中考数学复习专题——圆的综合知识命题角度学案（附答案，共6个专题）
文档属性
| 名称 | 中考数学复习专题——圆的综合知识命题角度学案（附答案，共6个专题） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-23 21:41:13 | ||
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文档简介
讲次1 圆
知识点一 圆的基础概
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
圆心；
半径，
其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
考察题型一 圆的基本概念
例题1．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，
选A．
变式1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
变式2．在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；
根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，故④正确；
长度相等的两条弧不一定能够重合，故⑤错误．
选C．
命题角度二 求图中弦的条数
例题2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据弦的定义进行提示，从而得到答案．
【解析】图中的弦有AB，BC，CE共三条，
选B．
【小结】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．
变式1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据弦的定义解答即可．
【解析】图形中有弦AB和弦CD，共2条，
选B．
【小结】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
命题角度三 圆的周长和面积
例题3．如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】用大圆的面积减去两小圆面积即可.
【解析】阴影部分面积为false=false
选C.
【小结】此题主要考查整式的乘法公式，解题的关键是熟知圆的面积求法.
变式1．如图4，在false中，false，false．将其绕false点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．
【解析】圆环的面积为πAB2-πBC2，=π（AB2-BC2），=πAC2，=32π，=9π．
选C．
变式2．如图，两个半径都为1的圆形纸片，固定⊙O1，使⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，则⊙O2上的点P运动的路径长为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．无法确定
【分析】由⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长可求解．
【解析】∵⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，
∴⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长，
∴⊙O2上的点P运动的路径长＝2π（1+1）＝4π
选B．
【小结】本题考查了轨迹问题，掌握⊙O2上的点P运动的路径长=点O2运动的路径长是本题的关键．
变式3．一个圆的半径为r,圆周长为false；另一个半圆的半径为2r，半圆弧长为false,那么下列结论中，成立的是( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据圆的周长公式：false先分别计算出false和false，再判断结论即可.
【解析】根据题意得：false
false
∴false
选C.
【小结】主要考查圆的周长，熟练掌握周长公式是关键，注意题中false表示的是半圆的弧长.
变式4．如图,在大圆的直径上可以依次排列false个半径相等的圆,设大圆的周长为false,设false个小圆的周长的和为false,则false与false的数量关系正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】
根据题意知大圆的直径等于所有小圆的直径之和，根据圆周长公式即可解决．
【解析】设每个小圆的直径为false，则大圆直径为false，
而每个小圆的周长为false，
则大圆周长为false，
false个小圆的周长总和为false，
所以：false．
选B．
【小结】
本题考查了圆周长的计算，解决本题的关键是理解所有的小圆的圆心都在大圆的一条直径上，即所有小圆的直径之和等于大圆的直径．
命题角度四 同圆的半径相等
例题4．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由AD∥OC可知∠DAC=∠OCA，再由OA=OC得∠OCA=∠OAC，故可得∠OAC=∠DAC，从而得出结论．
【解析】∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC=false∠DAB=false×60°=30°，选B
【小结】本题考查的是圆的半径相等，以及平行线的性质，利用圆的半径相等构造等腰三角形是解答此题的关键．
变式1．如图，在false中，false，则劣弧false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．
【解析】连接OA，∵OA=OB，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．选A
【小结】利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．
变式2．如图所示，false为false的弦，false，则false的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解析】∵OM=ON，∴∠M=∠N=50°，∴∠MON=180°-2×50°=80°．选C．
【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
变式3．如图，false的半径等于false，如果弦false所对的圆心角等于false，那么圆心false到弦false的距离等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
【解析】过O作OD⊥AB，垂足为D,
∵OA=OB,∴∠BOD=false∠AOB=false×120°=60°,∴∠B=30°,∴OD=falseOB=false×4=2.
即圆心false到弦false的距离等于2.选C.
【小结】本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.
命题角度五 利用垂径定理求值
例题5．如图,false是⊙false的直径,弦false⊥false于点false,false,则false( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=falseCD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=false=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
选A．
【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
变式1．如图⊙O的直径false垂直于弦false，垂足是false，false，false，false的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【解析】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=falseCD，
∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，
设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=2false，即：CE=2false，∴CD=4false，选C．
变式2．如图，在⊙O中，若点C是false 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解析】false
falsefalse
∵点C是false 的中点，false，选A.
【小结】垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
变式3．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．连接OA，
∵OC⊥AB，∴AC=falseAB=3cm，∴OC=false=4.
选B．
变式4．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
【分析】
连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解析】
连接OA，
∵OD⊥AB，∴AD=falseAB=4，
由勾股定理得，OA=false=5，
选C．
【小结】
本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
命题角度六 利用垂径定理求平行弦问题
例题6．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2false，CD=1，则BE的长是false false
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】五
∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=false AB=false
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(false )2，解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6
选B
【小结】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
变式1．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
【解析】如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=falseAB=falsefalse24=12,
CF=falseCD=falsefalse10=5,
OE=false=false=5,
OF=false=false=12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
选C.
【小结】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
命题角度七 垂径定理推论
例题7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )
A．M B．P C．Q D．R
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【解析】作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心，选C
【小结】考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
变式1．如图，在false中，false是直径，false是弦，false，垂足为false，则下列说法中正确的是（ ）
A．false B．点false是劣弧false的中点 C．false D．false是false弧中点
【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.
【解析】A. ∵ADB. ∵false，∴ 点false是劣弧false的中点，故正确；
C.OE与EB不一定相等，故不正确；
D. ∵CD不过圆心，∴ false不是false弧中点，故不正确；选B.
【小结】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.
变式2．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】由圆心角、弧、弦的关系，可知等弧所对的弦相等；由垂径定理的推论可知：平分（非直径的）弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；注意不要少条件：在同圆或等圆中.
【解析】A. 等弧所对的弦相等；故本选项正确；
B. 平分(非直径的)弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；故本选项错误；
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故本选项错误；
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故本选项错误.选A.
【小结】考察垂径定理及其推论与圆心角、弧、弦、弦心距关系运用，关键需掌握相关概念.
命题角度八 垂径定理的实际应用
例题8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知false，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
选B．
【小结】考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式1．如图，将半径为false的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心false，则折痕false的长为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【解析】过点false作false，
由垂径定理，可得false，
连接false，由勾股定理可得false，
所以false，选C
变式2．绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【解析】
连接OA，根据垂径定理可得AB=2AD，
根据题意可得：OA=5m，OD=CD－OC=8－5=3m，
根据勾股定理可得：AD=4m，则AB=2AD=2×4=8m.
变式3．如图，圆弧形拱桥的跨径false米，拱高false米，则拱桥的半径为（ ）米
A．false B．false C．false D．false
【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．
根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，
根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
变式4．两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．8π B．4π C．64π D．16π
【解析】如图，设AB与小圆切于点C，连结OC，OB.
∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，false
∵阴影的面积false
又∵直角△OBC中, false
∴阴影的面积false选D
讲次02 圆心角与圆周角
知识点一 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
知识点二 圆周角定理（考点）
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
知识点三 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
命题角度一 利用弧、弦、圆心角关系求解
例题1．如图，AB是⊙O的直径，false=false=false，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【解析】如图，在⊙ O中，
∵false，∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，∴∠AEO=∠A=false.
选A.
变式2．如图，在⊙O中，false＝false，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【解析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．∵在⊙O中， =?，∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=false∠AOC=20°，选C．
变式2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【解析】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=falseBO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故false的度数是150°．
变式3．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
【解析】∵D,C是劣弧EB的三等分点,∴∠BOE=3∠BOC=120°，∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
命题角度二 利用弧、弦、圆心角关系求证
例题2．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.
求证：⑴AD=BC； ⑵AE=CE.
