2.2等差数列课件1（苏教版必修5）
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等 差 数 列
定义：按一定次序排列的一列数叫数列
（3）数列中的数是有顺序的，而数集合的数是无序的。
（2）数列中的数是可重复的，而数集中的数是互异的。
（1）数列与数集都是具有某种共同属性的 数的全体。
知识回顾
数列与数集有何区别和联系
数列
分类：项数有限的数列叫有穷数列；
项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首相），第2项，······，第n项， ······
数列分类
数列的项、首项
项数无限的数列叫做无穷数列。
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，…，an，… 简记为{an}。
{an}是一个数列，而an是数列的第n项。
{an}与 an 的区别
数列一般形式
定义：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式的定义
函数与数列的联系
数列实质： 从函数的观点看，数列可以看作是自变量取值集合是正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
x
y
n
an
自变量
函数值
课堂练习
已知数列{an}的前四项是：9 ，4， —1，……，
则数列{an}的通项公式an = ，
2. 数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中的x
等于（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
an+2= an+1+an
C
3. 已知数列{an}的前四项是：1 ，-3， 5，-7，……，
则-101在不在数列{an}中 ，
不在
14 - 5n
4. 上面几个数列,它们有没有规律
阅读课本33-34页并弄清:
1.什么样的数列是等差数列？
2.什么是等差数列的公差？
3.等差数列相邻两项与公差的关系
4.等差数列连续三项之间的关系
5.等差数列的通项公式是什么
6.等差数列的图象的特征是什么？
③推导等差数列通项公式的方法叫做 法.
递推
每一项与
它前一项的差
学习新课
㈠等差数列
如果一个数列从第2项起，
等于同一个常数.
.
. . . . .
【说明】
①数列{ an }为等差数列 ；
an+1-an=d
或an+1=an+d
d
=an+1-an
②公差是 的常数；
唯一
an=a1+(n-1)d
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
由定义归纳通项公式
a2 － a1=d，
a3 － a2=d，
a4 － a3=d，
……
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……
由此得到 a n=a1+(n－1)d
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
判定下列数列是否可能是等差数列？
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；
2. 1，1，1，1，……；
3. 1，0，1，0，1，……；
4. 0，2，3，4，5，……；
5. m, m, m, m, ……；
6. 1，11，21，31，41，…….
√
√
√
√
×
×
课堂练习
2．判断题：
①数列a，2a，3a，4a，…是等差数列（ ）
②若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3
的等差数列。 （ ）
若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数
列 （ ）
1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数，也可以是０和负数。
③
对等差数列的定义的理解
1．如果一个数列，不是从第2项起，而是
从第3项起或第4项起，每一项与它前一
项的差是同一个常数，那 么这个数列不
是等差数列．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一
项的差尽管等于常数，这个数列也不一
定是等差数列，因为这些常数不一定相
同．当这些常数不同时，此数列不是等
差数列
对等差数列的定义的理解
3．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序
d=an+1-an或d=an-an-1(n≥2)
4. 要判断一个数列是不是等差数列，只要
看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通
一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2
等有限的几个式子的值后，发现它一个
常数，就得出该数列为等差数列的结论
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，0
3
2
-6
0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
求出下列等差数列中的未知项
(1):3, a, 5;
(2):3, b, c,-9;
例1 (1 )已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1，
求证：{an}为等差数列；
(2) 已知数列{an}是等差数列，
求证：数列{an+an+1} 也是等差数列.
【小结】
①数列{ an }为等差数列 ；
②证明一个数列为等差数列的方法是 ：
.
an=kn+b
k、b是常数.
证明： an+1 — an为一个常数.
例题分析
例2 (1)等差数列11，8，5，…，的第19项是 ；
(2)等差数列-5，-9，-13，…的第 项是-307；
(3)已知{an}为等差数列，若a1=3，d= ，an=21，
则n = ；
(4)已知{an}为等差数列，若a17= ，d= ，则
a10= .
-49
99
13
【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n
任知 个，可求 .
