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20.1 平行四边形的判定A卷
一、选择题
1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
3．下列说法正确的是（ ）
A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有两个角相等的四边形是平行四边形
二、填空题
4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．
5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．
图1 图2
6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题
7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
四、思考题
8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，则线段DE与BF的长度相等吗？
参考答案
一、1．B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）．
故有4种选法．
2．B 点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，
即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，
所以四边形为平行四边形．
3．B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．
二、4．相等 点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．
5．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD是平行四边形即可．
6．8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．
三、7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，
即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8．
所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，
所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．
点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值．
四、8．解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，
如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，
所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF．
点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．
20.1 平行四边形的判定B卷
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，在□ABCD中，点E，F都在对角线AC上，且AE=CF，连结DE，BE，DF，BF，则四边形DEBF是平行四边形吗？为什么？
二、知识交叉题
2．（科外交叉题）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别是线段AD，BC上两动点，P，Q分别从A，C出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，P，Q两点同时开始运动，且开始运动的时刻是0．P，Q运动到顶点处即停止运动，问：第几秒时，四边形ABQP是平行四边形？
三、实际应用题
3．如图所示，某城市中心有一个小公园，在它的四个角A，B，C，D处均有一棵古树，城建部门准备扩建公园，要求使公园的面积扩大一倍，而且必须保持四棵古树不动，并要求建成以后的公园呈平行四边形形状．问：该城市能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画出图；若不能，请说明理由．
四、经典中考题
4．（达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，
EF分成四个部分，分别种上红，黄，紫，白四种花卉，
种植面积依次是S1，S2，S3，S4．若MN∥AB∥DC，
EF∥DA∥CB，则有（ ）
A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对
五、探究学习
1．（条件开放题）如图所示，在□ABCD中，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7是对角线BD的八等分点，你是否可以从这七个分点中选取两个点，使得这两点和点A，点C为顶点的四边形是平行四边形？如果可以，请你写出一个这样的平行四边形，并说明理由；如果不可以，请说明理由．
2．实际生活中，我们常碰到这样的例子：对一个物体M同时施加两个成某个角度的力F1和F2，这个物体的实际受力效果并不是F1与F2的简单叠加，它们的合力F的大小和方向由以F1和F2为边的平行四边形的对角线决定，如图1所示．对于既有大小又有方向的量求和时，一般都采用上面的方法，我们把这种方法叫做平行四边形法则，实际上求两个分为F1，F2的合力F的大小，就是求□F1MF2F的对角线MF的长．下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题：如图2，一条小河缓缓地流着，河水的流速是2km/h，一艘船从A点出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，实际上，它以怎样的速度向对岸行驶？
图1 图2
3．（图形方案设计题）某企业有一块等腰三角形的铁板，如图所示，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要把材料完全利用起来，应该怎样加工呢？把切割的路线用虚线画出来．
参考答案
一、1．解法一：是．理由：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AD∥BC，所以∠DAE=∠BCF．
在△ADE和△CBF中，因为
所以△ADE≌△CBF（S．A．S．）．所以DE=BF．
同理可证△ABE≌△CDF．所以BE=DF．
所以四边形DEBF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
解法二：是．理由：同解法一可证△ADE≌△CBF．所以DE=BF，∠AED=∠CFB．
所以180°-∠AED=180°-∠CFB．即∠DEF=∠BFE．所以DE∥BF．
所以四边形DEBF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
解法三：是．理由：连结BD．如图，交AC于点O．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD．
又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
所以四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
点拨：解法一利用了“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；解法二利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法，解法三利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判别方法．
二、2．解：设第x秒时，四边形ABQP是平行四边形，即AP=BQ，
则AP=x，BQ=BC-CQ=6-2x，所以x=6-2x，解得x=2，
所以第2秒时，四边形ABQP是平行四边形．
点拨：这是一道平行四边形的判断与物理知识的交叉题．
