《6.2.1向量的加法运算》教学设计
【学习目标】
（1）掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
（2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
（3）掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学思想方法；
【重点难点】
重点：理解向量的加法及其运算的法则和运算律．
难点：向量加法法则及其几何意义的理解．
【教学方法】
采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．
【教学过程】
1、
复习回顾，引入新课
1.请同学们回顾一下上节课我们学面向量的哪些概念？
2.实数有了运算，威力无穷。向量是否能像数一样进行运算呢？
【设计意图】温故而知新且带着问题学习，目标明确，同时有助于学生更牢固地掌握知识.
2、
向量的加法的定义及其运算法则
探究1：由于以前大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？如何用向量表示?
上海
台北
香港
【设计意图】设置情境,帮助学生回顾物理中位移的定义和合成,说明物理中的矢量求和和向量加法有何异同,将物理中的矢量求和迁移到向量的加法上来,让学生自己探索向量加法的三角形法则.
建构数学：
1.向量加法的定义
定义：求
的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量，规定
2．向量加法的三角形法则
这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则
代数表达式:
特点：
【设计意图】学生受位移求和的启发,找到求解向量之和的方法--向量加法的三角形法则.最后观察总结得出向量加法的三角形法则的特征.
练习1.
根据图示填空
【设计意图】加强学生对向量加法的三角形法则的特征的认识.
探究2：
【设计意图】教师提问求作向量的加法还有没有其他方法，再次创设情境,让学生用物理学知识，根据定义向量加法的三角形法则的过程，自己定义向量加法的平行四边形法则.
建构数学：
3.向量加法的平行四边形法则
这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则
代数表达式:
特点：
思考：
1.两种方法做出的结果一样吗?
2.它们之们有联系吗?
【设计意图】注意向量加法的三角形法则和加法的平行四边形法则的区别和联系.
练习2.
（1）
（2）
（3）
(4)
思考：
发现：①
不共线
②
共线
【设计意图】进一步巩固学生对向量加法的三角形法则和加法的平行四边形法则的理解和应用.
三、向量的加法的运算律
探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a
，b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).
任意向量
的加法是否也满足交换律与结合律？
建构数学：
1
交换律：
2
结合律：
【设计意图】学生类比数的加法运算律,大胆猜想,小心验证,培养其思维能力.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。
A
变式：若要使小船沿垂直河岸方向到达对岸码头的实际速度的大小为
km/h,
问：小船行驶的速度大小和方向又该如何？
【设计意图】通过例2让学生体会向量在生活中的实际应用，体会数学的应用价值.
四.【巩固练习】
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式是否正确。
五.【作业】
必做题：课本第10页练习第5题.
课本第22页习题6.2第2、3、4（1）、（2）、（3）题
选做题：课本第23页习题6.2第15、16、题
【设计意图】作业题兼顾了理论与应用,既巩固了本课所学,又让学生体会到数学的应用价值.分层作业,培养学生的创新精神和发展能力.
六.【课堂小结】同学们想一想:本节课你有什么收获?留给你印象最深的什么?本节课体现了哪些数学核心素养?
【设计意图】归纳小结,帮助学生形成知识结构.
七.【学习反思】
【设计意图】通过反思学习,增强学生的能力,提高学生的创造力,促进他们全面发展.
