ）2，如2＝（ ）2，
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
分析 根据（ ）2＝a（a≥0）计算.
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
分析 根据（ ）2＝a（a≥0）计算.
解析（1） ＝3.4.
（2） .
（3） ＝72x3＝147.
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
解析（1）由题意得 ，解得x＝3，
把x＝3代入原式得y＝4，∴xy＝3x4＝12，∴xy的平方根是± .
（2）∵ ，∴ ，
∴x-3＝0，y＋2＝0， 解得 x＝3，y＝-2，
∴ .
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
解析（1）由题意得 ，解得x＝3，
把x＝3代入原式得y＝4，∴xy＝3x4＝12，∴xy的平方根是± .
（2）∵ ，∴ ，
∴x-3＝0，y＋2＝0， 解得 x＝3，y＝-2，
∴ .
点拨 如果几个非负数的和为0，那么各个非负数同时为0例如:当 ＋|b|＋c2＝0时，必有a＝0，b＝0，c＝0.
经典例题
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
解析 由题意得m-2021≥0，∴m≥2021，∴2020-m＜0，
∴原方程可化为m-2020＋ ＝m，
即 ＝2020，∴m-2021＝20202，m-20202＝2021.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
解析 由题意得m-2021≥0，∴m≥2021，∴2020-m＜0，
∴原方程可化为m-2020＋ ＝m，
即 ＝2020，∴m-2021＝20202，m-20202＝2021.
点拨 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.解析 （1）x4-4＝（x2＋2）（x2-2）＝（x2＋2）［x2-（ ）2］＝（x2＋2）（x＋ ）（x- ）.
（2）x4-4x2＋4＝（x2-2）2＝［x2-（ ）2］2＝［（x＋ ）（x- ）］2＝（x＋ ）2（x- ）2.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.解析 （1）x4-4＝（x2＋2）（x2-2）＝（x2＋2）［x2-（ ）2］＝（x2＋2）（x＋ ）（x- ）.
（2）x4-4x2＋4＝（x2-2）2＝［x2-（ ）2］2＝［（x＋ ）（x- ）］2＝（x＋ ）2（x- ）2.
点拔 在有理数范围内分解因式的方法和公式在实数范围内仍然适用.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
分析 先求n的取值范围，再讨论n的具体取值.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
分析 先求n的取值范围，再讨论n的具体取值.
解析 山题意知 ，∴ ，即0≤n≤13.
∴0≤13-n≤13.∵ 是一个整数，∴13-n是一个能开得尽方的数，∴13-n可以是0，1，4，9.
当13-n＝0时，n＝13；当13-n＝1时，n＝12；当13-n＝4时，n＝9；当13-n＝9时，n＝4.
∴n的值为4或9或12或13.
易错易混
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
解析 根据题意，得 ，解得x≥-1且x≠0.
答案 x≥-1且x≠0
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
解析 根据题意，得 ，解得x≥-1且x≠0.
答案 x≥-1且x≠0
易错警示 本题中容易出现的错误是只注意被开方数为非负数，而漏掉分母中字母x的值不等于0这一条件.
1 二次根式
知识点一 二次根式的概念
内容
举例
概念
知识详解
知识点一 二次根式的概念
内容
举例
概念
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数，“ ”叫做二次根号
， ， ， ， 都是二次根式
知识详解
（1） 中的a可以表示一个数，也可以表示单项式、多项式、分式等代数式.（2）判断一个式子是不是二次根式，看它是否具备两个特征:一是根指数为2，二是被开方数为非负数
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
分析 根据二次根式的概念，（1）（3）（5）（7）（9）是二次根式，因为它们都含二次根号并且被开方数都是非负数；（2）的被开方数为负数；（4）的根指数是3；（6）当x≠ 时，被开方数为负数；
（8）当x＜- 时，被开方数为负数.
例1 判断下列各式，哪些一定是二次根式.
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） .
分析 根据二次根式的概念，（1）（3）（5）（7）（9）是二次根式，因为它们都含二次根号并且被开方数都是非负数；（2）的被开方数为负数；（4）的根指数是3；（6）当x≠ 时，被开方数为负数；
（8）当x＜- 时，被开方数为负数.
解析 （1）（3）（5）（7）（9）一定是二次根式.
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
式子表示
有意义
无意义
重点
解读
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
式子表示
有意义
被开方数为非负数
有意义→a≥0
无意义
被开方数为负数
无意义→a＜0
重点
解读
（1）由算术平方根的性质可知，当a≥0时，
有意义；当a＜0时，因为负数没有平方根，所以 无意义.例如: 表示-8的算术平方根，由于负数没有平方根，故 没有意义；
（2）如果一个式子中含有多个二次根式，且这个式子有意义，则各个二次根式中的被开方数都是非负数
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
解析 根据题意得，x-1≥0且3x-6≠0，∴x≥1且x≠2.
答案 x≥1且x≠2.
例2 要使式子 有意义，则x的取值范围是________.