三、3．解：能．作法：连结BD，AC交于O点，过A，C分别作BD的平行线，过B，D分别作AC的平行线，得四边形A′B′C′D′，
如图所示，则四边形A′B′C′D′为所求作的平行四边形．
理由：因为A′D′∥BD，B′C′∥BD，所以A′D′∥B′C′．
同理得，A′B′∥D′C′．所以四边形A′B′C′D′是平行四边形．
由上述作法知四边形A′BOA，四边形B′COB，四边形CC′DO，四边形ODD′A均为平行四边形．
在□A′BOA中，AA′=BO，A′B=AO，BA=AB，
所以△AA′B≌△BOA．所以SAA`BO =2S△ABO．
同理得SB`COB=2S△BOC，SOC`DO=2S△COD，SAODD` =2S△AOD，
所以SA`B`C`D` =2S四边形ABCD，所以该城市能实现这一设想．
四、4．C
五、探究学习
1．解：可以．例如连结AP1，AP7，CP1，CP7，则四边形AP1CP7就是平行四边形．
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD，
所以∠ABP1=∠CDP7，所以在△ABP1和△CDP7中，
所以△ABP1≌△CDP7（S．A．S．），所以AP1=CP7．
同理可求AP7=CP1，所以四边形AP1CP7是平行四边形．
点拨：本题答案不惟一，还可取P2，P6两点得到平行四边形AP2CP6；取P3，P5两点得到平行四边形AP3CP5．理由同上．
2．解：如图所示，以4km/h，2km/h为边构造□ABDC，使AB=2km/h，AC=4km/h，因为四边形ABDC是平行四边形，所以BD=AC=4（km/h）．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2=AB2+BD2=22+42=20．
所以AD==2（km/h）．
答：略．
点拨：注意河水的速度与轮船的速度是互相垂直的，所以构成的平行四边形实际上是长方形．
三、3．方法一：作法：（1）分别取AB，AC的中点D，E，分别过点D，E作DM⊥BC，EN⊥BC垂足分别为M，N；（2）将△BDM，△CEN分别裁下来，如图拼接，可得平行四边形M′MNN′，此平行四边形即为所求（如图1所示）．
图1 图2 图3
方法二：作法：（1）分别取AB，AC的中点D，E；（2）沿DE裁下△ADE并以点E为中心旋转至△CD′E，平行四边形DD′CB即为所求（如图2所示）．
方法三：作法：（1）作△ABC的BC边上的中线AD；（2）将△ABC沿AD裁开，并将△ABD移至△AB′C处，则平行四边形ADCB′即为所求（如图3所示）．
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第20章 平行四边形的判定单元检测卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对边平行，一组对角相等 D．两条对角线互相垂直
2．用两个边长均为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
3．如图，线段AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD成为等腰梯形，需满足的条件是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AO=CO，BO=DO，∠AOB=90°
C．AO=DO图1 图2 图3
4．四边形ABCD中，若（1）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°；（2）∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°；（3）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°；（4）∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．既是矩形，又是菱形的四边形是正方形 B．正方形是对角线相等的菱形
C．正方形是对角线互相垂直的矩形 D．正方形是对角线互相平分的平行四边形
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．在下列性质中：①对角线互相平分；②对边相等；③对角线互相垂直且相等；④对角 相等．矩形和菱形都具有的性质是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．③④
8．如图2所示，□ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形
9．如图3所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AC=BD B．△AOB是等边三角形
C．AO=CO=BO=DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°
10．如图4所示，下列矩形中按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是（ ）
图4
11．如图5所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．能说明四边形ABCD是菱形的有（ ）
①BD⊥AC；②OA=OC，OB=OD，AB=BC；③AC=BD；④AB∥CD，AB=BC．
A．① B．①③ C．② D．③④
图5 图6 图7
12．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比是1：2：2：3，则这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．直角梯形
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图6所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是_______厘米．
14．如图7所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连结DE，EF，FD．当△ABC满足条件_________时，四边形AEDF是菱形（填一个你认为恰当的条件即可）．
15．如图8所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
图8 图9
16．如图9所示，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的一半，则这个平行四边形木框的最小的一个内角为________．（提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
三、解答题（21题12分，其余每题10分，共52分）
17．如图所示，菱形ABCD的对角线相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE，BE相交于点E，那么四边形OAEB是矩形吗？说明理由．
18．如图所示，O为□ABCD对角线AC的中点，EF经过点O交AD于点E，交BC于点F，连结BE，DF，试说明四边形BEDF为平行四边形．
19．如图所示，DF是□ABCD中∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于点E．
（1）四边形AFED是菱形吗？请说明理由；
（2）如果∠A=60°，AD=5，求四边形AFED的面积．
20．如图所示，在□ABCD中，延长DC到点E，使BE=BC；
（1）四边形ABED是否为等腰梯形，请说明理由；
（2）若∠D=60°，AB=3，过点C作CF⊥BE，垂足为F，且CF=，求DE的长及□ABCD的面积．
21．在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片上，要折出一个菱形，李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图①），张丰同学按照沿矩形对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（如图②），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪个菱形的面积较大．
