26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质-华东师大版九年级数学下册课件(共32张PPT)

26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
教学目标
教学重点与难点
重点:理解抛物线的有关概念，掌握二次函数y=ax2的图象与性质.
难点:会用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及
理解掌握它的性质.
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax?的图象,概括出
图象的特点.
3.掌握形如y=ax?的二次函数图象的性质,并会应用.
二次函数的概念和一般形式:
形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,
叫做二次函数.
其中,x是自变量,a,b,c分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
说明:
(1)等号左边是因变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2) a,b,c为常数，且二次项系数a≠0;
(3)等式右边的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项;
(4)自变量x不能出现在分母中或根号里;
(5) 自变量x的取值范围是任意实数.
温故夯基
巩固练习
1.下列函数中,不是二次函数的是( ).
A. y=1－2x2 B. y=2(x－1)2+4
C. y= (x－1)(x+4) D. y=(x－2)2－x2
D
2.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______．
a≠－1
3.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，
那么y与x的函数关系式为_________．
新正方形的边长是(x+3),
则y=(x+3)2－32=x2+6x．
y=x2+6x
4.如图,某矩形相框长26 cm,宽20 cm,其四周相框边(图中
阴影部分)的宽度相同,都是x cm,相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为y cm2．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)若相框内部的面积为280 cm2,求相框边的宽度.
解:(1)依题意得:
y=(26－2x)(20－2x)
=4x2－92x+520 ,(0＜x＜10)．
(2)依题意得:4x2－92x+520=280．
整理得:x2－23x+60=0,
解得:x1=3,x2=20 (不合题意,舍去) .
答：相框边的宽度为3 cm.
问题引入
我们知道，一次函数的图象是 .
一条直线
反比例函数的图象是 .
两支双曲线
那么，二次函数的图象是什么？
它有什么特点？
反映了二次函数的哪些性质？
让我们先来研究最简单的二次函数y=ax2的图象与
性质.
你还记得描点法画函数图象的步骤吗？
列表
描点
连线
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y=x2
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
解：列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，
列表表示几组对应值：
例题精析
描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y);
连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,
就得到y = x2 的图象.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
问题:(1)你能描述图象的形状吗?
(2)图象是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
画出函数y=－x2的图象.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=－x2
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
随堂练习
－9
－4
－1
0
1
4
9
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说
二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
x
o
y=x2
1.y＝x2是一条 ;
2.图象开口向 ;
3.图象关于 对称;
4.顶点坐标 ;
5.图象有最 点．
y
议一议
抛物线
上
y轴
(0 ,0 )
低
说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
o
x
y
y=－x2
1.y＝－x2是一条 ;
2.图象开口向 ;
3.图象关于 对称;
4.顶点坐标 ;
5.图象有最 点．
抛物线
下
y轴
(0 ,0 )
高
你能概括出二次函数y=ax2 的图象性质吗？
概括
二次函数y=ax2 的图象性质
1.二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线；
2. 图像关于y轴对称;
3. 顶点都在原点(0,0);
4.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为 ，
开口 ，大小 ，
它们关于 对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
观察交流讨论
相反数
相反
相同
x轴
二次函数 y=ax2 的性质
问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
问题探索
在对称轴的左侧时,
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧时,
y随着x的增大而增大.
当x=0时,函数y=ax2取得最小值,最小值是y=0.
对于抛物线 y = ax2 (a>0).
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
当x=0时,函数y=ax2取得最小值,最小值是y=0.
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
问题探索
二次函数 y=ax2 的性质
在对称轴的左侧时,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧时,
y随着x的增大而减小.
当x=0时,函数y=ax2取得最大值,最大值是y=0.
对于抛物线 y = ax2 (a<0).
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
当x=0时,函数y=ax2取得最大值,最大值是y=0.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,
对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),
它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,
函数值y随x的增大而增大.当x=0时,函数值y取得最小值0.
当a<0时,当x<0时,函数值y随x的增大而增大；当x>0时,
函数值y随x的增大而减小.当x=0时,函数值y取得最大值0.
二次函数y=ax2 (a≠0)的性质
解：分别列表，再画出它们的图象，如图所示:
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例题精析
例2 在同一直角坐标系中,画出函数 的图象.
-2
2
2
4
6
4
-4
8
当a>0时，a越大，开口越小.
思考1:从二次函数 的开口大小
与a的大小有什么关系？
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
随堂练习
在同一直角坐标系中,画出函数 的图象.
解：分别列表，再画出它们的图象，如图所示:
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小
(即a的绝对值越大)，开口越小.
对于抛物线 y=ax 2 ,｜a｜越大,抛物线的开口越小.
思考2:从二次函数 的开口
大小与a的大小有什么关系？
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
要点归纳
二次函数 y=ax2 的图象与性质
随堂练习
1.填空：
(1)抛物线y=3x2的对称轴是 ,顶点坐标是 ,
当x 时，抛物线上的点都在x轴的上方；
当x 时，函数值y随x的增大而减小.
y轴
(0,0)
≠0
<0
(2)抛物线 的开口向 ,除顶点外,抛物线上
的点都在x轴的 方,它的顶点是抛物线上的最 点;
当x>0时，函数值y随x的增大而 .
下
下
高
减小
(3)函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,
顶点坐标是 ; 在对称轴的左侧,y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
y轴
(0,0)
减小
增大
2.如右图，观察函数y=(k－9)x2的图象,
则k的取值范围是 .
x
y
k>9
3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴
（0,0）
O
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
向上
向下
4.已知 是二次函数,且当x＞0时,
y随x增大而增大，则k= .
2
例3 已知二次函数y=x2．
(1)判断点A(2, 4)在二次函数图象上吗？
(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
(3)点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数
y=－x2的图象上吗？
例题精析
解:(1)当x=2时，y=x2=4，
∴点A(2, 4)在二次函数图象上.
(2)点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,－4)，
点A关于y轴的对称点C的坐标为(－2,4)，
点A关于原点O的对称点D的坐标为(－2,－4).
(3)当x=－2时,y=x2=4，
∴点C(－2, 4)在函数y=x2的图象上.
当x=2时,y=－x2=－4，
∴点B(2,－4)在函数y=－x2的图象上.
当x=－2时,y=－x2=－4，
∴点D(2,－4)在函数y=－x2的图象上.
例4. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图,此二次函数的图象经过点(0, 0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
<
分析：
(1)把两点的横坐标代入二次函数的表达式
求出纵坐标，再比较大小即可得解；
(2)由于函数图象经过点B，根据点B的
横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，
再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，
即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积
相加等于右边第一象限内的矩形面积．
例4. 已知二次函数y＝2x2.
(2)如图,此二次函数的图象经过点(0, 0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
(2)解:∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴，
∴ OA＝OB=2，
∴在长方形ABCD内,
左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
1.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(－1，2).
(1)则a的值是 ；
(2)对称轴是 ，开口 .
(3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1 则y1 y2.
2
y轴
向上
(0,0)
小
上
>
随堂练习
2.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，
则实数m的取值范围是 ．
∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
m≤0
3.已知:如图,直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点,
求出A、B两点的坐标,并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得:
解得:
∴ 两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P4 习题26.2 1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P7-10 26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学反馈：
作业存在的主要问题：