解析 根据题意得，x-1≥0且3x-6≠0，∴x≥1且x≠2.
答案 x≥1且x≠2.
点拨 求含二次根式的分式有意义的条件时，首先，找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式；其次，需要满足分母不为0，列出所需的不等式；最后，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是使其有意义的条件.
知识点三 二次根式的非负性
二次根式的非负性
内容
知识详解
知识点三 二次根式的非负性
二次根式的非负性
内容
知识详解
≥0（a≥0）
二次根式 的被开方数a≥0， ≥0，即 具有双重非负性
1.因为非负数才有平方根，因此被开方数a≥0，即知识点二中二次根式有意义的条件；
2.当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a＝0时， 表示0的算术平方根，因此 ＝0，所以 （a≥0）是一个非负数
（ ）2＝a（a≥0）
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身
（1）正用公式:（ ）2＝5，（ ）2＝x2＋1；（2）逆用公式:若a≥0，则a＝（ ）2，如2＝（ ）2，
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
分析 根据（ ）2＝a（a≥0）计算.
例3 计算下列各式:
（1） ；（2） ；（3） .
分析 根据（ ）2＝a（a≥0）计算.
解析（1） ＝3.4.
（2） .
（3） ＝72x3＝147.
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
解析（1）由题意得 ，解得x＝3，
把x＝3代入原式得y＝4，∴xy＝3x4＝12，∴xy的平方根是± .
（2）∵ ，∴ ，
∴x-3＝0，y＋2＝0， 解得 x＝3，y＝-2，
∴ .
例4 （1）若y＝ ，求xy的平方根；
（2）已知实数x，y使 成立，求 的值.
解析（1）由题意得 ，解得x＝3，
把x＝3代入原式得y＝4，∴xy＝3x4＝12，∴xy的平方根是± .
（2）∵ ，∴ ，
∴x-3＝0，y＋2＝0， 解得 x＝3，y＝-2，
∴ .
点拨 如果几个非负数的和为0，那么各个非负数同时为0例如:当 ＋|b|＋c2＝0时，必有a＝0，b＝0，c＝0.
经典例题
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
解析 由题意得m-2021≥0，∴m≥2021，∴2020-m＜0，
∴原方程可化为m-2020＋ ＝m，
即 ＝2020，∴m-2021＝20202，m-20202＝2021.
题型一 利用二次根式有意义的条件进行求值
例1 已知|2020-m|＋ ＝m，求m-20202的值.
分析 首先根据二次根式有意义的条件确定出m的取值范，从而进行绝对值的化简，然后根据两边平方求出代数式的值.
解析 由题意得m-2021≥0，∴m≥2021，∴2020-m＜0，
∴原方程可化为m-2020＋ ＝m，
即 ＝2020，∴m-2021＝20202，m-20202＝2021.
点拨 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.解析 （1）x4-4＝（x2＋2）（x2-2）＝（x2＋2）［x2-（ ）2］＝（x2＋2）（x＋ ）（x- ）.
（2）x4-4x2＋4＝（x2-2）2＝［x2-（ ）2］2＝［（x＋ ）（x- ）］2＝（x＋ ）2（x- ）2.
题型二 逆用（ ）2＝a（a≥0）在实数范围内分解因式
例2 在实数范围内分解因式:
（1）x4-4；（2）x4-4x2＋4.
分析 （1）两次套用平方差公式分解因式；（2）先套用完全平方公式，再套用平方差公式分解因式.解析 （1）x4-4＝（x2＋2）（x2-2）＝（x2＋2）［x2-（ ）2］＝（x2＋2）（x＋ ）（x- ）.
（2）x4-4x2＋4＝（x2-2）2＝［x2-（ ）2］2＝［（x＋ ）（x- ）］2＝（x＋ ）2（x- ）2.
点拔 在有理数范围内分解因式的方法和公式在实数范围内仍然适用.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
分析 先求n的取值范围，再讨论n的具体取值.
题型三 求二次根式中符合条件的值
例3 是一个整数，试求自然数n的值.
分析 先求n的取值范围，再讨论n的具体取值.
解析 山题意知 ，∴ ，即0≤n≤13.
∴0≤13-n≤13.∵ 是一个整数，∴13-n是一个能开得尽方的数，∴13-n可以是0，1，4，9.
当13-n＝0时，n＝13；当13-n＝1时，n＝12；当13-n＝4时，n＝9；当13-n＝9时，n＝4.
∴n的值为4或9或12或13.
易错易混
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
解析 根据题意，得 ，解得x≥-1且x≠0.
答案 x≥-1且x≠0
易错点 确定式子中字母的取值范围时，漏掉分母不为0这一条件
例 要使代数式 有意义，则x的取值范围是__________.
解析 根据题意，得 ，解得x≥-1且x≠0.
答案 x≥-1且x≠0
易错警示 本题中容易出现的错误是只注意被开方数为非负数，而漏掉分母中字母x的值不等于0这一条件.