参考答案
一、1．C
2．D 点拨：因为等边三角形的每个内角都为60°，故不能拼成矩形和正方形，又因为梯形的上，下底不相等，故也不能拼成等腰梯形，所以应选D．
3．C 点拨：因为AO=DO，BO=CO，∠AOB=∠DOC，所以△AOB≌△DOC，所以AB=DC，又易求得四边形ABCD是梯形，所以四边形ABCD是等腰梯形．
4．B 点拨：只有（3）才能判定四边形ABCD为平行四边形．
5．D 点拨：熟练把握矩形，菱形，正方形以及平行四边形四者之间的关系是解此题的关键．
6．B
7．B 点拨：矩形和菱形都具有平行四边形的性质．
8．B 点拨：平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等．
9．C 点拨：OA=OC，OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AC=BD，所以ABCD是矩形．
10．B 点拨：找矩形纸按题目要求剪切，然后再拼一拼，只有B符合要求．
11．C
12．D 点拨：设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=2x°，∠D=3x°，因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即x°+2x°+2x°+3x°=360°，所以x°=45°，即∠A=45°，∠B=90°，∠C=90°，∠D=135°，该四边形是直角梯形．
二、13．10 点拨：因为EF=BF，EG=FO，所以四边形EGOF的周长等于正方形的对角线长．
14．AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）
点拨：因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC．又因为AE=BE，所以DE∥AC．同理可得DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形．又因为AE=AB，AF=AC，AB=AC，所以AE=AF，所以□AEDF是菱形．
15．30 点拨：因为AB=DC=8cm，CE=3cm，所以DE=5cm，由对称知识可知EF=DE=5cm，
则在Rt△ECF中，FC=4cm．设AD=xcm，则AF=xcm．BF=BC-FC=（x-4）cm．
在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，即x2=82+（x-4）2．解得x=10．所以BF=6cm，
所以S阴影=SRt△ABF+SRt△ECF=AB·BF+FC·CE=×8×6+×4×3=30（cm2）．
16．30° 点拨：由题意知平行四边形木框的高为AD的一半，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，∠DAB=30°．
三、17．解：四边形OAEB是矩形，理由：因为AE∥BO，BE∥AO，
所以四边形OAEB是平行四边形，又因为四边形ABCD是菱形，
故AC⊥DB．所以∠AOB=90°，所以平行四边形OAEB是矩形．
点拨：此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．
18．解法一：在□ABCD中，ADCB，OA=OC，所以∠EAO=∠FCO，
又∠AOE=∠COF，所以△AOE≌△COF，所以AE=CF，
因为ADBC，所以（AD-AE）（BC-CF），即DEBF，
所以四边形BEDF为平行四边形．
解法二：连结BD，如答图20-1所示，则AC，BD互相平分，BD必过点O．
同解法一得，△AOE≌△COF，所以OE=OF，所以四边形BEDF为平行四边形．
点拨：本题的两种解法或用一组对边平行且相等，或用对角线互相平分，但是无论哪种解法，都要利用三角形全等来得到相等线段．
19．解：（1）四边形AFED是菱形．
理由：因为EF∥AD，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以DE∥AF，
所以四边形AFED是平行四边形．因为DF是∠ADC的平分线，故∠ADF=∠EDF，
因为DE∥AF，所以∠EDF=∠AFD，所以∠AFD=∠ADF，
所以AD=AF，所以□AFED是菱形；
（2）如答图20-2所示，连结AE，与DF相交于O点，
因为∠DAB=60°，所以△ADF是等边三角形，所以FD=AD=5，
故OF=OD=，因为AE⊥DF，所以∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AO=．
故S菱形AFED=·OD·AO·4=×××4=．
20．解：（1）四边形ABED是等腰梯形，理由：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD=BC，又AD与BE不平行，所以四边形ABED是梯形，
因为BC=BE，所以AD=BE，所以四边形ABED是等腰梯形；
（2）因为∠D=60°，所以∠BCE=60°，所以△BCE是等边三角形．
在Rt△BCF中，设BC=x，则BF=x，（x）2+（）2=x2，x2=4，x=2，
所以DE=DC+CE=3+2=5．过B作BH⊥DE于H（如答图20-3），
则BH=CF=，且BH也是ABCD的高，所以SABCD =AB·BH=3．
点拨：本题中巧妙利用等边三角形的高都相等，这是关键一步．
21．解：李颖折出的菱形的面积为：×12×5=30（cm2）．
设张丰折出的菱形的边长为xcm，则有（12-x）2=x2-52，解得x=，
所以张丰折出的菱形的面积为×5=≈35.21（cm2），
因为35.21>30，所以张丰所折的菱形面积较大．
点拨：分别利用菱形面积公式求出各自折叠的菱形面积，然后进行比较即可．
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20.3 菱形的判定A卷
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm和4cm B．4cm和8cm C．8cm和8cm D．4cm和4cm
二、填空题
4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2
5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．
四、思考题
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
参考答案
一、1．A 点拨：本题用排除法作答．
2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，
所以AC=AB=×32=8（cm），AO=AC=4cm．
因为AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB==4（cm），
所以BD=2OB=8cm．
二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．
5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）
6．12cm；72cm2
点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°．
又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，
因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．
在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，
所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=12×6=72（cm2）．
7．4；4 点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，
又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，
由已知可得AE=2．在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，
所以DE=2，因为AC·BD=AB·DE，即AC·4=4×2，所以AC=4．
