(共11张PPT)
6.1 平面向量的概念
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
向量的相关概念
1.向量的概念
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
2.有向线段
(1)概念:具有① 方向????的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线
段记作②?????????,线段AB的长度也叫做有向线段?的长度,记作③ |?|????.
(2)三要素:④ 起点、方向、长度????.
3.零向量
长度为⑤ 0????的向量叫做零向量,记作0.
4.单位向量
长度等于⑥ 1????个单位长度的向量,叫做单位向量.
5.平行向量
方向相同或相反的⑦ 非零????向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量.
规定:零向量与⑧ 任意????向量平行.
6.相等向量
长度相等且方向⑨ 相同????的向量叫做相等向量.
向量的表示
1.向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,⑩有向线段?的方向表示向量的方向.
2.向量可以用字母a,b,c,…表示.印刷用黑体a,书写用??????????.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“?”.
1.两个向量,长度长的向量较大.?(????? )
2.如果两个向量共线,那么它们的方向相同.?(????? )
3.实数分为正实数、零、负实数,所以实数是向量.?(????? )
4.把平面内所有单位向量的起点都平移到同一点时,它们的终点构成的图形是
线段.?(????? )
提示:它们的终点构成的图形是圆.
5.相等向量一定是共线向量.?( √ )
6.平行于同一向量的两个向量平行.?(????? )
提示:因为零向量与任意向量平行,所以平行于零向量的两个向量不一定平行.
7.当两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行.?(????? )
提示:不一定平行,也可能重合.
8.向量就是有向线段.?(????? )
平面向量的有关概念
1.向量既有大小又有方向,因此不能比较大小,而向量的模是非负实数,可以比较大小.
2.零向量
(1)要注意0与0的区别及联系,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0;
(2)零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量.
3.单位向量
(1)单位向量是长度等于1个单位长度的向量,其方向是任意的;
(2)在同一平面内,将所有单位向量的起点平移到同一个点,它们的终点可构成
一个半径为1的圆.
共线向量与相等向量及其应用
1.由于任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量与共线向量是等价的,要注意避免向量平行与平面几何中的直线平行相混淆.平行直线不包
括重合的情况,而平行向量是可以重合的.
2.向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量,当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行,但若b≠0,则必有a∥b,b∥c?a∥c.因此,解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.
3.两个非零共线向量包括的四种情况:
①方向相同且模相等;②方向相同但模不相等;③方向相反但模相等;④方向相
反且模不相等.
因此,共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量.
??
如图,四边形ABCD和四边形BCED都是平行四边形,在每两点所确定的向量中:
?
(1)写出与?相等的向量;
(2)写出与?共线的向量.
思路点拨
利用相等向量和共线向量的概念来解答.
解析????(1)因为四边形ABCD和四边形BCED都是平行四边形,
所以BC∥AD,BC∥DE,BC=AD=DE,
所以?=?=?.
故与?相等的向量有?,?.
(2)与?共线的向量共有7个,分别是?,?,?,?,?,?,?.6．1 平面向量的概念
【新知初探】
要点一 向量的概念
数学中，我们把既有
，又有
的量叫做向量，而把那些
的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．
注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．
②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
思考 已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．
其中是数量的有________________，是向量的有________________．
要点二 向量的表示方法
(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：
、
、
，如图所示．
以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a,
b,
c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，
，
)．
(3)向量的大小：也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||.
的
向量叫做零向量，记作0；
的向量，叫做单位向量．
思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．
要点三 相等向量与共线向量
(1)相等向量：
且
的向量叫做相等向量．
(2)平行向量：方向
的
向量叫做平行向量．
①记法：向量a平行于b，记作a∥b.
②规定：零向量与
行．
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．
思考 向量平行具备传递性吗？
【题型通关】
题型一 向量的基本概念
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
跟踪训练1 下列说法正确的有________．
(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
(3)向量与是平行向量；
(4)任何两个单位向量都是相等向量．
题型二 向量的表示及应用
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
题型三 平行向量与共线向量
例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的
向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD为?ABCD，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
【易错易混】
对向量的有关概念理解不清致误
例4 下列说法正确的个数是( )
①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1
B．2
C．3
D．4
【课堂达标】
1．下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.>
D.<
4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
5．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点且＝，求证：四边形DNBM是平行四边形．
【札记】
参考答案
【新知初探】
要点一：
大小
方向
只有大小，没有方向
②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧
要点二：
方向
起点、方向、长度
长度为0
长度等于1个单位
单位圆
要点三：
长度相等
方向相同
相同或相反
非零
任一向量
【题型通关】
例1
解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．
跟踪训练1
答案 (3)
解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
(3)正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．
例2
【解】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
跟踪训练2
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
例3
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
跟踪训练3
解 (1)与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
例4
正解 事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．
答案 A
【课堂达标】
1.答案 B
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
2.答案 C
解析 A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>b，A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C.
3.答案 B
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
4.解 (1)＝＝，＝.(2)，，.
5.证明 ∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．
又∵＝，∴四边形CNAM为平行四边形，
∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，
∴四边形DNBM是平行四边形．第六章
平面向量及其应用
6.1
平面向量的概念
教学设计
教学目标
通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景；
理解向量的意义及几何表示；
掌握相等向量与共线向量的意义.
教学重难点
教学重点
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示.
教学难点
对共线向量的理解及掌握.
教学过程
（一）新课导入
师：我们在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？
生：既有大小，又有方向.
师：下面我们来学习这些量.
探索新知
问：我们对这些既有大小，又有方向的量给出一个定义，叫做向量，并且把只有大小，没有方向的量叫做数量.同学们来举出你知道的向量与数量的例子.
（学生举手回答）
如，向量：作用力、反作用力、加速度等；数量：身高、体重、面积、质量等.
问：数量可以用数轴上的点来表示吗？
答：可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.
问：如何表示向量呢？
在表示位移的时候，若小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.同样，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.
在线段AB中，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.
问：总结有向线段的几个要素.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.长度为0的向量叫做零向量，记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.向量也可用字母，…表示.
例1（课本P3）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行，记作.
零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等，记作.
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.
是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出，，.这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
例2.（课本P4）
（三）课堂练习
1.回答下列问题：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
2.EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
（1）与向量共线的向量有________个，分别是________________________________；
（2）与向量的模一定相等的向量有________个，分别是________________________；
（3）与向量相等的向量有________个，分别是_______________________．
答案：（1）7；、、、、、、；
（2）5；、、、、；
（3）2；、.
（四）小结作业
小结：
（1）向量的定义；
（2）有向线段的三要素及向量的几何表示；
（3）向量的模、零向量、单位向量的定义及表示；
（4）平行向量、相等向量、共线向量.
作业：
板书设计
6.1
平面向量的概念
向量的定义；
有向线段的三要素；
向量的模、零向量、单位向量的定义；
平行向量、相等向量、共线向量的定义.
