中考数学专题复习——三角形的概念、性质、判定、技巧、应用 分类梳理（附答案，共8个专题）

全等三角形3种类型判定的6大应用
一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．
类型1： 已知一边一角型
一次全等型
1．如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB.
即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.
2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△DBE≌△DCF，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线．
两次全等型
3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.
证明：如图，过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.
∴∠M＝∠N＝90°.　
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，∴△ACM≌△ADN(AAS)
∴AM＝AN，CM＝DN
在Rt△ABM和Rt△ABN中，∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)
∴BM＝BN，∴BM－CM＝BN－DN
即BC＝BD
4．如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.
证明：如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
则∠AFE＝∠AGE＝90°.　
在△AFE和△AGE中，∴△AFE≌△AGE(AAS)．∴EF＝EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)．∴∠ABE＝∠ACE.
类型2： 已知两边型
一次全等型
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．
解析：BF⊥AE.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACE＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
两次全等型
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.
证明：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝CE.
7．如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠ADC＝∠AEB.
证明：如图，过点B，C分别作CA，BA的垂线，分别交CA，BA延长线于点F，G.
在△ABF和△ACG中，∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG
在Rt△BEF和Rt△CDG中，∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)，∴∠ADC＝∠AEB.
小结：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
类型3： 已知两角型
一次全等型
8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∠BOD＝∠COE，∴∠B＝∠C.
∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO.
在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC(AAS)．∴OB＝OC.
两次全等型
9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
证明：△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(AAS)，∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.
在△FDB和△FAC中，∴△FDB≌△FAC(AAS)．
∴BF＝CF
构造全等三角形的六种常用方法
在进行几何题的证明或计算时，有时需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．
方法1： 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.
求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边叠合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠FDB＝90°.
在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
方法2： 构造基础三角形法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF，求证：∠ADC＝∠BDF.
证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠2＋∠ACF＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠ACF＝90°.，∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝∠BAC＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°，∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)，∴∠BDF＝∠G.
∴∠ADC＝∠BDF.
小结：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键。
方法3： 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
解析：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，∴△ABH≌△ADF(SAS)．
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF.
即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，
∴BE＋BH＝EF，即EH＝EF.
在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°.
小结：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
方法4： 平行线法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
证明：如图，过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.
∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.
∴∠AQO＝∠C＋∠QBC＝80°.
∴∠ADO＝∠AQB.
∵AP平分∠BAC，∴∠DAO＝∠QAO.
又∵OA＝OA，∴△ADO≌△AQO，∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB，∴△DOB是等腰三角形．
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，
∴∠APB＝70°，∴∠BOP＝∠APB.
∴△BOP是等腰三角形．∴BO＝BP.
∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝BQ＋AQ.
方法5： 倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD长度的取值范围．
(1)证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.
(2)解析：∵AB－BE∴AB－AC<2AD∵AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.
∴1小结：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段长度的取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．
方法6： 截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
证明：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA.
连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，∴△EFC≌△EDC(AAS)，
∴FC＝DC.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD
小结：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一条短线段，然后证明剩下的线段等于另一条短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段．
活用“三线合一”6大技巧解题
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
技巧1： 利用“三线合一”求角
1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
解析：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.
技巧2： 利用“三线合一”求线段
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．
解析：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，
∴BD＋CD＝14.
∵AD＝BD，
∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.
∴AB＝AC＝14.
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝EB＝AB＝7
技巧3： 利用“三线合一”证线段(角)相等
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：DE＝DF.
证明：如图，连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，
∴∠B＝∠BAD.
∴BD＝AD.
又∵BD＝CD，
∴AD＝CD.
∴∠DAC＝∠C＝45 °.
∴∠B＝∠DAF.
又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴DE＝DF.
技巧4： 利用“三线合一”证垂直
4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.
∵AE＝EC，
∴AC＝2AF.
又∵AC＝2AB，
∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAE.
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
技巧5： 利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
由BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，
易得△BDC≌△BDE.
∴BC＝BE.
又∵BD⊥CE，
∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，
∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴△ABF≌△ACE(ASA)．
∴BF＝CE.
∴BF＝2CD.
技巧6： 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC.
∵AD⊥BC，
∴AD是BE边上的中线，即DE＝BD.
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C.
而∠AEB＝∠CAE＋∠C，
∴∠CAE＝∠C.
∴CE＝AE＝AB.
故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
等腰三角形4种作辅助线方法
几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．
方法1： 作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF.
证明：如图，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，∴AD⊥EF.
∴∠DAE＝∠DAF＝90°.
∵AE＝AF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴DE＝DF.
方法2： 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，已知点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，求证：PD＝QD.
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.
∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB.
∴BP＝FP，∴FP＝CQ
在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.
(2)解析：ED的长度保持不变．理由如下：
如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.
由(1)知PB＝PF，∵PE⊥BF，∴BE＝EF，
由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD.
∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC
.∴ED的长度为定值
方法3： 截长补短法
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°，AE＝AB.
又∵∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，
即BD＋DC＝AB.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
解析：如图，在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△AED.
∴AB＝AE，∠B＝∠AED.
∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，
∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，
∴AB＝EC.
∴AE＝EC.故设∠EAC＝∠C＝x，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x.
∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
即180°－4x＋x＝120°，
解得x＝20°，
则∠C＝20°.
方法4： 加倍折半法
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，
∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，
∴BF＝BD.
在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．
∴CF＝CD.
∴CD＝2CE.
线段垂直平分线的4类应用
线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生活中的选址等问题．
类型1： 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝________.　
解析：12 cm
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC＝2 cm，求AD的长．
解析：如图，连接BD.
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝DB.
∴∠DBA＝∠A＝15°.
∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝30°.
又∵∠C＝90°，∴BD＝2BC.
∴AD＝2BC＝4 cm.
类型2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________.　
解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝＝65°.
因为DE垂直平分AB，
所以DA＝DB.
所以∠DBE＝∠A＝50°.
所以∠DBC＝65°－50°＝15°.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．
解析：∵∠1∶∠2＝2∶5，
∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠B＝∠2＝5x.
∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.
∵在Rt△ADC中，2x＋10x＝90°，
解得x＝7.5°.∴∠ADC＝10x＝75°.
类型3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用
5．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
解析：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．
小结：解决作图选点问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找．
类型4： 线段垂直平分线的判定在判断两线位置关系中的应用
6．如图，AD为△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，连接EF.请判断线段AD所在直线是否为线段EF的垂直平分线．如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
解析：线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)．
∴AE＝AF.
∴点A在线段EF的垂直平分线上．
∴线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．
小结：判定一条直线是某一线段的垂直平分线时，应证明这条直线上至少有两个点在这条线段的垂直平分线上．
角平分线中4种作辅助线方法
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．
类型1：作一边的垂线段
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，AC＝BC，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？
解析：能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长，
即过点D作DE⊥AB于E，
则E点就是所要确定的点(如图)．理由如下：
∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE.
∵AC＝BC，
∴△BDE的周长为
BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.
类型2：作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边(足够长)分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
(注：四边形的内角和为360°)
证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
类型3：延长线段作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE.
证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE.
∴AE＝FE.∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)．
∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
类型4：截取线段作对称图形法
4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
求证：BE＋CF>EF.
证明：如图，在AD上截取DH＝BD，连接EH，FH.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝DH.
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE＝∠HDE.
又∵DE＝DE，
∴△BDE≌△HDE(SAS)．
∴BE＝HE.
同理△CDF≌△HDF(SAS)．
∴CF＝HF.
在△HEF中，∵HE＋HF>EF，
∴BE＋CF>EF.
三角形中6种常见证明
学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，倍分关系，线段的和差关系，不等关系和图形的面积关系等．
类型1：证明数量关系
证明线段相等
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点．
求证：BE＝CD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
又D，E分别为边AB，AC的中点，
∴AD＝AE.
在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB.
∴BE＝CD.
证明角相等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.求证：∠DBC＝∠DCB.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD.∴BD＝CD.
∴∠DBC＝∠DCB.
类型2： 证明位置关系
证明平行关系
3．如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为一边作等边三角形PCE.求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC，△PCE均为等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°.
∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE.
在△CBP和△CAE中，∴△CBP≌△CAE(SAS)
∴∠CAE＝∠CBP＝60°，∴∠CAE＝∠ACB.
∴AE∥BC.
证明垂直关系
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF.
证明：如图，连接ED，FD.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS)．
∴DE＝FD.
又∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF.
类型3： 证明倍分关系
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE均是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.
证明：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°.
又∵∠BHD＝∠AHE，
∴∠EBC＝∠EAH.
在△BCE和△AHE中，
∴△BCE≌△AHE(ASA)．
∴BC＝AH.
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AH＝2BD.
类型4：证明和、差关系
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB＋BD＝AC.
证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，连接AE，则∠BAE＝∠E.
∴∠ABC＝∠E＋∠EAB＝2∠E.
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠E＝∠C.
∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠C.
又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA.
∴AE＝DE.
∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.
即AB＋BD＝AC.
类型5：证明不等关系
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，
求证：AB－AC＞PB－PC.
证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AEP和△ACP中，
∴△AEP≌△ACP(SAS)．
∴PE＝PC.
在△PBE中，BE＞PB－PE，
即AB－AC＞PB－PC.
类型6：证明面积关系
8．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于点E时(如图①)，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC有怎样的关系？请写出你猜想，不需证明．
解析：在题图②中上述结论仍成立；在题图③中不成立．
对于题图②证明如下：
如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.
在△ADM和△BDN中，∴△ADM≌△BDN，∴DM＝DN.
∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF.