三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．
四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：
因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．
又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，
所以平行四边形PCOD是菱形．
20.3 菱形的判B卷
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
二、知识交叉题
2．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
三、实际应用题
3．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，DA，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少
个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形有多少个？
四、经典中考题
4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．
五、探究学习篇
1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问题，并加以说明．
2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE与BF相交于点O，求证：四边形ABEF是菱形．
证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以∠ABE+∠BAF=180°；④因为AE，BF分别平分∠BAF，∠ABE；⑤所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE；⑥所以∠1+∠3=（∠ABE+∠BAF）=90°；⑦所以∠AOB=90°；⑧所以AE⊥BF；⑨所以四边形ABEF是菱形，问：
（1）上述证明是否正确？
答：___________；
（2）如有错误，在第______步推理错误，应在第_____步后添加如下证明过程：
参考答案
一、1．解法一：四边形CDEF是菱形．
理由：如图所示，因为∠1=∠2，∠ACB=90°，DE⊥AB，
又BD=BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．
因为CH⊥AB，DE⊥AB，所以CH∥DE．所以CFDE．
所以四边形CDEF是平行四边形．
又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
解法二：四边形CDEF是菱形．理由：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．
因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以BC=BE．
又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=∠4．所以CF=CD．
又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，
又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．
点拨：解法一利用了菱形的定义，解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决，请同学们再进行探讨．
二、2．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．
因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．
因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，
所以EF与DK互相垂直平分．
点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
三、3．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．
（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．
同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
四、4．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，
又因为BE=DF，所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．
因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E是BC的中点，
所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，
同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，
所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，
所以△AEF是等边三角形．
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20.4 正方形的判定A卷
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．矩形四条内角平分线能围成一个（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、填空题
3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．
4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．
图1 图2 图3
5．如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则∠E的度数是______，BE的长度为____．
6．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=______．
三、解答题
7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．
四、思考题
8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：
（1）AF与DE相等吗？为什么？
（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由．
参考答案
一、1．C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．
2．D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．
二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°
点拨：还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF是菱形等条件．
4． 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=．
5．67.5°；2cm
点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，
所以∠DBC=45°，AD=AB=2cm．
在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，
所以BD=2cm，所以BE=BD=2（cm），
又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=（180°-45°）=67.5°．
6． 点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，