A
B
C
E
A
D
B
C
C
B
A
O(共25张PPT)
第1课时：向量的加法
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向
是如何反映的？
什么叫零向量和单位向量？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量
向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
我们知道，实数有了运算，威力无穷．向量是否能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用．
下面先学习向量的加法．
一、创设问题情境，明确研究对象
问题1
位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．
我们先来看一个与位移有关的问题．
如图，某质点M从点A经过点B到点C，
质点M的位移如何表示？
A
B
C
一、创设问题情境，明确研究对象
问题2
由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
二、借助背景，得出概念
对于下列两个向量a与b，如何用三角形法则求其和向量？
b
a
B
b
a+b
a
A
首尾相接首尾连
O
二、借助背景，得出概念
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作
则向量
叫做a和b的和，记作a+b．即a+b=
．
问题3
对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
三、多角度思考，优化认知
B
O
A
C
a+b
a
b
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
三、多角度思考，优化认知
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为起点的向量
（OC是□OACB的对角线），就是向量a与b的和．
b
b
a
b
a
三
角
形
法
则:
平行四边形法则:
A
C
B
a
+
b
B
O
A
C
a
+
b
b
尾首顺次相接
首指向尾为和
起点相同，两边平行
同一起点，对角为和
一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。
问题4
向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
四、辨析两种加法法则的一致性
对于零向量与任一向量 ．我们规定
a
注：向量的加法运算结果还是向量
例1
如图，已知向量a，b，求作向量a+b．
五、明确向量加法的作图方法，理解其几何意义
作法1：在平面内任取一点O，作
．
则
．
作法2：在平面内任取一点O，作
．
以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，
则
．
追问：在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形法则作图呢？
在向量加法作图时，向量起点可以在平面上任意选取，用向量的三角形法则作图时，两个向量首尾相连；而用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起；当两个向量共线时，采用三角形法则作两个向量的和．
五、明确向量加法的作图方法，理解其几何意义
A
B
C
(1)
同向
(2)反向
A
B
C
探究1：如果向量
共线，它们的加法与数的加法有什么关系？
你能做出向量
吗？
六、联系对比，巩固新知
1、不共线
o·
A
B
探究2：结合例1，探索
的关系。
六、联系对比，巩固新知
2、
共线
(1)同向
(2)反向
六、联系对比，巩固新知
B
C
D
A
B
C
D
A
结论
是否成立？
探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
结合律呢？
六、联系对比，巩固新知
A
B
C
ｂ
a＋b
a
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号．
六、联系对比，巩固新知
问题6
请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和．
六、联系对比，巩固新知
首尾顺次相连
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作
则向量
叫做a和b的和，记作a+b．即a+b=
．
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为起点的向量
（OC是□OACB的对角线），就是向量a与b的和．
问题7
从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
（1）
?
（2）
满足交换律
满足结合律
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
例2
如图，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进
行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15
km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6
km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向
（用与江水速度间的夹角表示，精确到1?）．
八、向量加法的简单应用
九、课堂练习
教科书第10页的练习．
习题6.2的第1，2，3题，第4题的前三小题．
十、布置作业
目标检测设计
1．下列结论一定正确的是（ ）．
（A）在△ABC中，
．
（B）向量a的大小为2，向量b的大小为3，则向量a+b的大小为5．
（C）
．
（D）|a+b|=|a|+|b|．
2．某人在静水中游泳，速度为
km/h，水流的速度为9
km/h．他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为______度．
3．一汽船从正西方向航行5
km，又向正南方向航行12
km，求汽船两次位移的合位移的大小和方向（精确到1°）．
再
见6.2.1
向量的加法运算
【新知初探】
要点一 向量的加法
1．向量加法的定义
定义：求
的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角形法则
如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则
如图，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作?ABCD，则对角线上的向量＝a＋b
思考 如图，已知向量a,
b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.
要点二 向量的加法和向量的模
(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b
，且|a＋b|<|a|＋|b|；
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向，且|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
要点三 向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考1 根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：＝a，＝b)
思考2 根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【题型通关】
题型一 向量加法及其运算律
跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；(4)＋＋＝________.
题型二 向量加法在平面几何中的应用
例2 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
跟踪训练2 如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，试判断四边形的形状．
题型三 向量加法的实际应用
在水流速度为4
km/h的河中，如果要船以12
km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
跟踪训练3 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
例4 在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
【课堂达标】
1．作用在同一物体上的两个力F1＝60
N，F2＝60
N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为( )
A．30
N
B．60
N
C．90
N
D．120
N
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
4．化简：(1)＋＋；
(2)(＋)＋(＋)；
(3)＋(＋)＋.
5．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
【札记】
参考答案
【新知初探】
要点一：
两个向量和
思考
答案 作法1：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
作法2：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作?OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
要点二：
都不相同
相同
思考1
答案 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考2
答案 ∵＝＋＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【题型通关】
例1 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
例1解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
跟踪训练1答案 (1) (2) (3) (4)0
例2证明 ＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝.
∴AB＝CD且AB∥DC.
∴四边形ABCD为平行四边形．
反思与感悟 利用向量的加、减法证明平面几何问题：
(1)要注意法则的应用；
(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．
解答本题，即证明四边形ABCD为平行四边形，只需证＝.
跟踪训练2解 ∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
例3解 如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．
因为||＝4
，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8
，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为8
km/h，方向与水流方向所成角为120°.
反思与感悟 速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．
跟踪训练3解 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
例4解析 ＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
答案 0
【课堂达标】
1.答案 B
2.答案 D
解析 ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
3.答案 2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
4.解 (1)＋＋＝＋＋＝.
(2)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(3)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0.
5.证明 ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