【分析】（1）由AB=CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，据此可得答案；
（2）由AD=BC知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】证明（1）∵AB=CD，∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，∴AD=BC；
（2）∵AD=BC，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【小结】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
变式1．如图，A，B，C是⊙O 上的点，AC＝BC，OD＝OE．求证：CD＝CE．
【分析】根据AC＝BC，得出∠AOC=∠BOC，再根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【解析】证明：连接OC
∵ AC=BC∴ ∠AOC=∠BOC
在△OCD和△OCE中，OD=OE∠COD=∠COEOC=OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS）
∴ CD=CE
【小结】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
变式2．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且弧AC与弧BD相等，问AE与BF相等吗？为什么？
【分析】
欲证AE与BF相等，先知OE、OF关系．连接OC、OD，证明△OCE≌△ODF即可．
【解析】AE=BD因为：连接OC、OD
∴弧AC与弧BD相等∴∠COE=∠DOF又CE⊥AB，DF⊥AB，OC=OD
∴△OCE≌△ODF∴OE=OF∴AE=BF．
【小结】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
命题角度三 圆心角的对数与它所对弧的对数相等
例题3．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【分析】在⊙O取点D，连接AD,BD. 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【解析】
如图，在⊙O取点D，连接AD,BD.
∵四边形ACBD为⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADB=180°,
∵∠ACB=100°, ∴∠D=80°, ∴∠AOB=160°. ．
选A
【小结】
本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
变式1．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20° B．30° C．40° D．80°
【解析】∵BE=DE，∠B=40°，∴∠D＝∠B＝40°，
又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，∴∠A＝∠D＝40°；选C。
变式2．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【解析】∵将AB旋转n°得到CD，∴AB=CD，∴∠DOC=∠AOB=25°选A．
变式3．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
【解析】由题意可得：AB=AC，
∵∠ABC=65°，∴∠ACB=65°，∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，选C．
【小结】本题考查圆心角、弧、弦的关系．
命题角度四 圆周角的概念
例题4．如图，把一个蛋糕分成8等分，每份中的角度为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【分析】把圆形蛋糕等分成8份，相当于把周角分成8份，故可以计算出每个角的度数．
【解析】∵周角的度数是360°，∴每份角的度数为360°8=45°．选C．
【小结】本题考查了周角的概念，题目难度小，关键是能够将实际问题转化为几何问题．
变式1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
试题提示：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．选C．
变式2．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【解析】
∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．选B．
命题角度五 圆周角定理
例题5．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.
选D．
【小结】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
变式1．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【解析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°，选D．
【小结】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
变式2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO=22.5?，OC=6，则CD的长为( )
A．62 B．32 C．6 D．12
【分析】先根据垂径定理得到CE=DE，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=45?，可得false为等腰直角三角形，所以CE=22OC=32，从而得到CD的长．
【解析】∵CD⊥AB，AB为直径，∴CE=DE，
∵∠BOC和∠A分别为BC所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=2×22.5?=45?，∴false为等腰直角三角形，
∵OC=6，∴CE=22OC=22×6=32，∴CD=2CE=62，选A．
【小结】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
变式3．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．52cm C．53cm D．6cm
【分析】
首先连接EC，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠E=∠B，又由AE是⊙O的直径与∠B=∠EAC，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACE=90°，∠E=45°，然后利用三角函数中的正弦，即可求得AC的长．
【解析】连接EC，
∵∠E与∠B是AC对的圆周角，∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，∴AC=AE?sin45°=10×22=52（cm）．∴AC的长为52cm．
选B.
【小结】
此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
变式4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．
【解析】∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，选D．
【小结】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC=40°．
变式5．如图，∠AOB=110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°
【分析】在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理，即可求得∠C度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．
【解析】如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=110°，∴∠ACB=12∠AOB=55°，∴∠ADB=180°-∠ACB=125°．
∴弦AB所对的圆周角为：55°或125°. 选C.
【小结】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意在圆周中，弦所对的圆周角有两类且互补．熟练掌握圆周角定理是解题关键.
命题角度六 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题6．如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的∠ABD的大小.
【解析】连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°．
选B．
【小结】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
变式1．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
【解析】∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=40°；∴∠B=∠C=40°；
选C．
变式2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是false false
A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【解析】∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，∴∠C=12∠BOD．
选B．
【小结】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式3．如图，false是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．false C．false D．∠D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【解析】∵∠A与∠D都是BC所对的圆周角，∴∠D=∠A．选D．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【解析】①∵AB是O的直径，∴∠ADB=90?， ∴AD⊥BD，
②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，
③∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，
④∵AB是O的直径，∴∠ADB=90?， ∴AD⊥BD，
∵OC∥BD， ∴∠AFO=90?， ∵点O为圆心，∴AF=DF，
⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，
选D.
变式5．如图，点A，B，C，D都在半径为3的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．false B．3false C．3 D．2false
【分析】如图，先根据垂径定理得到弧AC＝弧AB，CE=BE，再根据圆周角定理得到∠AOB=60°，然后在Rt△OBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BE，从而得到BC的长．
【解析】设OA交BC于E，如图，
∵OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB，CE＝BE，∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBE中，OE＝falseOB＝false，∴BE＝falseOE＝false，∴BC＝2BE＝3false．
选B．
命题角度七 半圆所对的圆周角是直角
例题7．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
选B．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90?，
∵∠CAB=55?， ∴∠B=35?， ∴∠ADC=∠B=35?.
选C.
【小结】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
变式2．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
A．58° B．60° C．64° D．68°
【分析】根据OA=OC，根据等边对等角得到∠C=∠OAC=32?,根据BC是直径，得到∠CAB=90?,根据直角三角形的性质即可求得∠B的度数.
【解析】∵false均为半径，∴OA=OC，∴∠C=∠OAC=32?,
∵BC是直径，∴∠CAB=90?,
在△ABC中，∠B=90?-∠C=58?.
选A.
【小结】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
变式3．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）
A．58 B．78 C．710 D．45
【分析】连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO=45 .
【解析】如图，连接AD．
∵OD是直径，∴∠OAD=90o，
∵∠AOB+∠AOD=90o,∠AOD+∠ADO=90o，∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45.
选D．
【小结】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
变式4．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【解析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得∠B的度数：
∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．
选C．
变式5．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
选B．
命题角度八 已知圆内接四边形求角度
例题8．如图，四边形false是半圆的内接四边形，false是直径，false．若false，则false的度数等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵false，∴∠CAB=false∠DAB=35°，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
选A．
变式1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．50°
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，选A．
变式2．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
【解析】
根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，
则3x+6x=180°，解得：x=20°，则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°.
选C
1264920011531600讲次03 点与圆的位置关系
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
知识点四 反证法
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
命题角度一 判断点与圆的位置关系
例题1．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．
【解析】∵OA=false，∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=false＞OA，所以点H在⊙O外，选A．
【小结】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
变式1．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【解析】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
选B.
变式2．矩形ABCD中，AB＝8，false，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
【解析】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD=false=7，
PC=false=9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,选C．
【小结】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
变式3．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】点在圆内，点到圆心的距离小于半径．选A．
变式4．已知，⊙O半径为5，圆心O为坐标原点，点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【解析】∵点P的坐标为（4，3）∴OP=false=5
∵⊙O半径为5，∴点P在⊙O上．
选B．
考察题型二 利用点和圆的位置关系求半径
例题2．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【解析】false点false在半径为false的false内，falsefalse小于false，
而false，falsefalse.
选false.
【小结】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
变式1．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2false＜r＜false B．false＜r＜3false C．false＜r＜5 D．5＜r＜false
【解析】给各点标上字母，如图所示．
AB=false=false，AC=AD=false=false，AE=false=false，AF=false=false，AG=AM=AN=false=5，∴false时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．选B．
变式2．平面内有一点false到圆上最远的距离是false，最近的距离是false，则圆的半径是（ ）
A．false B．false C．false或false D．false
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【解析】∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6?2＝4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是6＋2＝8，半径为4，选C．
【小结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
变式3．已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )
A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm
【解析】点到圆心的距离为d，圆半径为r：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内.
