第六章
平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，，且，则向量与夹角的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】可知，，，所以夹角为，故选:C.
2．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（
）
A．若，则或
B．若，则或
C．若，则或
D．若，则
【答案】B
【解析】对于选项，若，则或或，故错误；
对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；
对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.
3．已知向量，，若，且，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为向量，，则，
又，所以，解得
.故选：D．
4．若向量，满足，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，故选：B
5.在平面直角坐标系中，已知三点为坐标原点.若向量，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
∵向量，
∴，
∴，
∴，
所以当时，取得的最小值，且最小值为．故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值为（
）
A.-6
B.
1
C.
6
D.
-1
【答案】AD
【解析】解：，，，
为直角三角形，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，方程无实解；
综上所述，或，故选：AD．
7.已知向量，，，下列等式中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于选项A,由题得：，所以，
，，不相等，所以A错误；
对于选项B,，所以，所以B正确；
对于选项C,，所以C正确；
对于选项D,，
即，所以，所以D正确．故选：BCD．
8．已知向量，，则（
）
A．若与垂直，则
B．若，则的值为
C．若，则
D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，
对于选项B：由，可得，解得，∴，
∴，故B正确；
对于选项C：若，则，则，故C正确：
若，对于选项D：：设与的夹角为，
则，故D错误．
故选:BC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则的值为__________;=____________
【答案】3
2
【解析】由，，得，则，．故答案为:3
2
10．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是__________
【答案】
【解析】
，
，
设的夹角为，.故答案为:
11．已知，则等于______.
【答案】
【解析】由，，得.
由⊥，得，即，解得.
故答案为:.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知．
（1）求的坐标和模；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）∵．
∴，．
（2），∴与的夹角的余弦值为．
13．已知，，，求与的夹角．
设，，，是否存在点M，使O，M，C三点共线，且？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2)或
【解析】，
．
又，，
．
，
．
设存在点M
，且，
，．
．
，解得或．
或．
存在或满足题意．
14．已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)求函数f(x)=a·b+|a+b|的最小值,并求使函数f(x)取得最小值时x的值.
【答案】(1)-cos
2x
-2sin
x.(2)1
π
【解析】(1)由题意得,a·b=-cos
·cos
+sin
sin
=-cos
2x,|a+b|=
=
==2|sin
x|,
∵x∈,∴-1≤sin
x≤0,
∴|a+b|=-2sin
x.
(2)由(1)得,
f(x)=a·b+|a+b|=-cos
2x-2sin
x=2sin2x-2sin
x-1=2-.∵x∈,∴-1≤sin
x≤0,
∴当sin
x=0,即x=π时,
f(x)min=-1.第六章
平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，，且，则向量与夹角的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（
）
A．若，则或
B．若，则或
C．若，则或
D．若，则
3．已知向量，，若，且，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
4．若向量，满足，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
5.在平面直角坐标系中，已知三点为坐标原点.若向量，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值为（
）
A.-6
B.
1
C.
6
D.
-1
7.已知向量，，，下列等式中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
8．已知向量，，则（
）
A．若与垂直，则
B．若，则的值为
C．若，则
D．若，则与的夹角为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则的值为__________;=____________
10．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是__________
11．已知，则等于______.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知．
（1）求的坐标和模；
（2）求与的夹角的余弦值．
13．已知，，，求与的夹角．
设，，，是否存在点M，使O，M，C三点共线，且？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)求函数f(x)=a·b+|a+b|的最小值,并求使函数f(x)取得最小值时x的值.
