中考数学复习专题—— 一元二次方程命题角度学案（附答案，共3个专题）

1060450010261600讲次01 一元二次方程的基础
一元二次方程定义及一般形式
概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
一元二次方程的解
概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
命题角度一 一元二次方程的概念
例题1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．false﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【解析】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
选B．
【小结】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
变式1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+1x＝3 D．x﹣5y＝6
【解析】根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程
选B.
变式2．若关于x的方程false是一元二次方程，则( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程(二次项系数不为0）．
【解析】由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A
【小结】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.
变式3．关于x的方程（m+1）false+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解
【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解.
【解析】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，选B.
【小结】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键.
变式4．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±1
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解析】由题意可知：false，解得a＝?1
选C．
【小结】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
命题角度二 一元二次方程的一般式
例题2．一元二次方程false的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】一元二次方程false的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．选A．
【小结】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
变式1．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解析】方程整理得：3x2-4x+2=0，选A．
【小结】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
变式2．一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
【解析】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0),将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0,合并为：x2-5x+5=0,所以选A.
变式3．把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是(　　)
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
【解析】一元二次方程的一般形式为false
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
选D．
【小结】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.
变式4．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　）
A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2
【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可．
【解析】由题意得：m2-4=0，且m-2≠0，
解得：m=-2，选D．
【小结】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
命题角度三 一元二次方程的解
例题3．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．?2 B．2 C．?4 D．4
【解析】把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．选B．
【小结】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
变式1． false是方程false的根，则式子false的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【分析】把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把式子m3+2m2+2014变形为m（m2+m）+m2+2014的形式，代入即可求出式子的值．
【解析】∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
选B．
【小结】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
变式2．false是关于false的一元一次方程false的解，则false（ ）
A．false B．false C．4 D．false
【分析】先把x=1代入方程false得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2,选A.
【小结】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
变式3．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3
【分析】把X=0代入方程(m-3)xfalse +3x+mfalse -9=0中,解关于m的一元二次方程,注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0
【解析】把x=0代入方程(m-3)xfalse +3X+mfalse -9=0中,得：mfalse -9=0
解得m=-3或3
当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,选A
【小结】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大
变式4．已知关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2-9=0有一个解是0，则m的值为( )
A．-3 B．3 C．±3 D．不确定
【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．
【解析】把x=0代入原方程得：m2-9=0；解得：m=±3；
当m=-3时,原方程为：5x=0,不是一元二次方程，故舍去.
所以m=3.选B．
【小结】考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次方程，所以m=-3不符合题意，所以m的值是3．
1211580011341100讲次02 解一元二次方程
解法一：配方法
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程false的一般步骤:
1)移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为false的形式；
【注意】：当false时，方程无解
4)求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
解法二：直接开平方法
概念：形如(x+a)2=b(b≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x+a=b或者x+a=-b，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
1)若b≥0，方程有两个实数根。
（若b>0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
解法三：公式法
一元二次方程false 根的判别式：false
1）falsefalse方程有两个不相等的实根:false（false）
2）falsefalse方程有两个相等的实根
3）falsefalse方程无实根
用公式法解一元二次方程false的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：false
4）最后求出x1，x2
解法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程false的一般步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
方法五：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是false和false，则false和false与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
false+false＝false； falsefalsefalse＝false
命题角度一 利用配方法解一元二次方程
例题1．用配方法解方程false，变形后的结果正确的是( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【解析】false，
false，
false，
所以false，
选D.
【小结】考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题关键.
变式1．用配方法解方程x2﹣falsex﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣false)2＝false B．(x+false)2＝false
C．(x﹣false)2＝0 D．(x﹣false)2＝false
【解析】∵x2﹣falsex﹣1=0，
∴x2﹣falsex=1，∴x2﹣falsex+false=1+false，∴（x﹣false）2=false．选D．
【小结】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1，一次项的系数是2的倍数．
变式2．用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（　　）
A．（x+false）2＝false B．（x+false）2＝false
C．（x+3）2＝10 D．（x+3）2＝8
【分析】把常数项1移项后，在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，由此即可求得答案.
