1.1.4等边三角形的判定-北师大版八年级数学下册课件 (共22张)

(共22张PPT)
---------等边三角形判定
1.1 等腰三角形（4）
一个三角形满足什么条件可以是等边三角形？
猜 想
A
C
B
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
三个角都相等的三角形是等边三角形.
证 明
定理：
证 明
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600.(等边对等角)
∴∠A=600(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B=∠C （等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形.
定理：
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠A=600.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ,
∴∠C=∠B(等边对等角)
∵∠A=600(已知)
∴∠A=∠C=∠B=600(三角形内角和定理)
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形).
2、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(或∠A=60°或∠C=60°).
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).
A
C
B
等边三角形的判定定理：
1、三个角都相等的三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵ ∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
用一用
例1：如图,△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C =60°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°
∴∠ADE=∠AED=∠A
∴△ADE是等边三角形.
（三个角都相等的三角形是等边三角形）
做一做
用两个含有300角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300
300
300
300
300
你能证明你的结论吗？
猜想:在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半.
猜一猜
300
300
300
A
B
C
30°的直角三角形有什么特殊性质呢？
证 一证
300
A
B
C
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,
∠A=300
求证:BC= AB.
∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB
A
B
C
D
300
A
B
C
D
证明: 在AB上截取BD=BC,连接CD
∵BD=BC（作图）
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余)
∠ACD=30°
∴△ABD是等边三角形
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BD=BC=CD（等边三角形三边相等）
∵∠ACD=30°，∠A=300
∴AD=CD（等角对等边）
∴BD=AD= AB
∴BC=BD= AB
300
A
B
C
D
方 法 总 结
补短
300
A
B
C
D
截长
突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
延长BC至D, 使CD=BC, 连接AD
或在AB上截取BD=BC,连接CD
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC= AB.(在直角三角形中,
300角所对的直角边等于斜边的一半).
A
B
C
300
练一练
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,BD=1.
求AB的值
A
C
B
D
300
300
∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一 个外角,等于不相邻的两内角的和)，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°
∴CD= AC=a(在直角三角形中300所对的直角边 等于斜边的一半).
A
C
B
D
150
150
2a
2a
例2 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,
腰长为2a.求腰上的高.
D
解：过点C作BA的垂线交BA延长线于点D
知识
1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义
（2）定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
2、30°直角三角形的性质定理:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
思想方法
分类思想、转化思想、截长补短法
小 结
作 业
必做题：
1、习题1.4 第2,3题.
2、自学第14页至第17页，重点学习第16页的“读一读”.
选做题：
已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQ
A
C
D
B
P
E
Q
你认为有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形，有几种情况？
想一想
A
C
B
600
A
C
B
600
逆向思维
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗
如果是,请你证明它.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC=AB/2.
求证:∠A=300.
300
A
B
C
在△ABC和△ADC中,
∵BC=CD,∠ACB= ∠ACD= 900,AC=AC
∴ △ABC≌△ADC(SAS) ,∴ AB=AD
又∵BC=AB/2 BC=BD/2
∴AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=600 ,∴∠A=300
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
A
B
C
D
2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQ
思路：
先证△ABE≌△CAD(SAS)
∴ ∠1= ∠2
∵∠BPD= ∠1+ ∠3
∴∠BPD= ∠2+ ∠3= 60°
A
C
D
B
P
E
Q