三
另外一个
等 差 数 列
定义：按一定次序排列的一列数叫数列
（3）数列中的数是有顺序的，而数集合的数是无序的。
（2）数列中的数是可重复的，而数集中的数是互异的。
（1）数列与数集都是具有某种共同属性的 数的全体。
知识回顾
数列与数集有何区别和联系
数列
分类：项数有限的数列叫有穷数列；
项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首相），第2项，······，第n项， ······
数列分类
数列的项、首项
项数无限的数列叫做无穷数列。
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，…，an，… 简记为{an}。
{an}是一个数列，而an是数列的第n项。
{an}与 an 的区别
数列一般形式
定义：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式的定义
函数与数列的联系
数列实质： 从函数的观点看，数列可以看作是自变量取值集合是正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
x
y
n
an
自变量
函数值
课堂练习
已知数列{an}的前四项是：9 ，4， —1，……，
则数列{an}的通项公式an = ，
2. 数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中的x
等于（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
an+2= an+1+an
C
3. 已知数列{an}的前四项是：1 ，-3， 5，-7，……，
则-101在不在数列{an}中 ，
不在
14 - 5n
4. 上面几个数列,它们有没有规律
阅读课本33-34页并弄清:
1.什么样的数列是等差数列？
2.什么是等差数列的公差？
3.等差数列相邻两项与公差的关系
4.等差数列连续三项之间的关系
5.等差数列的通项公式是什么
6.等差数列的图象的特征是什么？
③推导等差数列通项公式的方法叫做 法.
递推
每一项与
它前一项的差
学习新课
㈠等差数列
如果一个数列从第2项起，
等于同一个常数.
.
. . . . .
【说明】
①数列{ an }为等差数列 ；
an+1-an=d
或an+1=an+d
d
=an+1-an
②公差是 的常数；
唯一
an=a1+(n-1)d
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
由定义归纳通项公式
a2 － a1=d，
a3 － a2=d，
a4 － a3=d，
……
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……
由此得到 a n=a1+(n－1)d
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
判定下列数列是否可能是等差数列？
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；
2. 1，1，1，1，……；
3. 1，0，1，0，1，……；
4. 0，2，3，4，5，……；
5. m, m, m, m, ……；
6. 1，11，21，31，41，…….
√
√
√
√
×
×
课堂练习
2．判断题：
①数列a，2a，3a，4a，…是等差数列（ ）
②若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3
的等差数列。 （ ）
若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数
列 （ ）
1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数，也可以是０和负数。
③
对等差数列的定义的理解
1．如果一个数列，不是从第2项起，而是
从第3项起或第4项起，每一项与它前一
项的差是同一个常数，那 么这个数列不
是等差数列．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一
项的差尽管等于常数，这个数列也不一
定是等差数列，因为这些常数不一定相
同．当这些常数不同时，此数列不是等
差数列
对等差数列的定义的理解
3．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序
d=an+1-an或d=an-an-1(n≥2)
4. 要判断一个数列是不是等差数列，只要
看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通
一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2
等有限的几个式子的值后，发现它一个
常数，就得出该数列为等差数列的结论
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5
（3）-12， ，0 （4）0， ，0
3
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0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
求出下列等差数列中的未知项
(1):3, a, 5;
(2):3, b, c,-9;
例1 (1 )已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1，
求证：{an}为等差数列；
(2) 已知数列{an}是等差数列，
求证：数列{an+an+1} 也是等差数列.
【小结】
①数列{ an }为等差数列 ；
②证明一个数列为等差数列的方法是 ：
.
an=kn+b
k、b是常数.
证明： an+1 — an为一个常数.
例题分析
例2 (1)等差数列11，8，5，…，的第19项是 ；
(2)等差数列-5，-9，-13，…的第 项是-307；
(3)已知{an}为等差数列，若a1=3，d= ，an=21，
则n = ；
(4)已知{an}为等差数列，若a17= ，d= ，则
a10= .
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99
13
【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n
任知 个，可求 .
三
另外一个