【解析】∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+(false)2＝﹣1+(false)2，
即(x+false)2＝false，
选B．
【小结】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
变式3．用配方法解方程false，变形结果正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】将原方程二次项系数化为１后用配方法变形可得结果．
【解析】根据配方法的定义,将方程false的二次项系数化为1, 得：
false，配方得false，
即:false．选Ｄ．
【小结】本题主要考查用配方法解一元二次方程．
变式4．用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中，变形正确的是（??? ）
A．2（x-1）2=1 B．2（x-1）2=5 C．（x-1）2=false D．（x-2）2=false
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以2，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得答案.
【解析】2x2-4x-2=1，
?2x2-4x=3，
x2-2x=false，
x2-2x+1=false+1，
false ，选C.
【小结】考查配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.
命题角度二 利用直接开平方法解一元二次方程
例题2．方程（x+1）2＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.
【解析】(x+1)2＝0，解: x+1=0，所以x1＝x2＝﹣1，选B
【小结】考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.
变式1．方程false的解是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【解析】false，故x－2＝3或x－2＝－3，解得：x1＝5，x2＝－1，故答案选A.
【小结】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.
变式2．一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
【解析】将(x+6)2=16两边开平方，得x+6=±4，则则另一个一元一次方程是x+6=-4。选D。
变式3．解方程false的最适当方法应是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【分析】把方程false，两边开方得到false，然后解两个一元一次方程即可．
【解析】方程false的最适当方法应是直接开平方法，选A.
【小结】考查一元二次方程的解法，观察方程选择合适的方法是解题的关键.
变式4．解方程：4(x+3)2=25(x-2)2
【解析】4(x+3)2=25(x-2)2，
开方得：2(x+3)=±5(x-2)，
解得：x1＝false，x2＝false
【小结】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
命题角度三 利用公式法法解一元二次方程
例题3． x=false是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.
【解析】一元二次方程的求根公式是false，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D
【小结】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.
变式1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　）
A．false，false，false B．false，false，false
C．false，false，false D．false，false，false
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【解析】∵-4x2+3=5x，∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0
∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3，选B．
【小结】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．
变式2．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（　　）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定
【分析】根据求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.
【解析】∵△=b2﹣4ac=0，∴4﹣4m=0，解得：m=1，
∴原方程可化为：x2+2x+1=0，
∴（x+1）2=0，∴x1=x2=﹣1．选C．
【小结】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
变式3．方程false的解为（ ）
A．5 B．-2
C．5和-2 D．以上结论都不对
【解析】∵（x-5）（x+2）=1，
∴x2-3x-11=0，
∵a=1，b=-3，c=-11，
∴x=false，选D.
【小结】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，当，注意△≥0时，false.
变式4．关于false的方程false的一个根是false，则它的另一个根false是（ ）
A．3 B．false C．false D．false
【分析】先将false代入方程false，求出m的值；再解一元二次方程组求出另一个根false即可.
【解析】将false代入方程false，得false，解得：false
将false代入原方程：false
方法一：解方程组，得：false，false
方法二：根据根与系数的关系：false 可知：false
∴false
false
选C
【小结】本题为考查解一元二次方程的变式题，稍有难度，熟练掌握一元二次方程求解的几种方法是解答本题的关键.
命题角度四 利用因式分解法解一元二次方程
例题4．一元二次方程false的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【分析】先移项得到false，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.
【解析】false
false
false
false
false,
选D.
变式1．方程false的根是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2
【解析】x（x+2）=0，
?x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=-2．
选C．
变式2．方程x2+x-12=0的两个根为（　　）
A．x1=-2，x2=6 B．x1=-6，x2=2 C．x1=-3，x2=4 D．x1=-4，x2=3
【解析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），
解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．
x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，
则x+4=0，或x﹣3=0，
解得：x1=﹣4，x2=3．
变式3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．false，∴false或false
B．false，∴false或false
C．false，∴false或false
D．false，∴false
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
【解析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
所以第一个正确，
选A．
【小结】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．
变式4．已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．11或13 C．11 D．12
【解析】x2-8x+15=0，
分解因式得：（x-3）（x-5）=0，
可得x-3=0或x-5=0，
解得：x1=3，x2=5，
若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，
周长为3+5+5=13；
若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，
周长为3+3+5=11，
综上，△ABC的周长为11或13．
选B.