由题意得∵P为线段OA的中点∴
选B.
变式4．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【解析】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
命题角度三 作图（确定圆心）
例题3．如图2，在平面直角坐标系中，点false的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、false），则false外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．选D．
变式1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
选C．
变式2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．选A．
【小结】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
命题角度四 求三角形外心坐标
例题4．过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【分析】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：false，解得r=false，
因此圆心的纵坐标为false，因此圆心的坐标为（4，false）.
选A
变式1．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
【分析】
△ABC的外接圆的圆心是其三边垂直平分线的交点，要求它的坐标，先要在图形中找到这一点；在具体作△ABC的外心时，由于BC的垂直平分线就是一条网格线，AB的垂直平分线是以线段AB为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线，故只需作边AB和BC的垂直平分线即可，其交点就是△ABC的外心；确定外心的位置后，即可过外心分别向x轴、y轴作垂线，其垂足所对应的实数即为外心的坐标.
【解析】∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在边BC的垂直平分线上，又在边AB的垂直平分线上，
∴三角形的外接圆圆心的坐标为（5，2），选B.
【小结】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质.
命题角度五 求特殊三角形外接圆半径
例题5．三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先解方程，根据三角形的三边关系可知x=10：三边分别为6、8、10，是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径.
【解析】
x2-12x+20=0，
（x-2）（x-10）=0，
∴x=10或2，
当x=2时，2+6=8，不符合题意，
∴x=10，
当第三边为10时，因为62+82=102，
此三角形是直角三角形，如图1，
此三角形的外接圆的直径为最大边10，
则此三角形的外接圆半径为5，
选B．
【小结】本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确三边垂直平分线的交点即是三角形外接圆的圆心，熟记特殊三角形的外接圆与外心：直角三角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心．
变式1．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2falsecm B．4falsecm C．6falsecm D．8falsecm
【解析】过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R，∴BD=cos∠OBC×OB=falseR，BC=2BD=falseR．∵BC=12，∴R=false=false．选B．
变式2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【解析】已知∠C=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其外接圆的半径为5．选B.
变式3．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
【分析】分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
【解析】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=false 因此这个三角形的外接圆半径为10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
选B．
命题角度六 已知三角形外心判断三角形形状
例题6．如图，已知false是false的外接圆，false的半径为5，false，则false为false false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据等边三角形的性质求出false的度数，再根据圆周角定理求出false的度数．
【解析】false是false的外接圆，false的半径为5，false，false是等边三角形，
false，false，选D．
【小结】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
变式1．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1 C．DB＝falseAB D．点C是△ABD的外心
【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可．
【解析】由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝falseAB，故C正确，∴sin2A+cos2D＝false，故B错误，选B．
【小结】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式2．如图，O是false的外心，则false false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据等腰三角形的性质得到false，根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】如图，
false，false，
同理，false，false，
false，false，
选C．
【小结】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
变式3．如果一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【解析】∵一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，
∴外心在这边的中垂线上，∴这个三角形是等腰三角形，
选C．
变式4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则△ABC的最大面积为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．12
【分析】根据圆周角定理得到AB是⊙O的直径，由S△ABC=falseAB?AB边上的高，于是得到当AB边上的高最大时，△ABC的面积最大，于是得到结论．
【解析】在△ABC中，∠C=90°，
∴AB是⊙O的直径．
设AB边上的高为h，∴S△ABC=falseAB?h，
∴当h最大时，△ABC的面积最大，
∴当h=4时，三角形的面积最大，
∴△ABC的最大面积为false=16．
选C．
命题角度七 判断三角形外接圆的圆心位置
例题7．如图，将false放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖false，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是false false
A．false B．false C．2 D．false
【分析】根据题意得出false的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解析】如图所示：
点O为false外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：false．
选A．
【小结】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
变式1．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是false外接圆的圆心，据此可得出答案．
【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是false外接圆的圆心，而false外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
选B．
【小结】本题主要考查三角形外接圆，掌握三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键．
变式2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ）
A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定
【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．
【解析】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，
∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．
选C．
【小结】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
变式3．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，false、false、false、false、false、false均是正六边形的顶点．则点false是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【解析】因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
选D．
命题角度八 用反证法证明命题
例题8．用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【解析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
【解析】有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，选A．
【小结】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．
变式1．要说明命题“若 false > false，则 false>false”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【解析】A、a=3，b=2，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
B、a=4，b=-1，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
C、a=1，b=0；满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
D、a=-1，b=-2，满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例，选D．
【小结】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
变式2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答.
【解析】用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
选C.
【小结】此题考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
变式3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于false”时，第一步应先假设每一个内角都小于false，
选false．
变式4．对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
【解析】直线a，c的位置关系有平行和不平行两种，因而a∥c的反面是a与c不平行，
因此用反证法证明“a∥c”时，应先假设a与c不平行，
选D.
变式5．已知：在false中，false，求证：false若用反证法来证明这个结论，可以假设false false
A．false B．false C．false D．false
【解析】已知：在false中，false，求证：false若用反证法来证明这个结论，可以假设false,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以false
选C
讲次04直线与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d>r?直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r?直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d知识点二 切线的性质及判定
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
知识点三 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
命题角度一 判断直线与圆的位置关系
例题1．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切，
选B．
【小结】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【解析】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．选B．
【小结】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
变式2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【分析】首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解析】过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∴AM×BC=AC×AB，∴AM=false=false=2.4．
∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=falseBC=2.5，∴AN=MN=falseAM，∴MN=1.2．
∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．选B．
【小结】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．
变式3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，则点B到直线AC的距离等于5cm，然后根据直线与圆的位置关系判断边AC所在的直线和⊙B的位置关系．
【解析】∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm，∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴点B到直线AC的距离等于5cm，
而⊙B的半径为5cm，∴边AC所在的直线与⊙B相切．
选A．
【小结】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．
命题角度二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
例题2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )
A．r<3 B．r=3 C．r>3 D．false
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=3，∴r＞3．
选C．
【小结】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交?d＜r．
变式1．若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a＞3 C．－1 【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可.
【解析】点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心，2为半径的圆内false所以－1选C
【小结】本题考查了点与圆的位置关系,当点到圆心的距离小于半径的距离时,点在圆内.
命题角度三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
例题3．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3 C．5 D．10
【解析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径.
变式1．圆false的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心false到该直线的距离可能是（ ）
A．2.5 B．false C．5 D．6
【分析】当直线与圆相离时，可知圆心到直线的距离大于半径，于是有false；
【解析】
∵直线与圆相离，且圆false的半径为5，∴false，即false
四个选项中只有D选项符合.选D.
【小结】
本题考查直线与圆的位置关系：设false的半径为r，圆心O到直线l的距离为false直线l和false相交false直线l和false相切false直线l和false相离false．
变式2．设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A．d=m B．d>m C．d>false D．d【分析】圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当false时，直线与圆相离；当false时，直线与圆相切；当false时，直线与圆相交.
【解析】∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离，
∴d>false，选C.
变式3． false的圆心到直线false的距离为3cm，false的半径为false，将直线false向垂直于false的方向平移，使false与false相切，则平移的距离是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
【分析】
根据直线与圆的位置关系,平移使直线false与false相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米.
【解析】
如图,
当直线false向上平移至false位置时,平移距离为3-1=2厘米;
当直线false向上平移至false位置时,平移距离为3+1=4厘米.
选:D.
【小结】
本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键.
命题角度四 切线定理
例题4．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解析】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
选D．
【小结】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
变式1．如图，已知AB是false的直径，点P在BA的延长线上，PD与false相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若false的半径为4，false，则PA的长为（ ）
A．4 B．false C．3 D．2.5
【分析】连接OD，由已知易得△POD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，由PA=PO-AO即可得.