则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD．
在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE==，即PF+PE=．
三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，
因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．
点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．
四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，
所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF．
（2）AF与DE垂直．理由：如图，设DE与AF相交于点O．
因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，
所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA=90°，所以DE⊥AF．
20.4 正方形的判定B卷
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，P，Q，R，S分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD的边长．
二、知识交叉题
2．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线CE相交于点E，与∠BCA的外角平分线CF相交于点F．
（1）EO与FO的长度相等吗？说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；
（3）若要使四边形AECF成为正方形，则∠ACB的度数应为多大？
三、实际应用题
3．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上，如图，分别画图，并简述画图步骤）．
四、经典中考题
4．（莆田）如图所示，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是_____．
五、探究学习
1．（规律探究题）如图所示，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？说明理由．
2．（条件开放题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形（不另外添加辅助线，无需证明）．
3．如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……
（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，请求出a2，a3，a4的值．
（2）根据以上规律写出an的表达式．
参考答案
一、1．解法一：如图所示，设AQ，SC与DP，BR分别相交于点E，H，F，G．
因为∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，所以∠1=∠3．
在△DAE与△CDF中，∠1=∠3，∠AED=∠DFC=90°，AD=CD，
所以△DAE≌△CDF（A．A．S．），所以AE=DF．
同理可得BH=CG=DF=AE．
又因为SF∥AE，AS=SD，所以EF=DF，
同理可得AE=EH=BH=HG=CG=FG=DF=EF．
又因为S正方形EFGH=5，所以EF=．所以AE=，DE=2．
在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，即（）2+（2）2=AD2，
所以AD=5．即大正方形ABCD的边长为5．
解法二：如图，延长FS，过点A作AM⊥FS于点M．把△DFS绕S点逆时针旋转180°到△AMS的位置，易得四边形AEFM是正方形．用同样的方法又得到三个小正方形，
所以S正方形ABCD=5S正方形EFGH=5×5=25．所以AD=5．即大正方形ABCD的边长为5．
点拨：解法一用一般的逻辑推理，而解法二从旋转角度去考虑，简单易懂．旋转不改变图形状和大小这一性质用许多推理与计算中有较大的用处．
二、2．解：（1）EO与FO的长度相等．理由：因为EC平分∠ACB，所以∠OCE=∠BCE．
又因为EF∥BC，所以∠OEC=∠BCE，所以∠OCE=∠OEC，所以OE=OC．
同理可得OF=OC，所以OE=OF．
（2）当点O是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
因为OE=OF，OA=OC，所以四边形AECF是平行四边形．
又因为EC平分∠ACB，FC平分∠ACD，所以∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，
所以∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=×180°=90°，所以AECF是矩形．
（3）当O点是AC的中点，∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，
由（1），（2）可知四边形AECF是正方形．
又因为EF∥BC，所以∠EOC+∠ACB=180°，所以∠ACB=90°．
点拨：本题综合了角平分线的定义，平行四边形、矩形、正方形的判定等知识点．在问题中，三问是层层递进的，对于理解和掌握矩形、正方形的判别是大有好处的．
三、3．解：方案一：连结两条对角线，将正方形分为四个等腰直角三角形，如图（1）所示．方案二：连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个小正方形，如图（2）所示．方案三：连结AC，BD交于点O，过点O作EG交AB于E，交CD于G，过点O作FH⊥EG，交AD于H，交BC于F．如图（3）所示． 点拨：若利用旋转变换本题不难解释，以四份中的一份为基本图形绕点O依次旋转90°，180°，270°前后图形共同组成的正方形．
四、4．10
五、探究学习
1．解：规律：重叠部分的面积总等于．
理由：因为四边形ABCD是正方形，
所以OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=∠EOF=90°．
所以∠BOC-∠BOF=∠EOF-∠BOF，即∠BOE=∠COF．
所以△BOE≌△COF，所以S△BOE=S△COF，
所以两正方形重叠部分的面积=S△BOC=S正方形ABCD=．
所以当正方形A′B′C′D′绕O点旋转时，两正方形重叠部分的面积不变，总是．
点拨：先利用旋转变换，当OA′，OC′分别经过点B，C时，重叠部分为△BOC，由此猜想重叠部分面积为，然后再进行说明．
2．（1）证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C．
因为∠BED=∠CFD=90°，BD=CD，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．
（2）解：∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形．
点拨：（2）的方法很多，如∠B=45°，或BC=AB，或DE⊥DF，或F为AC中点，或DF∥AB等．
3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=1，∠B=90°，
所以在Rt△ABC中，AC==，
同理，AE=2，EH=2，…，即a2=，a3=2，a4=2．
（2）an=（）n-1（n为正整数）．
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华东师大版数学八年级（下）
第20章 平行四边形的判定测试
（答卷时间：50分钟，全卷满分：100分）
姓名 得分
一、认认真真选，沉着应战！（每小题3分，共36分）
1．下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对边平行，一组对角相等 D．两条对角线互相垂直
2．用两个边长均为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．既是矩形，又是菱形的四边形是正方形 B．正方形是对角线相等的菱形
