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北师大版数学九年级上2.5
二次函数与一元二次方程（2）导学案
课题
2.5
二次函数与一元二次方程（2））
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1、学会利用二次函数图象估计一元二次方程的根.
2、经历先根据图象确定一元二次方程根的范围,再利用计算器探索一元二次方程的近似根的过程,体会数学的严谨性.
重点
难点
重点:利用二次函数图象估计一元二次方程的根.
难点:先根据图象确定一元二次方程根的范围，再利用计算器探索一元二次方程的近似根.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
函数的部分图象如图所示：
当时，x的取值范围是__________；
方程的解是_________．
合
作
探
究
探究一：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
x2+2x-10=0的根吗？
图
2-14
是函数
y=x2+2x
-10的图象．
由图象可知方程有两个根，一个在
-5
和
-4之间，另一个在2
和3
之间．
图2-14
（1）先求
-5
和
-4
之间的根．
再利用计算器进行探索：
x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56
因此，x
=
-4.3
是方程的一个近似根.
图
2-15
（2）另一个根可以类似地求出：
x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.110.56
因此，x
=
2.3
是方程的另一个近似根．
探究二：
（1）请利用图2-17求一元二次方程
x2+2x-10=3的近似根．
图2-17
（2）你还能利用图2-18求一元二次方程
x2+2x-10=3的近似根吗？
图2-18
当
堂
检
测
1、如图是二次函数的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程的一个根是，则此方程的另一个根是
A.
B.
C.
D.
2、已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x013y131
则下列判断中正确的是
A.
抛物线开口向上
B.
抛物线与y轴交于负半轴
C.
当时，
D.
方程的正根在3与4之间
3、二次函数b，c为常数，且的图象上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如表
x0123y39
关于x的方程一个负数解满足为整数，则______．
4
关于x的二次函数与x轴有交点．
求a的取值范围；
当时，求抛物线与x轴两个交点的距离．
课
堂
小
结
利用y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的步骤
1、描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
2、估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
3、确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
参考答案
自主学习：
解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，x的取值范围是或；
故答案为或；
方程的解为，．
故答案为，．
合作探究：
探究一：
探究二：
（1）解：①原方程可变形为x2+2x-13=0;
②用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象;
③观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴交点的横坐标;
图2-17
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间。
先求
-5
和
-4
之间的根．
利用计算器进行探索：
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
先求
2和
3之间的根．
利用计算器进行探索：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
因此，x
=
2.7
是方程的另一个近似根
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7
x2≈2.7
（2）解：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
①用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象;
②作直线y=3;
③观察估计抛物线y=x2+2x-10直线y=3的交点的横坐标;
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间
先求
-5
和
-4
之间的根．
利用计算器进行探索：
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
y
1.25
1.96
2.69
3.44
再求
2和
3之间的根．
利用计算器进行探索：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
y
1.25
1.96
2.69
3.44
当堂检测：
1、解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以此方程的另一个根是．
故选：C．
2、解：A、时，；时，；
抛物线开口向下，故本选项错误；
B、时，，
抛物线与y轴交于正半轴，故本选项错误；
C、根据对称性，当时与时的函数值相同，
，故本选项错误．
D、由表可知，抛物线与x轴的一个交点在与0之间，
根据对称性另一个交点为3与4之间，
故选：D．
3、解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点在1和2之间，
则该函数与x轴的另一个交点在和之间，
关于x的方程一个负数解满足，
，
即，
故答案为．
4、解：二次函数与x轴有交点，
，，
解得，且；
当时，二次函数为：，
设抛物线与x轴两个交点的坐标为、，
则，，
∴．
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2.5
二次函数与一元二次方程（2）
数学北师大版
九年级下
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
复习导入
新知讲解
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
x2+2x-10=0的根吗？
新知讲解
图
2-14
是函数
y=x2+2x
-10的图象．
由图象可知方程有两个根，一个在
-5
和
-4
之间，另一个在
2
和
3
之间．
图2-14
新知讲解
（1）先求
-5
和
-4
之间的根．利用计算器进行探索：
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
新知讲解
图
2-15
因此，x=-4.3是方程的一个近似根.
新知讲解
（2）另一个根可以类似地求出：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
图
2-16
因此，x
=
2.3
是方程的另一个近似根．
新知讲解
做一做
（1）请利用图2-17求一元二次方程
x2+2x-10=3的近似根．
图2-17
新知讲解
图2-17
解：(1)原方程可变形为x2+2x-13=0;
(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象;
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴交点的横坐标;
新知讲解
图2-17
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间.
新知讲解
先求
-5
和
-4
之间的根．
利用计算器进行探索：
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
y
因此，x
=
-4.7
是方程的一个近似根.
-1.75
-1.04
-0.31
0.
44
新知讲解
再求
2和
3之间的根．
利用计算器进行探索：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
y
因此，x
=
2.7
是方程的另一个近似根.
-1.75
-1.04
-0.31
0.
44
新知讲解
图2-17
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7
x2≈2.7
新知讲解
图2-18
（2）你还能利用图2-18求一元二次方程
x2+2x-10=3的近似根吗？
新知讲解
解：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象;
(2)作直线y=3;
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10直线y=3的交点的横坐标;
图2-18
y=3
新知讲解
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
图2-18
y=3
新知讲解
先求
-5
和
-4
之间的根．
利用计算器进行探索：
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
y
因此，x
=
-4.7
是方程的一个近似根.
1.25
1.96
2.69
3.
44
新知讲解
再求
2和
3之间的根．
利用计算器进行探索：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
y
因此，x
=
2.7
是方程的另一个近似根.
1.25
1.96
2.69
3.
44
新知讲解
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7
x2≈2.7
图2-18
y=3
课堂练习
1.
如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是0.6，则此方程的另一个根是(
)
A.
-0.6
B.
1.2
C.
3.4
D.
3.6
C
课堂练习
解：抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(0.6,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3.4,0)，
所以此方程的另一个根是x=3.4．
故选：C．
课堂练习
2.
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是(
)
A.
抛物线开口向上
B.
抛物线与y轴交于负半轴
C.
当x=4时，y>0
D.
方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-5
1
3
1
…
D
课堂练习
解：A、∵x=1时，y=3；x=3时，y=1；
∴抛物线开口向下，故本选项错误；
B、∵x=0时，y=1，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故本选项错误；
C、根据对称性，当x=4时与x=-1时的函数值相同，
y=-5<0，故本选项错误．
D、由表可知，抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间，
根据对称性另一个交点为3与4之间，
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，且a≠0)的图象上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如表:
关于x的方程ax2+bx+c=0一个负数解x1满足k拓展提高
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-3
-3
-1
3
9
…
-3
拓展提高
解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线
，与x轴的一个交点在1和2之间，
则该函数与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∵关于x的方程ax2+bx+c=0一个负数解x1满足k∴-3即k=-3，
拓展提高
4、关于x的二次函数y=(a-2)x2-8x+4与x轴有交点．
(1)求a的取值范围；
(2)当a=3时，求抛物线与x轴两个交点的距离．
拓展提高
解：(1)∵二次函数y=(a-2)x2-8x+4与x轴有交点，
∴82-4×(a-2)×4=-16a+96≥0，a-2≠0，
解得，a≤6且a≠2；
(2)当a=3时，二次函数为：y=x2-8x+4，
设抛物线与x轴两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，
则x1+x2=8，x1·x2=4
∴
课堂总结
利用y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的步骤:
1、描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
2、估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
3、确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
板书设计
课题：2.5
二次函数与一元二次方程（2）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P57练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P57练习第3题