在△DME和△DNF中，∴△DME≌△DNF(ASA)，
∴S四边形DMCN＝S四边形DECN＋S△DME＝S四边形DECN＋S△DNF＝S四边形DECF＝S△DEF＋S△CEF.
由题图①可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.
在题图③中，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC.
三角形3概念，6性质，4判定，4技巧，1应用
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系，利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
考点1：三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(　　)
A．有一个锐角小于45°　B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
解析：D
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．
互逆命题
3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．
(1)③和⑤是互逆命题吗？
(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？
(3)请指出哪几个命题是互逆命题．
解析：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．
(2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.
(3)①与④、②与⑥分别是互逆命题．
互逆定理
4．下列三个定理中，存在逆定理的有(　　)个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的周长相等；
③同位角相等，两直线平行．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
解析：C
5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)等角的补角相等．
解析：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理．
(2)逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角，原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．
考点2：六个性质
全等三角形的性质
6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．
解析：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠BAC＝∠DAE＝50°.
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，
∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.
②求α，β之间的关系式．
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．
解析：(1)①20°；10°
②设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y.
在△DEC中，y＝β＋x，
在△ABD中，α＋x＝y＋β，
∴α＝2β.
(2)存在．如图，当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x＋α＝β－y，
在△DEC中，x＋y＋β＝180°，
∴α＝2β－180°.
等边三角形的性质
8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD.
证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，
∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.
∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC，即∠ABE＝∠CBD.
在△ABE与△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.
小结：利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时，往往结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证．
直角三角形的性质
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．
解析：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，　
∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°.
线段垂直平分线的性质
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.
证明：如图，连接AM.
∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.
又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，∴∠MAB＝30°，∴∠MAC＝90°.
∵∠C＝30°，∴CM＝2AM.，∴CM＝2BM.
角平分线的性质
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.
证明：因为DE是BC的垂直平分线，所以BE＝EC，DE⊥BC.
因为∠A＝90°，所以DA⊥AB.
又BD是∠ABC的平分线，所以DA＝DE.
又BD＝BD，
所以Rt△ABD≌Rt△EBD.
所以AB＝BE.所以BC＝2AB.
考点3：四个判定
三角形全等的判定
12．如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：
(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.
证明：(1)∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.
∵BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.
等腰(边)三角形的判定
13．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.
∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．
直角三角形的判定
14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解析：(1)AP＝CQ.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°.
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠PBQ.
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.
又BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ.
∴AP＝CQ.
(2)△PQC是直角三角形．
理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，
可设PA＝3a(a>0)，
则PB＝4a，PC＝5a.
在△PBQ中，
∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.
又由(1)知CQ＝PA.
∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.
∴△PQC是直角三角形．
线段的垂直平分线与角平分线的判定
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.
∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，
∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)解析：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.
设OE＝x.
易得AF＝AM＝5－x，
BE＝BM＝12－x.
∵BM＋AM＝AB＝13，
∴12－x＋5－x＝13.
解得x＝2.∴OE＝2.
考点4：四个技巧
构造全等三角形
16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.
证明：方法一：如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.
∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，
EF＝DE，
∴△BEF≌△CED(SAS)．
∴BF＝CD，∠F＝∠CDE.
又∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠F＝∠BAE.
∴BF＝AB.∴AB＝CD.
方法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，CG⊥AE，交AE于点G.
∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，
∴△BEF≌△CEG(AAS)．
∴BF＝CG.
又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，　
∴△ABF≌△DCG(AAS)．
∴AB＝CD.
方法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则∠BAE＝∠F.
∵∠BEA＝∠CEF，BE＝CE，
∴△BEA≌△CEF(AAS)．
∴AB＝FC.
又∵∠D＝∠BAE，
∴∠F＝∠D.
∴FC＝CD.
∴AB＝CD.
构造等腰三角形的“三线合一”
17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．
解析：AB＝AC.理由：因为AD＝AE，所以△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线，又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.
又因为BD＝CE，所以BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.
所以AF是线段BC的垂直平分线．
所以AB＝AC.
构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段
18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.
证明：如图，连接AP.
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB.∴∠B＝∠PAB＝22.5°，∴∠APC＝45°.
∴△ADP为等腰直角三角形．
∴DP＝AD.
又∠FPD＋∠PFD＝90°，∠AFE＋∠DAC＝90°，∠PFD＝∠AFE，∴∠FPD＝∠CAD.
又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，∴△PDF≌△ADC，∴DF＝DC.
构造角平分线上的点到角两边的垂线段
19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.
证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F.
∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，∴BE＝FE.
∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE.
又∵EF⊥AD，EC⊥DC，∴DE平分∠ADC.
小结：构造辅助线的方法：当根据题意可直接或间接地说明有角平分线时，常过角平分线上的某点向角的一边(两边)引垂线段，利用角平分线的性质和判定进行证明．
考点5：一个应用——最短路线的应用
20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．

解析：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．理由如下：
在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B，因为点A，A′关于直线l对称，所以直线l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′.所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B