C．正方形是对角线互相垂直的矩形 D．正方形是对角线互相平分的平行四边形
4．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．在下列性质中：①对角线互相平分；②对边相等；③对角线互相垂直且相等；④对角 相等．矩形和菱形都具有的性质是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．③④
6. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )
（A）对角线互相垂直 （B）对角线互相平分 （C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角
7. 如图(1)，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
（A） （B） （C） （D）
(1) (2) (3)
8．在梯形中，∥，那么可以等于（ ）
（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：6
9．如图(2)，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE＝5，DF＝10，则的面积等于( )
（）87.5 （）80 （C）75 （D）72.5
10． A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD; ②AB=CD; ③BC∥AD; ④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
（）3种 （）4种 （C）5种 （D）6种
11．如图(3)，、、分别是三角形ABC各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）
（） （） （） （）不能确定
12．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比是1：2：2：3，则这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．直角梯形
二、仔仔细细填，记录自信！(每小题3分，共15分)
13．如图8所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
图8 图9
14．如图9所示，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的一半，则这个平行四边形木框的最小的一个内角为________．
15．一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且，则这个四边形是_______________．
16. 梯形的上底长为，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_________。
17. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为 ( http: / / www.1230.org )3：4，则菱形的面积为________.
三、平心静气做，展示智慧！
18．(8分)已知：如图，□中，、分别是、上的点， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。
19．(8分)如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CE．
20．(10分)如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
21．(11分)如图所示，O为□ABCD对角线AC的中点，EF经过点O交AD于点E，交BC于点F，连结BE，DF，试说明四边形BEDF为平行四边形．
22．(12分)如图，正方形的边在正方形的边上，连结、．
（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
H
F
E
D
C
B
A
F
B
E
D
C
A
N
M
F
E
D
C
B
A
A
B
E
C
D
A
E
F
G
C
B
D
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20.2 矩形的判定A卷
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
二、填空题
4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．
图1 图2
5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．
6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．
三、解答题
7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．
四、思考题
8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？
参考答案
一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．
2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．
3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．
二、4．8cm
5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=AC．
6．8cm；4cm
三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，
又因为∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠CBA．
所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．
同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．
四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
所以∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD．所以∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°．
又因为AE⊥CE，AF⊥CF，所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．
点拨：本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．
20.2 矩形的判定B卷
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？
二、知识交叉题
2．（当堂交叉题）如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？
三、实际应用题
3．如图所示是一个书架，你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？
四、经典中考题
4．（连云港）已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
五、探究学习
1．（图形方案设计题）正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：
如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
图1 图2
2．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．
3.已知：如图所示，ABCD中，AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，边长为6，求这个平行四边形的面积．在解答本题时合作学习小组中有两种做法：