【解析】连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，
∴∠PDO=90°，
∵∠BCP=90°，
∴∠PDO=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△POD∽△PBC，
∴PO：PB=OD：BC，
即PO：（PO+4）=4：6，
∴PO=8，
∴PA=PO-OA=8-4=4，
选A.
【小结】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的关键.
变式2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4false D．4false
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解析】∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=falseCD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE=false=3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC=false，
选D．
【小结】本题考查了垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
变式3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解析】
连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
选B．
【小结】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
变式4．如图，false与false相切于点false，若false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】
连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=false∠AOB=40°．
选A．
【小结】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
命题角度五 证明某条直线是圆的切线
例题5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】
（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解析】（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．
【小结】本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
变式1．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【解析】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【小结】
此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
变式2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】
先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.
【解析】
直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
【小结】
本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
命题角度六 应用切线长定理求解
例题6．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】
先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解析】
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
选D．
【小结】
本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
选C．
【小结】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
变式2．如图，false为false的内切圆，false，false，false，点false，false分别为false，false上的点，且false为false的切线，则false的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【分析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解析】如图：
设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，
得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．
则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．
所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=11．
选C．
【小结】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
变式3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠A=25°，，若使DC切⊙O于点C，则∠D等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解析】如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD=90°.
∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=25°．
∴∠DOC=∠OCA+∠A=50°，∴∠D=180°-90°-50°=40°.
选C.
命题角度七 应用切线长定理求证
例题7．如图，△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．
（1）已知∠C＝90°．
①若BD＝6，AD＝4，则⊙O的半径r为 ，△ABC的面积为 ；
②若BD＝m，AD＝n，请用含m、n的代数式表示△ABC的面积；
（2）若false，试判断△ABC的形状，并说明理由。
【分析】
（1）①先根据切线长定理得出false，再根据勾股定理列出关于false的方程，解方程即可，再根据三角形面积公式求解即可；
②根据①中的式子代入false，利用完全平方公式和平方差公式得出false，然后根据三角形面积公式false求解即可；
（2）先把false转化成false，然后对false变形整理得到结果为false，即可证明false是直角三角形.
【解析】
（1）①连接OD、OE、OF，如图所示：
∵false是false的内切圆，D、E、F为切点，
∴false，
又∵false，
∴四边形ECFO为正方形，
∴false，
∴false，
∴false，解得：false或false（舍去），
∴false；
②∵false，
由①可知false，
对上式右边进行配方得：false，
∴false，
∴false；
（2）∵false，
∴false
false
false
false
false
false，
∴false是直角三角形.
【小结】本题主要考查三角形内切圆、切线长定理、勾股定理，关键是要运用整体思想进行式子的转化.
变式1．如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径；
（2）求证：MN＝NG．
【分析】
（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径；
（2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】
（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC=false ∠ABC，∠OCB=false∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；，
连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=false=10，
∵S△BOC=false?OB?OC=false?BC?OF，
∴6×8=10×OF，
∴OF=4.8，
∴⊙O的半径为4.8；
（2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC=false∠ABC，∠DCB=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=false（∠ABC+∠DCB）=false×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线，
∴MN=NG．
【小结】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角．
命题角度八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例题8．尺规作图：已知false，如图：
（1）求作：false的内切圆false；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若false，则false的内切圆false的半径为_______．
【分析】（1）作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过点O作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD为半径作 O即可；
（2）根据S△ABC=false?AC?BC=false?（AB+BC+AC）?r，求出r即可
【解析】
（1）
（2）∵false,∴false
∵三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半,即可求得S△ABC的内切圆的半径，
∴S△ABC=false?AC?BC=false?（AB+BC+AC）?r∴false
故答案为false.
【小结】此题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题关键在于做辅助线.
变式1．已知三角形三边长分别为6cm，8cm，10cm，求该三角形的内切圆半径．
【分析】本题首先根据三边关系判定直角三角形，其次利用切线性质证明正方形CDOE，进一步利用HL证明三角形全等推出BE=BF，AD=AF，最后通过边长关系求解本题．
【解析】如图所示：
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵62+82＝102，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，即CD＝CE＝R，
∵∠OEB=∠OFB=90°，OE=OF，OB=OB，
∴△OBE≌△OBF(HL)，
∴同理：△OAD≌△OAF(HL)，
∴AD=AF，BE=BF，
∴AC﹣CD＝AB﹣BF，BC﹣CE＝AB﹣AF
即6﹣R＝10﹣BF ①；8﹣R＝BF ②，
①②联立得，R＝2．
故内切圆半径为2cm．
【小结】
本题考查三角形的内切圆，解题核心在于画图，其次需要熟练运用切线、正方形性质、全等的判定，最后注意计算细心．
命题角度九 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例题9．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为false，腰长为false.
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少false？
【分析】
（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解
【解析】
（1）如图，过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC=50，BC=80
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得
AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝false×BC×AD＝false(AB+BC+CA)r
false×80×30＝false(50+80+50)r解得：r=falsecm ；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=false ，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=false；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．
【小结】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
变式1．已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为_____．
【解析】
过O点作OD⊥AB，
∵O是等边△ABC的内心，
∴∠OAD=30°，
∵等边三角形ABC的边长为2，
∴OA=OB，
∴AD=falseAB=1，
∴OD=AD?tan30°=false．
即这个三角形的内切圆的半径为：false．
故答案为false．
命题角度十 三角形内切圆与外切圆的综合
例题10．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false—1
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【解析】
∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2false，
∴它的内切圆半径为：R=false（2false+2false-4）=2false-2．
选B．
【小结】
本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=false（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=falsec．
变式1．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为( )
A．110° B．125° C．130° D．140°
【解析】
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°，
∴∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB=55°，
∴∠BIC=125°．
选B.
变式2．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
【分析】
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明
OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3．
【解析】
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点 O 在 AH 上，
∴OH＝r， 连接 OB，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在 Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3．
选B．
【小结】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质
讲次05 圆与圆的位置关系
知识点一 圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r?两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r?两圆外切
相交
两个圆有两个公共点．
R-r内切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r?两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【圆和圆的位置关系小结】
知识点二 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
命题角度一 圆与圆的位置关系
例题1．图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解析】
由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．选A.
变式1．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是 ( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【解析】
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=AC2+BC2=5cm，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，
又∵1+4=5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
选A．
变式2．如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【分析】
由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解析】
∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
选D．
变式3．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别是方程x2-6x+8=0的两根，且O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．内含 D．外切
【分析】
解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．圆心距<两个半径和，说明两圆相交.
【解析】
解方程x2-6x+8=0得：x1=2，x2=4，
∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6，∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1．∴⊙O1与⊙O2相交．
选A．
【小结】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，关键解出两圆半径．
变式4．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围为（ ）
A．-2≤a≤2 B．-2【分析】已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a-0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜大圆半径-小圆半径．
【解析】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，
因为两圆内含时，圆心距＜5-3，即|a|＜2，解得-2＜a＜2．
选B．
【小结】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
变式5．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1直径为9cm，⊙O2直径为4cm，则O1O2长为（ ）
A．5cm或13cm B．2.5cm
C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm
【分析】
根据外切时，圆心距等于两圆的半径之和，内切时，圆心距等于大圆的半径减去小圆的半径进行解答即可．
【解析】
∵⊙O1的直径为9cm，⊙O2的直径为4cm，
∴⊙O1的半径为4.5cm，⊙O2的半径为2cm，
当两圆外切时，O1O2=4.5+2=6.5cm；
当两圆内切时，O1O2=4.5?2=2.5cm，
选D．
【小结】
本题考查的是圆与圆的位置关系，两圆外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R?rr）分别表示两圆的半径．
变式6．两圆的圆心都是O，半径分别为r1，r2（r1 A．大圆外 B．小圆内 C．大圆内，小圆外 D．无法确定
【分析】根据OP＞r1，可以确定点P在小圆外；OP＜r2，可以确定点P在大圆内．
【解析】∵OP＞r1，∴点P在小圆外；
∵OP＜r2，∴点P在大圆内．
选C．
【小结】
本题考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离确定点P的位置是解题关键．
命题角度二 已知圆内接四边形求角度
例题2．如图，四边形ABCD内接于⊙
知识点一 圆的基础概
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
圆心；
半径，
其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
考察题型一 圆的基本概念
例题1．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，
选A．
变式1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
变式2．在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；
根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，故④正确；
长度相等的两条弧不一定能够重合，故⑤错误．
选C．
命题角度二 求图中弦的条数
例题2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据弦的定义进行提示，从而得到答案．
【解析】图中的弦有AB，BC，CE共三条，
选B．
【小结】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．
变式1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据弦的定义解答即可．
【解析】图形中有弦AB和弦CD，共2条，
选B．
【小结】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
命题角度三 圆的周长和面积
例题3．如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】用大圆的面积减去两小圆面积即可.
