第六章
平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第2课时
向量的数乘运算
【课程标准】
通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。
了解平面向量的线性运算性及其几何意义。
掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
【知识要点归纳】
1．数乘向量
(1)定义：
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
(i)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(3)运算律：
设λ，μ为实数，则
①(λ＋μ)a＝λ
a＋μ
a；
②λ(μ
a)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意：数乘向量与实数的乘法的区别。
[提示] (1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．
2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【经典例题】
例1．已知，，
（1）求．
（2）求。
例2．已知，，，都是向量，且，，试用，分别表示，．
例3．已知两个非零向量与不共线，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，三点共线，求的值．
例4．已知非零向量，，，，，求证：，，三点在同一条直线上．
例5．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若，求实数的值．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则
A．
B．
C．
D．
2．已知，点为边上一点，且满足，则向量
A．
B．
C．
D．
3．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
4．在所在的平面上有一点，满足，设，，则
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2小题）
5．在中，点，分别在边，上，且，，记，，若，则的值为 ．
6．在平行四边形中，，则 （用表示）．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足．
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则
A．
B．
C．
D．
【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．
【解答】解：由可知，，
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．
2．已知，点为边上一点，且满足，则向量
A．
B．
C．
D．
【分析】根据可得出，然后进行向量的数乘运算求出即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用表示出向量．
【解答】解：如图，四边形为平行四边形，为的中点，为的中点，
．
故选：．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．在所在的平面上有一点，满足，设，，则
A．
B．
C．
D．
【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得为线段的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．
【解答】解：，
；
即；
故点是边上的第二个三等分点；
；
故选：．
【点评】本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．
二．填空题（共2小题）
5．在中，点，分别在边，上，且，，记，，若，则的值为 ．
【分析】可画出图形，根据，即可得出，再根据便可得出，又知，这样根据平面向量基本即可求出，的值．
【解答】解：如图，
，；
，，且；
；
又；
根据平面向量基本定理得，；
．
故答案为：．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
6．在平行四边形中，，则 （用表示）．
【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由得，利用向量的三角形法则得，且，最后将左式的两个向量都用用表示即得．
【解答】解：由得，且，
又，
．
故答案为：．
【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足．
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：．
【分析】（1）是的中点时，可得出，从而根据平面向量基本定理得出；
（2）根据，，三点共线可得出与共线，从而得出，进而得出，这样根据平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：（1）若是的中点，则，
又，
根据平面向量基本定理得，，
；
（2）证明：，，三点共线，
和共线，
存在实数，使，
，
，
又，
根据平面向量基本定理得，．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．6.2.2向量的减法运算
导学案
编写：廖云波
初审：孙锐
终审：孙锐
廖云波
【学习目标】
1.知道相反向量的定义
2.记住向量减法法则及其几何意义
3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．
【自主学习】
知识点1
相反向量
(1)我们规定，与向量a
，
的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是
，即0＝－0.
知识点2
向量的减法及其几何意义
1.向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，
知＝a＋(－b)＝a－b.又b＋＝a，所以＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在?ABCD中，＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
【合作探究】
探究一
向量减法的几何意义
【例1-1】在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A．
B．
C．
D．
【例1-2】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
归纳总结：
【练习1】如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝a－b＋c.
探究二
向量的加减法运算
【例2】化简－＋－得(
)
A．
B．
C．
D．0
归纳总结：
【练习2】化简：(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
探究三
向量加减运算几何意义的应用
【例3-1】已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为
．
【例3-2】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a,
＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
归纳总结：
【练习3-1】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为_
__．
【练习3-2】如图所示，解答下列各题：
①用a、d、e表示；
②用b、c表示；
③用a、b、e表示；
④用c、d表示．
课后作业
A组
基础题
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0
B．－＝
C．－＝
D．＋＝0
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b
B．－a＋(－b)
C．a－b
D．b－a
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
4.化简=( )
A.
B.0
C.
D.
5.若O，A，B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A.
B.
C.=-
D.=-
6.(多选)化简以下各式,结果为0的有( )
A.
B.
C.
D.
7．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
8．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
10．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
11．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
三、解答题
12．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
13．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
B组
能力提升
一、选择题
1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
2.已知=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形,则( )
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
3．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
4.(多选)下列说法中正确的是( )
A.若,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.互为相反向量的两个向量模相等
D.
5.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
二、填空题
6．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5,15]，则a＝________，b＝________.
7．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________.
8.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则= .?
9.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是 .?
10.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .?
三、解答题
11.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.(共20张PPT)
第2课时：向量的减法
我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？
一、创设问题，引入向量减法
问题1
（1）类比实数x的相反数是x，对于向量a，你能定义“相反向量”a吗？它有哪些性质？
（2）你认为向量的减法该怎样定义？
一、创设问题，引入向量减法
说明：
1．与b长度相等、方向相反的向量叫做b的相反向量；
2．零向量的相反向量仍是零向量；
3．任一向量和它相反向量的和是零向量．
一、创设问题，引入向量减法
定义：求两个向量的差的运算叫做向量的减法．
表示：a-b=a+(-b)．
b
a
-b
B
O
D
C
A
a-b
a+(-b)
-b
a
问题2
已知向量a和b，
ab的几何意义是什么？
二、动手实践，理解向量减法的几何意义
设
，
，
，连接AB，由向量减法的定义知
．
在四边形OCAB中，OB
CA，
所以OCAB是平行四边形．
所以
．
b
a
b
a
b-a
A
O
B
（1）在图中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变图中向量a的方向，使a∥b，怎样作出a－b呢？
追问1：
向量减法的几何意义：
二、动手实践，理解向量减法的几何意义
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作
，
，则
．即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
注意：
（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
特殊情况：
1．共线同向
2．共线反向
B
A
C
A
B
C
二、动手实践，理解向量减法的几何意义
b
a
d
c
例3
如图，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd．
三、巩固向量的减法
b
a
d
c
ab
cd
O
例4
如图，平行四边形ABCD，
，
，用a、b表示向量
、
三、巩固向量的减法
注意向量的方向
向量
向量
四、加法、减法综合运用
问题3
请思考如下问题：
若
=a+b，
=ab．
①当a、b满足什么条件时，a+b与ab垂直？
②当a、b满足什么条件时，|a+b
|=|ab|？
③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与ab可能是相等向量吗？
|a|=|b|
a、b互相垂直
a、b相等
不可能，因为对角线方向不同
追问2：判断是否正确：
①若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+b的方向必与a、b之一的方向相同．
②△ABC中，必有
．
③若
，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．
④|a+b|≥|ab|．
追问3：若
，
，则
的取值范围是（
）．
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
只有②正确
C
四、加法、减法综合运用
四、课堂练习
教科书第12页例4后练习．
目标检测设计
1．下列结论一定正确的是（
）．
（A）a-b=a+(-b)
（B）-(-a)=-a
（C）|a-b|=|a|-|b| （D）|a+b|>|a-b|
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，
，
．
(1)
a+b=______；（2）a-b=______．
3．化简：
（1）
；
（2）
．
a
b
A
B
C
D
第2题图
达标检测
小结
一、定义（利用向量的加法定义）。
二、向量减法三角形法则
（口诀：起点相同，连终点，指向被减向量）。
再
见
