第六章
平面向量及其应用
6.1
平面向量的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．
故选：B
【答案】B
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
【答案】D
【解析】由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选：D．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行
B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0
D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】B
【解析】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；
设方向相反的两个非零向量为和，满足
，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；
对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.
故选：B.
4．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．e1＝e2
B．e1∥e2
C．|e1|＝|e2|
D．以上都不对
【答案】C
【解析】单位向量的模都等于1个单位，故选:C．
5.如图，在正方形中，下列命题中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】正方形中，向量、方向不同，不是相等向量，错误；
向量、大小相等，方向相反，不是相等向量，错误；
向量与的方向不同，不是相等向量，错误；
，模长相等，正确．故选：．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法正确的选项为（
）
A.零向量没有方向；
B.向量的模一定是正数；
C.与非零向量共线的单位向量不唯一
D.长度为0的向量都是零向量；
【答案】B
【解析】零向量的方向是任意的，故A错；向量的模是非负数，故B错；
与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故C正确.由定义知D正确
故选：CD.
7．下列说法不正确的是（
）
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量
与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】ABD
【解析】对于选项A,有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在平行直线上，不一定在同一直线上，故A错误.
对于选项B,由于零向量与任一向量平行，因此，若，中有一个为零向量时，其方向是不确定的.故B错误.
对于选项C,由于向量与向量方向相反，所以二者是平行向量，故C正确.
对于选项D,单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同.故D错误.
故选：ABD
8．下列命题中B不正确的有（
）
A.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
B.单位向量都相等；
C.任一向量与它的相反向量不相等；
D.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
【答案】BCD
【解析】对于A，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故A错误；
对于B，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误；
对于C，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故C错误；
对于D，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故D错误.
故选：BCD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
【答案】④⑥
【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确．故答案为:④⑥
10．如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）
【答案】，，
【解析】解：由题可得：与相等的向量是：，，；
故答案为：
，，.
11．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有_______________
【答案】向量，，．
【解析】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故答案为:向量，，．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.
【答案】A地至B，C两地的位移分别用表示；A地至B，C两地的实际距离分别为.
【解析】A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，所以A地至B实际距离为：，
A地至C地的实际距离为：.
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量．
【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
13．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
14．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）
【解析】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.第六章
平面向量及其应用
6.1
平面向量的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
3．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行
B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0
D．方向相反的两个非零向量必不相等
4．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．e1＝e2
B．e1∥e2
C．|e1|＝|e2|
D．以上都不对
5.如图，在正方形中，下列命题中正确的是
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法正确的选项为（
）
A.零向量没有方向；
B.向量的模一定是正数；
C.与非零向量共线的单位向量不唯一
D.长度为0的向量都是零向量；
7．下列说法不正确的是（
）
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量
与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是平行向量
D．单位向量都相等
8．下列命题中B不正确的有（
）
A.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
B.单位向量都相等；
C.任一向量与它的相反向量不相等；
D.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
10．如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）
11．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有_______________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.
13．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
14．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