【解析】阴影部分面积为false=false
选C.
【小结】此题主要考查整式的乘法公式，解题的关键是熟知圆的面积求法.
变式1．如图4，在false中，false，false．将其绕false点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．
【解析】圆环的面积为πAB2-πBC2，=π（AB2-BC2），=πAC2，=32π，=9π．
选C．
变式2．如图，两个半径都为1的圆形纸片，固定⊙O1，使⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，则⊙O2上的点P运动的路径长为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．无法确定
【分析】由⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长可求解．
【解析】∵⊙O2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，
∴⊙O2上的点P运动的路径长＝点O2运动的路径长，
∴⊙O2上的点P运动的路径长＝2π（1+1）＝4π
选B．
【小结】本题考查了轨迹问题，掌握⊙O2上的点P运动的路径长=点O2运动的路径长是本题的关键．
变式3．一个圆的半径为r,圆周长为false；另一个半圆的半径为2r，半圆弧长为false,那么下列结论中，成立的是( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据圆的周长公式：false先分别计算出false和false，再判断结论即可.
【解析】根据题意得：false
false
∴false
选C.
【小结】主要考查圆的周长，熟练掌握周长公式是关键，注意题中false表示的是半圆的弧长.
变式4．如图,在大圆的直径上可以依次排列false个半径相等的圆,设大圆的周长为false,设false个小圆的周长的和为false,则false与false的数量关系正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】
根据题意知大圆的直径等于所有小圆的直径之和，根据圆周长公式即可解决．
【解析】设每个小圆的直径为false，则大圆直径为false，
而每个小圆的周长为false，
则大圆周长为false，
false个小圆的周长总和为false，
所以：false．
选B．
【小结】
本题考查了圆周长的计算，解决本题的关键是理解所有的小圆的圆心都在大圆的一条直径上，即所有小圆的直径之和等于大圆的直径．
命题角度四 同圆的半径相等
例题4．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由AD∥OC可知∠DAC=∠OCA，再由OA=OC得∠OCA=∠OAC，故可得∠OAC=∠DAC，从而得出结论．
【解析】∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC=false∠DAB=false×60°=30°，选B
【小结】本题考查的是圆的半径相等，以及平行线的性质，利用圆的半径相等构造等腰三角形是解答此题的关键．
变式1．如图，在false中，false，则劣弧false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．
【解析】连接OA，∵OA=OB，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．选A
【小结】利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．
变式2．如图所示，false为false的弦，false，则false的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解析】∵OM=ON，∴∠M=∠N=50°，∴∠MON=180°-2×50°=80°．选C．
【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
变式3．如图，false的半径等于false，如果弦false所对的圆心角等于false，那么圆心false到弦false的距离等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
【解析】过O作OD⊥AB，垂足为D,
∵OA=OB,∴∠BOD=false∠AOB=false×120°=60°,∴∠B=30°,∴OD=falseOB=false×4=2.
即圆心false到弦false的距离等于2.选C.
【小结】本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.
命题角度五 利用垂径定理求值
例题5．如图,false是⊙false的直径,弦false⊥false于点false,false,则false( )
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=falseCD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=false=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
选A．
【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
变式1．如图⊙O的直径false垂直于弦false，垂足是false，false，false，false的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【解析】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=falseCD，
∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，
设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=2false，即：CE=2false，∴CD=4false，选C．
变式2．如图，在⊙O中，若点C是false 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解析】false
falsefalse
∵点C是false 的中点，false，选A.
【小结】垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
变式3．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．连接OA，
∵OC⊥AB，∴AC=falseAB=3cm，∴OC=false=4.
选B．
变式4．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
【分析】
连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解析】
连接OA，
∵OD⊥AB，∴AD=falseAB=4，
由勾股定理得，OA=false=5，
选C．
【小结】
本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
命题角度六 利用垂径定理求平行弦问题
例题6．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2false，CD=1，则BE的长是false false
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】五
∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=false AB=false
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(false )2，解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6
选B
【小结】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
变式1．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
【解析】如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=falseAB=falsefalse24=12,
CF=falseCD=falsefalse10=5,
OE=false=false=5,
OF=false=false=12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
选C.
【小结】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
命题角度七 垂径定理推论
例题7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )
A．M B．P C．Q D．R
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【解析】作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心，选C
【小结】考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
变式1．如图，在false中，false是直径，false是弦，false，垂足为false，则下列说法中正确的是（ ）
A．false B．点false是劣弧false的中点 C．false D．false是false弧中点
【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.
【解析】A. ∵AD
C.OE与EB不一定相等，故不正确；
D. ∵CD不过圆心，∴ false不是false弧中点，故不正确；选B.
【小结】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.
变式2．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】由圆心角、弧、弦的关系，可知等弧所对的弦相等；由垂径定理的推论可知：平分（非直径的）弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；注意不要少条件：在同圆或等圆中.
【解析】A. 等弧所对的弦相等；故本选项正确；
B. 平分(非直径的)弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；故本选项错误；
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故本选项错误；
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故本选项错误.选A.
【小结】考察垂径定理及其推论与圆心角、弧、弦、弦心距关系运用，关键需掌握相关概念.
命题角度八 垂径定理的实际应用
例题8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知false，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
选B．
【小结】考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式1．如图，将半径为false的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心false，则折痕false的长为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【解析】过点false作false，
由垂径定理，可得false，
连接false，由勾股定理可得false，
所以false，选C
变式2．绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【解析】
连接OA，根据垂径定理可得AB=2AD，
根据题意可得：OA=5m，OD=CD－OC=8－5=3m，
根据勾股定理可得：AD=4m，则AB=2AD=2×4=8m.
变式3．如图，圆弧形拱桥的跨径false米，拱高false米，则拱桥的半径为（ ）米
A．false B．false C．false D．false
【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．
根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，
根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
变式4．两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．8π B．4π C．64π D．16π
【解析】如图，设AB与小圆切于点C，连结OC，OB.
∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，false
∵阴影的面积false
又∵直角△OBC中, false
∴阴影的面积false选D
讲次02 圆心角与圆周角
知识点一 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
知识点二 圆周角定理（考点）
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
知识点三 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
命题角度一 利用弧、弦、圆心角关系求解
例题1．如图，AB是⊙O的直径，false=false=false，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【解析】如图，在⊙ O中，
∵false，∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，∴∠AEO=∠A=false.
选A.
变式2．如图，在⊙O中，false＝false，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【解析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．∵在⊙O中， =?，∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=false∠AOC=20°，选C．
变式2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【解析】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=falseBO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故false的度数是150°．
变式3．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
【解析】∵D,C是劣弧EB的三等分点,∴∠BOE=3∠BOC=120°，∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
命题角度二 利用弧、弦、圆心角关系求证
例题2．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.
求证：⑴AD=BC； ⑵AE=CE.
