北师大版九年级下数学课件 3.7 切线长定理（19张）

27.2 与圆有关的位置关系
第4课时 切线长定理与
三角形的内切圆
复习回顾
3.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与
⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .
1、什么叫切线的判定定理？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、什么是切线的性质定理？
圆的切线垂直于经过切点的半径．
60°
预习检测
1、切线长定理：1、过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长 .
2、这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角。
相等
平分
3、如图，PA,PB是⊙ O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
情境导入
同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？
B
A
大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一条．借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
思考：那么，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？
O
P
切线长定理及应用
一
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
知识要点
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3、联系：都垂直于过切点的半径。
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长

O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
折一折
思考：请证明你所发现的结论：PA=PB，∠APO=∠BPO
O.
P
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
A
B
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
知识要点
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
O
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
E
F
G
H
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
A
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
第1题
B
C
O
第2题
20 °
4
课堂练习
2．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为(　　)
A．35°　　　　B．45°　　　　
C．60°　　　　D．70°
D
3．如图，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.
(1)求∠P的大小；
(2)若AB＝2，求PA的长．(结果保留根号)
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
课堂小结
如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
拓展提升