2020--2021学年七年级数学苏科版下册第7章：平面图形的认识 (二) 综合题同步训练（三）（Word版 含解析）

2020--2021学年七年级数学下册第7章：平面图形的认识
(二)
同步训练（三）
1．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．
2．数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．
性质初探
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．
①求证：∠A+∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．
3．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　
　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　
　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　
　°．
4．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；
（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．
5．【原题】已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，则∠BED＝　
　．
【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
6．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝　
　＝40°（　
　）
又∵OB∥DE（已知）
∴　
　＝∠1＝　
　°（　
　）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝　
　°．
7．如图，已知：△ABC，∠A＝52°，∠ACB＝56°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，且∠ADE＝72°，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BC；
（2）求证：∠EGH＞∠ADE．
8．在边长为的方格纸中有一个△ABC．
（1）作出△ABC的高CD，并求出△ABC面积．
（2）将△ABC向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．
9．在小学四年级我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等（例如：∠1＝∠4）．利用上述知识进行下面的探究活动：
（一）探究：
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被平面镜b反射．若被平面镜b反射出的光线n平行于m，且1＝50°，则∠2＝　
　，∠3＝　
　；
（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝　
　，若∠1＝55°，则∠3＝　
　；
（二）猜想：
由（1）（2）请你猜想：当∠3＝　
　时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的．
（三）证明：
请证明你的上述猜想．
10．如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．
参考答案
1．解：（1）∠ADE＝∠EFC，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC；
（2）∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
2．（1）证明：如图①，延长DC交AB于点E，
∵∠BEC是△AED的一个外角，
∴∠A+∠D＝∠BEC，
同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，
∴BCD＝∠A+∠B+∠D．
（2）①证明：如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，
由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，
∵在四边形AFCG中，∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG＝360°，
∴∠A+∠FCG＝180°，
∵∠FCG＝∠BCD，
∴∠A+∠BCD＝180°；
②解：由（1）可知，在凹四边形ABED中，
∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，
同理，在凹四边形EBCD中，
∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
同理，∠ADE＝∠EDC，
①﹣②得∠A+∠BCD＝2∠BED，
由（2）①可知，在凹四边形ABCD中，∠A+∠BCD＝180°，
∴2∠BED＝180°，
∴∠BED＝90°．
3．解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝∠ACB（角平分线的定义），
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A
＝90
＝122°．
故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB＝∠ACB，∠EBD＝∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD＝∠ABD＝（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC＝∠A＝；
（3）结论：∠BQC＝90°﹣∠A．
理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC＝（∠A+∠ACB），∠QCB＝（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣∠A﹣90°
＝90°﹣∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°﹣∠A＝90°﹣＝58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+∠BQC＝90°+＝119°；
由（2）可知，∠R＝∠BQC＝29°
故答案为119，29．
4．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，
根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：
∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，
∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，
∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．
∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，
∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．
同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，
∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，
①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，
①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，
④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，
2∠P＝35°+29°，
解得∠P＝32°；
（2）∠P＝（∠C+∠D），理由如下：
由（1）同理可知：
2∠P＝∠C+∠D，
解得∠P＝（∠C+∠D）．
5．解：（1）如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE＝∠ABP＝25°，∠CDE＝∠CDP＝30°，
∴∠BED＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1＝∠ABP＝α，∠CDE1＝∠CDP＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠AFE1＝，
∴∠E1＝∠AFE1﹣∠ABE1＝﹣α＝（β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2＝∠ABE1＝α，∠CDE2＝∠CDE1＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE2＝，
∴∠E2＝∠AGE2﹣∠ABE2＝（β﹣α），
同理可得，∠E3＝（β﹣α），
以此类推，∠En的度数为（β﹣α）．
（3）∠DEB＝90°﹣∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE＝∠BEG，∠FDE＝∠GED，
∴∠DEB＝∠BEG+∠DEG＝∠MBE+∠FDE＝∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE＝∠PDF＝（180°﹣∠CDP），∠ABQ＝∠ABP，
∴∠DEB＝∠ABP+（180°﹣∠CDP）＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠AHP，
∴∠DEB＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）＝90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）＝90°﹣∠P．
6．解：（1）∵AO∥CD（已知），
∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），
又∵OB∥DE（已知），
∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．
故答案为：（40或140）．
7．（1）证明：∵∠A＝52°，∠ACB＝56°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝72°，
∵∠ADE＝72°，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）证明：∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B，
又∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE．
∴∠EGH＞∠ADE．
8．解：（1）高CD如图所示，．
（2）先将点A，B，C分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点A1，B1，C1，再连接A1B1，B1C1，A1C1，此时△A1B1C1即为所求．
（3）AB与A1B1相等且平行，BC与B1C1相等且平行，AC与A1C1相等且平行，三组线段任写一组．
9．解：（一）探究：（1）如图，
∵射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，∠1＝50°，
∴∠4＝∠1＝50°，∠5＝∠7，
∴∠6＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝100°，
∴∠5＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
故答案为：100°，90°；
（2）∵∠1＝40°，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
∴∠4＝∠1＝40°，∠5＝∠7，
∴∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝80°，
∴∠5＝∠7＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°；
∵∠1＝55°，
∴∠4＝∠1＝55°，
∴∠6＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝110°，
∵射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
∴∠5＝∠7＝35°，
∴∠3＝180°﹣55°﹣35°＝90°；
故答案为：90°，90°；
（二）猜想：当∠3＝90°时，m∥n，
故答案为：90°；
（三）证明：∵∠3＝90°，
∴∠4+∠5＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠4，∠7＝∠5，
∴∠1+∠4+∠5+∠7＝2×90°＝180°，
∴∠6+∠2＝180°﹣（∠1+∠4）+180°﹣（∠5+∠7）＝180°，
∴m∥n．
10．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠3，
∴MN∥EF．