【分析】（1）由AB=CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，据此可得答案；
（2）由AD=BC知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】证明（1）∵AB=CD，∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，∴AD=BC；
（2）∵AD=BC，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【小结】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
变式1．如图，A，B，C是⊙O 上的点，AC＝BC，OD＝OE．求证：CD＝CE．
【分析】根据AC＝BC，得出∠AOC=∠BOC，再根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【解析】证明：连接OC
∵ AC=BC∴ ∠AOC=∠BOC
在△OCD和△OCE中，OD=OE∠COD=∠COEOC=OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS）
∴ CD=CE
【小结】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
变式2．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且弧AC与弧BD相等，问AE与BF相等吗？为什么？
【分析】
欲证AE与BF相等，先知OE、OF关系．连接OC、OD，证明△OCE≌△ODF即可．
【解析】AE=BD因为：连接OC、OD
∴弧AC与弧BD相等∴∠COE=∠DOF又CE⊥AB，DF⊥AB，OC=OD
∴△OCE≌△ODF∴OE=OF∴AE=BF．
【小结】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
命题角度三 圆心角的对数与它所对弧的对数相等
例题3．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【分析】在⊙O取点D，连接AD,BD. 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．
【解析】
如图，在⊙O取点D，连接AD,BD.
∵四边形ACBD为⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADB=180°,
∵∠ACB=100°, ∴∠D=80°, ∴∠AOB=160°. ．
选A
【小结】
本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．
变式1．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20° B．30° C．40° D．80°
【解析】∵BE=DE，∠B=40°，∴∠D＝∠B＝40°，
又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，∴∠A＝∠D＝40°；选C。
变式2．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【解析】∵将AB旋转n°得到CD，∴AB=CD，∴∠DOC=∠AOB=25°选A．
变式3．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
【解析】由题意可得：AB=AC，
∵∠ABC=65°，∴∠ACB=65°，∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，选C．
【小结】本题考查圆心角、弧、弦的关系．
命题角度四 圆周角的概念
例题4．如图，把一个蛋糕分成8等分，每份中的角度为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【分析】把圆形蛋糕等分成8份，相当于把周角分成8份，故可以计算出每个角的度数．
【解析】∵周角的度数是360°，∴每份角的度数为360°8=45°．选C．
【小结】本题考查了周角的概念，题目难度小，关键是能够将实际问题转化为几何问题．
变式1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
试题提示：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．选C．
变式2．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【解析】
∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．选B．
命题角度五 圆周角定理
例题5．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.
选D．
【小结】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
变式1．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【解析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°，选D．
【小结】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
变式2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO=22.5?，OC=6，则CD的长为( )
A．62 B．32 C．6 D．12
【分析】先根据垂径定理得到CE=DE，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=45?，可得false为等腰直角三角形，所以CE=22OC=32，从而得到CD的长．
【解析】∵CD⊥AB，AB为直径，∴CE=DE，
∵∠BOC和∠A分别为BC所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=2×22.5?=45?，∴false为等腰直角三角形，
∵OC=6，∴CE=22OC=22×6=32，∴CD=2CE=62，选A．
【小结】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
变式3．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．52cm C．53cm D．6cm
【分析】
首先连接EC，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠E=∠B，又由AE是⊙O的直径与∠B=∠EAC，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACE=90°，∠E=45°，然后利用三角函数中的正弦，即可求得AC的长．
【解析】连接EC，
∵∠E与∠B是AC对的圆周角，∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，∴AC=AE?sin45°=10×22=52（cm）．∴AC的长为52cm．
选B.
【小结】
此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
变式4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．
【解析】∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，选D．
【小结】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC=40°．
变式5．如图，∠AOB=110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°
【分析】在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理，即可求得∠C度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．
【解析】如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=110°，∴∠ACB=12∠AOB=55°，∴∠ADB=180°-∠ACB=125°．
∴弦AB所对的圆周角为：55°或125°. 选C.
【小结】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意在圆周中，弦所对的圆周角有两类且互补．熟练掌握圆周角定理是解题关键.
命题角度六 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题6．如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的∠ABD的大小.
【解析】连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵∠BCD=40°，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°．
选B．
【小结】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
变式1．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
【解析】∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=40°；∴∠B=∠C=40°；
选C．
变式2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是false false
A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【解析】∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，∴∠C=12∠BOD．
选B．
【小结】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式3．如图，false是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．false C．false D．∠D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【解析】∵∠A与∠D都是BC所对的圆周角，∴∠D=∠A．选D．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【解析】①∵AB是O的直径，∴∠ADB=90?， ∴AD⊥BD，
②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，
③∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，
④∵AB是O的直径，∴∠ADB=90?， ∴AD⊥BD，
∵OC∥BD， ∴∠AFO=90?， ∵点O为圆心，∴AF=DF，
⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，
选D.
变式5．如图，点A，B，C，D都在半径为3的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）
A．false B．3false C．3 D．2false
【分析】如图，先根据垂径定理得到弧AC＝弧AB，CE=BE，再根据圆周角定理得到∠AOB=60°，然后在Rt△OBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BE，从而得到BC的长．
【解析】设OA交BC于E，如图，
∵OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB，CE＝BE，∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBE中，OE＝falseOB＝false，∴BE＝falseOE＝false，∴BC＝2BE＝3false．
选B．
命题角度七 半圆所对的圆周角是直角
例题7．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
选B．
变式1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90?，
∵∠CAB=55?， ∴∠B=35?， ∴∠ADC=∠B=35?.
选C.
【小结】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
变式2．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
A．58° B．60° C．64° D．68°
【分析】根据OA=OC，根据等边对等角得到∠C=∠OAC=32?,根据BC是直径，得到∠CAB=90?,根据直角三角形的性质即可求得∠B的度数.
【解析】∵false均为半径，∴OA=OC，∴∠C=∠OAC=32?,
∵BC是直径，∴∠CAB=90?,
在△ABC中，∠B=90?-∠C=58?.
选A.
【小结】本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
变式3．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）
A．58 B．78 C．710 D．45
【分析】连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO=45 .
【解析】如图，连接AD．
∵OD是直径，∴∠OAD=90o，
∵∠AOB+∠AOD=90o,∠AOD+∠ADO=90o，∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45.
选D．
【小结】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
变式4．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【解析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得∠B的度数：
∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．
选C．
变式5．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
选B．
命题角度八 已知圆内接四边形求角度
例题8．如图，四边形false是半圆的内接四边形，false是直径，false．若false，则false的度数等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵false，∴∠CAB=false∠DAB=35°，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
选A．
变式1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．50°
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，选A．
变式2．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
【解析】
根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，
则3x+6x=180°，解得：x=20°，则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°.
选C
1264920011531600讲次03 点与圆的位置关系
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
知识点四 反证法
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
命题角度一 判断点与圆的位置关系
例题1．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．
【解析】∵OA=false，∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=false＞OA，所以点H在⊙O外，选A．
【小结】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
变式1．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【解析】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
选B.
变式2．矩形ABCD中，AB＝8，false，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
【解析】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD=false=7，
PC=false=9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,选C．
【小结】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
变式3．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】点在圆内，点到圆心的距离小于半径．选A．
变式4．已知，⊙O半径为5，圆心O为坐标原点，点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【解析】∵点P的坐标为（4，3）∴OP=false=5
∵⊙O半径为5，∴点P在⊙O上．
选B．
考察题型二 利用点和圆的位置关系求半径
例题2．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【解析】false点false在半径为false的false内，falsefalse小于false，
而false，falsefalse.
选false.
【小结】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
变式1．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2false＜r＜false B．false＜r＜3false C．false＜r＜5 D．5＜r＜false
【解析】给各点标上字母，如图所示．
AB=false=false，AC=AD=false=false，AE=false=false，AF=false=false，AG=AM=AN=false=5，∴false时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．选B．
变式2．平面内有一点false到圆上最远的距离是false，最近的距离是false，则圆的半径是（ ）
A．false B．false C．false或false D．false
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【解析】∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6?2＝4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是6＋2＝8，半径为4，选C．
【小结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
变式3．已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )
A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm
【解析】点到圆心的距离为d，圆半径为r：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内.
