第六章
平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第2课时
向量的数乘运算
【课程标准】
通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。
了解平面向量的线性运算性及其几何意义。
掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
【知识要点归纳】
1．数乘向量
(1)定义：
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
(i)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(3)运算律：
设λ，μ为实数，则
①(λ＋μ)a＝λ
a＋μ
a；
②λ(μ
a)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意：数乘向量与实数的乘法的区别。
[提示] (1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．
2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【经典例题】
例1．已知，，
（1）求．
（2）求。
例2．已知，，，都是向量，且，，试用，分别表示，．
例3．已知两个非零向量与不共线，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，三点共线，求的值．
例4．已知非零向量，，，，，求证：，，三点在同一条直线上．
例5．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若，求实数的值．第六章
平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第2课时
向量的数乘运算
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则
A．
B．
C．
D．
2．已知，点为边上一点，且满足，则向量
A．
B．
C．
D．
3．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
4．在所在的平面上有一点，满足，设，，则
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2小题）
5．在中，点，分别在边，上，且，，记，，若，则的值为 ．
6．在平行四边形中，，则 （用表示）．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足．
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则
A．
B．
C．
D．
【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．
【解答】解：由可知，，
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．
2．已知，点为边上一点，且满足，则向量
A．
B．
C．
D．
【分析】根据可得出，然后进行向量的数乘运算求出即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用表示出向量．
【解答】解：如图，四边形为平行四边形，为的中点，为的中点，
．
故选：．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．在所在的平面上有一点，满足，设，，则
A．
B．
C．
D．
【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得为线段的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．
【解答】解：，
；
即；
故点是边上的第二个三等分点；
；
故选：．
【点评】本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．
二．填空题（共2小题）
5．在中，点，分别在边，上，且，，记，，若，则的值为 ．
【分析】可画出图形，根据，即可得出，再根据便可得出，又知，这样根据平面向量基本即可求出，的值．
【解答】解：如图，
，；
，，且；
；
又；
根据平面向量基本定理得，；
．
故答案为：．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
6．在平行四边形中，，则 （用表示）．
【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由得，利用向量的三角形法则得，且，最后将左式的两个向量都用用表示即得．
【解答】解：由得，且，
又，
．
故答案为：．
【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足．
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：．
【分析】（1）是的中点时，可得出，从而根据平面向量基本定理得出；
（2）根据，，三点共线可得出与共线，从而得出，进而得出，这样根据平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：（1）若是的中点，则，
又，
根据平面向量基本定理得，，
；
（2）证明：，，三点共线，
和共线，
存在实数，使，
，
，
又，
根据平面向量基本定理得，．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．(共13张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
3.掌握共线向量定理及其证明过程,会根据共线向量定理判断两个向量是否共线.
向量的数乘运算
向量的
数乘
定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个① 向量????,这种运算叫做向量的数乘,记作②????λa????.当λ=0时,λa=0
长度
|λa|=③ |λ||a|????
方向
λa
?
向量数
乘的运
算律
结合律
λ(μa)=⑥ (λμ)a????(λ,
μ∈R)
分配律
(λ+μ)a=⑦????λa+μa????(λ,μ∈R)(第一分配律);
λ(a+b)=⑧????λa+λb????(λ,μ∈R)(第二分配律)
共线向
量定理
判定
定理
对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使⑨????b=λa????,那么由向量数乘的定义可知a与b共线
性质
定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑩????b=λa????
向量线性运算的常用结论
(1)在△ABC
中,D是BC的中点,则?=?(?+?);
(2)O是△ABC的重心的充要条件是?+?+?=0;
(3)与?同向的单位向量为?.
1.实数λ与向量a的积还是向量.?( √ )
2.对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反.?( √ )
3.向量-8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍.?( √ )
4.若b=λa(a≠0),则a与b方向相同或相反.?(????? )
提示：当λ=0时,b=0,此时b的方向是任意的,不能得出a与b的方向相同或相反.
5.若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa.?(????? )
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
??共线向量定理的应用——向量共线的判定
解决向量共线的判定问题的基本方法
向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实
数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判定两向量共线.
注意:定理中的a是非零向量,其原因是:若a=0,b≠0,虽然a与b共线,但不存在实
数λ,使b=λa成立;若a=b=0,a与b显然共线,但实数λ不唯一,任一实数λ都能使b=λa成立.
??
已知a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是
(???A?
)
①2a-3b=4e且a+2b=-2e;
②存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0;
③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0);
④在梯形ABCD中,?=a,?=b.
A.①② ????B.①③ ????C.② ????D.③④
思路点拨
若存在唯一的λ∈R,使b=λa(a≠0),则a∥b,否则a,b不共线.
解析????由2a-3b=-2(a+2b)得b=-4a,故①符合;由λa-μb=0,得λa=μb,故②符合;若x=y=0,则xa+yb=0,但b与a不一定共线,故③不符合;在梯形ABCD中,没有说明哪组对边平
行,故④不符合.
答案????A
???共线向量定理的应用——三点共线问题
一般地,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得?=λ?(或
?=λ?等).
??
如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且?=x?,?=y?,则?的值为 ????.
?
解析????如图,设BC的中点为D,连接GD,由于G是△ABC的重心,则A,D,G三点共线且?=??.由向量的加法法则知?=?(?+?),
∴?=??=?×?(?+?)=?(?+?).
∵?=?-?=?(?+?)-x?=??+??,
又?=?-?=y?-x?,M,G,N三点共线,
∴?=λ?(λ∈R且λ≠0),即y?-x?=λ??+??,即?
=
.
∵?与?不共线,∴?
得x+y=3xy,∴?=?.
答案?????
??
??
如图所示,在△ABC中,D,F分别是边BC,AC的中点,且?=??,?=a,
=b.
求证:B,E,F三点共线.
?
思路点拨
根据共线向量定理证得?=λ?(λ∈R)即可.
证明????如图,延长AD到G,使?=2?,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则
=a+b,?=??=?(a+b),?=??=?(a+b),?=?-?=?(a+b)-a=?(b-
2a).
?
∵?=??=?b,∴?=?-?=?b-a=?(b-2a),
∴?=??,∴?∥?.
又∵?与?有公共点B,∴B,E,F三点共线.