命题角度五 利用换元法法解一元二次方程
例题5. 已知false，则false的值是（ ）
A．－2 B．3 C．－2或3 D．－2且3
【解析】根据题意，先移项得false，
即false，然后根据“十字相乘法”可得false ，由此解得false=-2（舍去）或false，选B.
【小结】此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.
变式1．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.
【解析】将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得
12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0
对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得2x+3=1或﹣3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3
选D.
【小结】此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.
变式2．若实数x、y满足false，则x+y的值为（ ）
A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2；
【解析】t=x+y，则由原方程，得t（t-3）+2=0，
整理，得（t-1）（t-2）=0．
解得t=1或t=2，
所以x+y的值为1或2．
选D．
命题角度六 韦达定理
例题6．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【解析】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
选B ．
【小结】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣false、两根之积等于false是解题的关键．
变式1．关于x的一元二次方程false的两实数根分别为false、false，且false，则m的值为（ ）
A．false B．false C．false D．0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【解析】∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=false，
把x2=false代入x2-4x+m=0得：（false）2-4×false+m=0，
解得：m=false，
选A．
【小结】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-false，x1?x2=false是解题的关键．
变式2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣false，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
选C．
【小结】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣false、两根之积等于false是解题的关键．
变式3．若false，false是关于false的一元二次方程false的两实根，且false，则false等于（　　）
A．false B．false C．2 D．3
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到false，false，再化简false，代入即可求解；
【解析】false，false是关于false的一元二次方程false的两实根，
∴false，false，
∵false，
∴false；
选B.
【小结】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
变式4．已知关于false的一元二次方程false的两个实数根的平方和为false，那么false的值是（　　）
A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或1
【分析】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，根据方程根与系数的关系可知x1、x2的和与积，列出方程即可求出m的值.
【解析】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，
∵x1、x2，是方程x2-mx+2m-1=0的两个根，
∴x1+x2=m，x1falsex2=2m-1，
∴（x1+x2）2= x12+x22+2 x1falsex2=m2，
∴m2-2(2m-1)-7=0，
解得：m=5或m=-1，
∵方程false有两个实数根，
∴（- m）2-4（2 m -1）= m 2-8 m+4≥0，
解得m≥4+2false 或m≤4-2false．
∴m=5舍去，m=-1，
选B.
【小结】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键.
1259840011506200讲次03 一元二次方程与实际问题
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
实际问题的解题思路
命题角度一 传播问题
例题1. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【小结】考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
变式1． “埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
【分析】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）将x=10代入（x+1）3中即可求出结论．
【解析】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得（x+1）2=121
解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
（2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331．
答：经过三轮后将有1331人受到感染．
【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．某人参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，问：共有多少人参加了同学聚会？
【分析】先设有x人参加聚会，根据每两人都握手一次手，所有人共握手45次，列出代数式，求出x的值，再根据x只能取正数，即可得出答案．
【解析】有x人参加了同学聚会，
根据题意得：false x（x﹣1）＝45，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去），
答：有10人参加了同学聚会．
【小结】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，并且要根据实际情况选择合适的答案.
命题角度二 增长率问题
例题2某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【解析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【小结】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
变式1．2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【分析】
（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
【解析】
（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：false
解得false
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为false ．
（2）false ，
false
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
【解析】
（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．
试题解析：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）（1+x）万元．
则2500（1+x）（1+x）=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．
命题角度三 图形有关的问题
例题3．如图，有一块矩形硬纸板，长false，宽false．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为false？
【分析】设剪去正方形的边长为false，则做成无盖长方体盒子的底面长为false，宽为false，高为false，根据长方体盒子的侧面积为false，即可得出关于false的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设剪去正方形的边长为false，则做成无盖长方体盒子的底面长为false，宽为false，高为false，
依题意，得： false，
整理，得： false，解得： false，false，
当false时，false，不合题意，舍去，
∴false，
答：当剪去正方形的边长为falsecm时，所得长方体盒子的侧面积为false．
【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式1．园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【解析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
变式2．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
【分析】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
【解析】设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【小结】二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键.
命题角度四 数字问题
例题4．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【解析】
设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
变式1．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
【解析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为false．
由题意得；false
解得： false
当false时，周瑜的年龄false岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当false时，周瑜年龄为false岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为false岁．
【小结】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．
变式2．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【解析】设个位数字为false，则十位数字为false.
false
得false，false
∴这个两位数为36或63.
【小结】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．