由题意得∵P为线段OA的中点∴
选B.
变式4．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【解析】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
命题角度三 作图（确定圆心）
例题3．如图2，在平面直角坐标系中，点false的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、false），则false外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．选D．
变式1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
选C．
变式2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解析】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．选A．
【小结】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
命题角度四 求三角形外心坐标
例题4．过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【分析】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：false，解得r=false，
因此圆心的纵坐标为false，因此圆心的坐标为（4，false）.
选A
变式1．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2,5) B．(5,2) C．(2,6) D．(6,2)
【分析】
△ABC的外接圆的圆心是其三边垂直平分线的交点，要求它的坐标，先要在图形中找到这一点；在具体作△ABC的外心时，由于BC的垂直平分线就是一条网格线，AB的垂直平分线是以线段AB为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线，故只需作边AB和BC的垂直平分线即可，其交点就是△ABC的外心；确定外心的位置后，即可过外心分别向x轴、y轴作垂线，其垂足所对应的实数即为外心的坐标.
【解析】∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在边BC的垂直平分线上，又在边AB的垂直平分线上，
∴三角形的外接圆圆心的坐标为（5，2），选B.
【小结】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心及坐标与图形性质.
命题角度五 求特殊三角形外接圆半径
例题5．三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先解方程，根据三角形的三边关系可知x=10：三边分别为6、8、10，是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径.
【解析】
x2-12x+20=0，
（x-2）（x-10）=0，
∴x=10或2，
当x=2时，2+6=8，不符合题意，
∴x=10，
当第三边为10时，因为62+82=102，
此三角形是直角三角形，如图1，
此三角形的外接圆的直径为最大边10，
则此三角形的外接圆半径为5，
选B．
【小结】本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确三边垂直平分线的交点即是三角形外接圆的圆心，熟记特殊三角形的外接圆与外心：直角三角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心．
变式1．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2falsecm B．4falsecm C．6falsecm D．8falsecm
【解析】过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R，∴BD=cos∠OBC×OB=falseR，BC=2BD=falseR．∵BC=12，∴R=false=false．选B．
变式2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【解析】已知∠C=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其外接圆的半径为5．选B.
变式3．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
【分析】分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
【解析】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=false 因此这个三角形的外接圆半径为10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
选B．
命题角度六 已知三角形外心判断三角形形状
例题6．如图，已知false是false的外接圆，false的半径为5，false，则false为false false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据等边三角形的性质求出false的度数，再根据圆周角定理求出false的度数．
【解析】false是false的外接圆，false的半径为5，false，false是等边三角形，
false，false，选D．
【小结】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
变式1．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1 C．DB＝falseAB D．点C是△ABD的外心
【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可．
【解析】由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝falseAB，故C正确，∴sin2A+cos2D＝false，故B错误，选B．
【小结】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式2．如图，O是false的外心，则false false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据等腰三角形的性质得到false，根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】如图，
false，false，
同理，false，false，
false，false，
选C．
【小结】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
变式3．如果一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【解析】∵一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，
∴外心在这边的中垂线上，∴这个三角形是等腰三角形，
选C．
变式4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则△ABC的最大面积为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．12
【分析】根据圆周角定理得到AB是⊙O的直径，由S△ABC=falseAB?AB边上的高，于是得到当AB边上的高最大时，△ABC的面积最大，于是得到结论．
【解析】在△ABC中，∠C=90°，
∴AB是⊙O的直径．
设AB边上的高为h，∴S△ABC=falseAB?h，
∴当h最大时，△ABC的面积最大，
∴当h=4时，三角形的面积最大，
∴△ABC的最大面积为false=16．
选C．
命题角度七 判断三角形外接圆的圆心位置
例题7．如图，将false放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖false，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是false false
A．false B．false C．2 D．false
【分析】根据题意得出false的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解析】如图所示：
点O为false外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：false．
选A．
【小结】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
变式1．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是false外接圆的圆心，据此可得出答案．
【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是false外接圆的圆心，而false外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
选B．
【小结】本题主要考查三角形外接圆，掌握三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键．
变式2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ）
A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定
【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．
【解析】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，
∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．
选C．
【小结】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
变式3．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，false、false、false、false、false、false均是正六边形的顶点．则点false是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．false B．false C．false D．false
【解析】因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
选D．
命题角度八 用反证法证明命题
例题8．用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【解析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
【解析】有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，选A．
【小结】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．
变式1．要说明命题“若 false > false，则 false>false”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【解析】A、a=3，b=2，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
B、a=4，b=-1，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
C、a=1，b=0；满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
D、a=-1，b=-2，满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例，选D．
【小结】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
变式2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答.
【解析】用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
选C.
【小结】此题考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
变式3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于false”时，第一步应先假设每一个内角都小于false，
选false．
变式4．对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
【解析】直线a，c的位置关系有平行和不平行两种，因而a∥c的反面是a与c不平行，
因此用反证法证明“a∥c”时，应先假设a与c不平行，
选D.
变式5．已知：在false中，false，求证：false若用反证法来证明这个结论，可以假设false false
A．false B．false C．false D．false
【解析】已知：在false中，false，求证：false若用反证法来证明这个结论，可以假设false,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以false
选C
讲次04直线与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d>r?直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r?直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
知识点三 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
命题角度一 判断直线与圆的位置关系
例题1．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切，
选B．
【小结】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【解析】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．选B．
【小结】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
变式2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【分析】首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解析】过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∴AM×BC=AC×AB，∴AM=false=false=2.4．
∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=falseBC=2.5，∴AN=MN=falseAM，∴MN=1.2．
∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．选B．
【小结】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．
变式3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，则点B到直线AC的距离等于5cm，然后根据直线与圆的位置关系判断边AC所在的直线和⊙B的位置关系．
【解析】∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm，∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴点B到直线AC的距离等于5cm，
而⊙B的半径为5cm，∴边AC所在的直线与⊙B相切．
选A．
【小结】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．
命题角度二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
例题2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )
A．r<3 B．r=3 C．r>3 D．false
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=3，∴r＞3．
选C．
【小结】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交?d＜r．
变式1．若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a＞3 C．－1 【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可.
【解析】点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心，2为半径的圆内false所以－1
【小结】本题考查了点与圆的位置关系,当点到圆心的距离小于半径的距离时,点在圆内.
命题角度三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
例题3．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3 C．5 D．10
【解析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径.
变式1．圆false的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心false到该直线的距离可能是（ ）
A．2.5 B．false C．5 D．6
【分析】当直线与圆相离时，可知圆心到直线的距离大于半径，于是有false；
【解析】
∵直线与圆相离，且圆false的半径为5，∴false，即false
四个选项中只有D选项符合.选D.
【小结】
本题考查直线与圆的位置关系：设false的半径为r，圆心O到直线l的距离为false直线l和false相交false直线l和false相切false直线l和false相离false．
变式2．设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A．d=m B．d>m C．d>false D．d
【解析】∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离，
∴d>false，选C.
变式3． false的圆心到直线false的距离为3cm，false的半径为false，将直线false向垂直于false的方向平移，使false与false相切，则平移的距离是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
【分析】
根据直线与圆的位置关系,平移使直线false与false相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米.
【解析】
如图,
当直线false向上平移至false位置时,平移距离为3-1=2厘米;
当直线false向上平移至false位置时,平移距离为3+1=4厘米.
选:D.
【小结】
本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键.
命题角度四 切线定理
例题4．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解析】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
选D．
【小结】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
变式1．如图，已知AB是false的直径，点P在BA的延长线上，PD与false相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若false的半径为4，false，则PA的长为（ ）
A．4 B．false C．3 D．2.5
【分析】连接OD，由已知易得△POD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，由PA=PO-AO即可得.
【解析】连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，
∴∠PDO=90°，
∵∠BCP=90°，
∴∠PDO=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△POD∽△PBC，
∴PO：PB=OD：BC，
即PO：（PO+4）=4：6，
∴PO=8，
∴PA=PO-OA=8-4=4，
选A.
【小结】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的关键.
变式2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4false D．4false
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解析】∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=falseCD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE=false=3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC=false，
选D．
【小结】本题考查了垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
变式3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解析】
连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
选B．
【小结】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
变式4．如图，false与false相切于点false，若false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】
连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=false∠AOB=40°．
选A．
【小结】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
命题角度五 证明某条直线是圆的切线
例题5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】
（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解析】（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．
【小结】本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
变式1．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【解析】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【小结】
此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
变式2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】
先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.
【解析】
直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
【小结】
本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
命题角度六 应用切线长定理求解
例题6．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】
先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解析】
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
选D．
【小结】
本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解析】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
选C．
【小结】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
变式2．如图，false为false的内切圆，false，false，false，点false，false分别为false，false上的点，且false为false的切线，则false的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【分析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解析】如图：
设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，
得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．
则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．
所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=11．
选C．
【小结】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
变式3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠A=25°，，若使DC切⊙O于点C，则∠D等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解析】如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD=90°.
∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=25°．
∴∠DOC=∠OCA+∠A=50°，∴∠D=180°-90°-50°=40°.
选C.
命题角度七 应用切线长定理求证
例题7．如图，△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．
（1）已知∠C＝90°．
①若BD＝6，AD＝4，则⊙O的半径r为 ，△ABC的面积为 ；
②若BD＝m，AD＝n，请用含m、n的代数式表示△ABC的面积；
（2）若false，试判断△ABC的形状，并说明理由。
【分析】
（1）①先根据切线长定理得出false，再根据勾股定理列出关于false的方程，解方程即可，再根据三角形面积公式求解即可；
②根据①中的式子代入false，利用完全平方公式和平方差公式得出false，然后根据三角形面积公式false求解即可；
（2）先把false转化成false，然后对false变形整理得到结果为false，即可证明false是直角三角形.
【解析】
（1）①连接OD、OE、OF，如图所示：
∵false是false的内切圆，D、E、F为切点，
∴false，
又∵false，
∴四边形ECFO为正方形，
∴false，
∴false，
∴false，解得：false或false（舍去），
∴false；
②∵false，
由①可知false，
对上式右边进行配方得：false，
∴false，
∴false；
（2）∵false，
∴false
false
false
false
false
false，
∴false是直角三角形.
【小结】本题主要考查三角形内切圆、切线长定理、勾股定理，关键是要运用整体思想进行式子的转化.
变式1．如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径；
（2）求证：MN＝NG．
【分析】
（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径；
（2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】
（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC=false ∠ABC，∠OCB=false∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；，
连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=false=10，
∵S△BOC=false?OB?OC=false?BC?OF，
∴6×8=10×OF，
∴OF=4.8，
∴⊙O的半径为4.8；
（2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC=false∠ABC，∠DCB=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=false（∠ABC+∠DCB）=false×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线，
∴MN=NG．
【小结】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角．
命题角度八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例题8．尺规作图：已知false，如图：
（1）求作：false的内切圆false；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若false，则false的内切圆false的半径为_______．
【分析】（1）作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过点O作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD为半径作 O即可；
（2）根据S△ABC=false?AC?BC=false?（AB+BC+AC）?r，求出r即可
【解析】
（1）
（2）∵false,∴false
∵三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半,即可求得S△ABC的内切圆的半径，
∴S△ABC=false?AC?BC=false?（AB+BC+AC）?r∴false
故答案为false.
【小结】此题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题关键在于做辅助线.
变式1．已知三角形三边长分别为6cm，8cm，10cm，求该三角形的内切圆半径．
【分析】本题首先根据三边关系判定直角三角形，其次利用切线性质证明正方形CDOE，进一步利用HL证明三角形全等推出BE=BF，AD=AF，最后通过边长关系求解本题．
【解析】如图所示：
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵62+82＝102，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，即CD＝CE＝R，
∵∠OEB=∠OFB=90°，OE=OF，OB=OB，
∴△OBE≌△OBF(HL)，
∴同理：△OAD≌△OAF(HL)，
∴AD=AF，BE=BF，
∴AC﹣CD＝AB﹣BF，BC﹣CE＝AB﹣AF
即6﹣R＝10﹣BF ①；8﹣R＝BF ②，
①②联立得，R＝2．
故内切圆半径为2cm．
【小结】
本题考查三角形的内切圆，解题核心在于画图，其次需要熟练运用切线、正方形性质、全等的判定，最后注意计算细心．
命题角度九 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
例题9．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为false，腰长为false.
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少false？
【分析】
（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解
【解析】
（1）如图，过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC=50，BC=80
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得
AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝false×BC×AD＝false(AB+BC+CA)r
false×80×30＝false(50+80+50)r解得：r=falsecm ；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=false ，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=false；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．
【小结】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
变式1．已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为_____．
【解析】
过O点作OD⊥AB，
∵O是等边△ABC的内心，
∴∠OAD=30°，
∵等边三角形ABC的边长为2，
∴OA=OB，
∴AD=falseAB=1，
∴OD=AD?tan30°=false．
即这个三角形的内切圆的半径为：false．
故答案为false．
命题角度十 三角形内切圆与外切圆的综合
例题10．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false—1
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【解析】
∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2false，
∴它的内切圆半径为：R=false（2false+2false-4）=2false-2．
选B．
【小结】
本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=false（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=falsec．
变式1．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为( )
A．110° B．125° C．130° D．140°
【解析】
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°，
∴∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB=55°，
∴∠BIC=125°．
选B.
变式2．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
【分析】
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明
OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3．
【解析】
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点 O 在 AH 上，
∴OH＝r， 连接 OB，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在 Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3．
选B．
【小结】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质
讲次05 圆与圆的位置关系
知识点一 圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r?两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r?两圆外切
相交
两个圆有两个公共点．
R-r
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r?两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d
【圆和圆的位置关系小结】
知识点二 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
命题角度一 圆与圆的位置关系
例题1．图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解析】
由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．选A.
变式1．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是 ( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【解析】
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=AC2+BC2=5cm，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，
又∵1+4=5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
选A．
变式2．如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【分析】
由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解析】
∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
选D．
变式3．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别是方程x2-6x+8=0的两根，且O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．内含 D．外切
【分析】
解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．圆心距<两个半径和，说明两圆相交.
【解析】
解方程x2-6x+8=0得：x1=2，x2=4，
∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6，∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1．∴⊙O1与⊙O2相交．
选A．
【小结】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，关键解出两圆半径．
变式4．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围为（ ）
A．-2≤a≤2 B．-2
【解析】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，
因为两圆内含时，圆心距＜5-3，即|a|＜2，解得-2＜a＜2．
选B．
【小结】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
变式5．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1直径为9cm，⊙O2直径为4cm，则O1O2长为（ ）
A．5cm或13cm B．2.5cm
C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm
【分析】
根据外切时，圆心距等于两圆的半径之和，内切时，圆心距等于大圆的半径减去小圆的半径进行解答即可．
【解析】
∵⊙O1的直径为9cm，⊙O2的直径为4cm，
∴⊙O1的半径为4.5cm，⊙O2的半径为2cm，
当两圆外切时，O1O2=4.5+2=6.5cm；
当两圆内切时，O1O2=4.5?2=2.5cm，
选D．
【小结】
本题考查的是圆与圆的位置关系，两圆外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R?r
变式6．两圆的圆心都是O，半径分别为r1，r2（r1
【分析】根据OP＞r1，可以确定点P在小圆外；OP＜r2，可以确定点P在大圆内．
【解析】∵OP＞r1，∴点P在小圆外；
∵OP＜r2，∴点P在大圆内．
选C．
【小结】
本题考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离确定点P的位置是解题关键．
命题角度二 已知圆内接四边形求角度
例题2．如图，四边形ABCD内接于⊙
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