甲生：因为OA=6，所以AC=12．因为AB=6，所以BC==6，
所以SABCD =AB·BC=6×6=36．
乙生：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=AC，OB=OD=BD．
又因为在等边△AOB中，OA=OB=AB=6，所以AC=BD=12．所以ABCD是矩形，
所以∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==6，
所以S□ABCD =AB·BC=6×6=36．
分析以上两种解法，说明两种解法的对错，如果有错误指出错误的原因．
参考答案
一、1．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．
因为PE⊥AB，CD⊥AB，PH⊥CD，所以∠PED=∠EDH=∠DHP=90°．
所以四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．
又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．
又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC．
所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．
图1 图2
解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，
因为PE⊥AB，CD⊥AB，CH⊥EH，所以∠HED=∠EDC=∠CHE=90°．
所以四边形HEDC是矩形．所以EH=PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．
又因为AB=AC，所以∠B=∠ACP．所以∠HCP=∠FCP．
又因为PC=PC，∠H=∠CFP，所以△PHC≌△PFC，
所以PH=PF，所以PE+PF=DC．
点拨：要说明DC=PE+PF，一般有两种思路：过P点作PH⊥DC，垂足为H，再说明PE=DH，PF=HC（即可；也可过C点作CH⊥EP，交EP的延长线于H，再说明EH=DC，PH=PF．
二、2．解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．
所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，
所以∠CAE=∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．
又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE=BD，所以AE=DC．
又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．
又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．
点拨：要判断四边形ADCE是否为矩形，通过分析图形，先猜想其为矩形，再进一步验证，可通过等腰三角形的三线合一性及平行四边形的性质得出结论．
三、3．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，若两组对边分别相等，则说明书架是平行四边形；再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．根据对角线相等的平行四边形是矩形． 点拨：在解此题时，很多同学往往只会想到量一下对角线就下结论而导致出错．
四、4．D
五、探究学习
1．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：
方法一：如图（1），方法二：如图（2）
点拨：本题属于方案设计题，设计的方法不惟一．
2．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则沿DG折叠时，DA与DE重合，
则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD==，
所以BE=BD-DE=BD-AD=-1，BG=AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．
在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=（-1）2+x2，
解得x=，即AG=．
点拨：（1）图形的折叠问题实质上是轴对称问题；（2）解决本题的关键是把方法集中到Rt△BEG中去利用勾股定理．
3.解：甲生错误．甲生在解题过程中，直接利用□ABCD是矩形是个错误，因为□ABCD是矩形已知条件中没有，没有证明，不能应用这个条件直接解题．乙生正确．
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华东师大版数学八年级（下）
第20章 平行四边形的判定测试
（答卷时间：90分钟，全卷满分：100分）
姓名 得分____________
一、认认真真选，沉着应战！（每小题3分，共30分）
1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )
（A）对角线互相垂直 （B）对角线互相平分 （C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角
2. 如图(1)，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
（A） （B） （C） （D）
(1) (2) (3)
3．在梯形中，∥，那么可以等于（ ）
（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：6
4．如图(2)，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE＝5，DF＝10，则的面积等于( )
（）87.5 （）80 （C）75 （D）72.5
5． A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD; ②AB=CD; ③BC∥AD; ④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
（）3种 （）4种 （C）5种 （D）6种
6．如图(3)，、、分别是各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）
（） （） （） （）不能确定
7. 如图（4）：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．如图（5），在梯形中，∥，，，平分，如果这个梯形的周长为30，则的长 （ ）
（）4 （）5 （）6 （）7
9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．
已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两
个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于( )
（A）90° （Ｂ）60°
（Ｃ）45° （Ｄ）30°
10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b， 都有a+b≥2成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm． 则x的值是（ ）
(A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60
二、仔仔细细填，记录自信！(每小题2分，共20分)
11．一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4，则这个四边形是_______________．
12．在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条件中，选取三个推出四边形是菱形．如（1）（2）（5）是菱形，再写出符合要求的两个： 是菱形；
是菱形．
13. 如图，已知直线把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）
(第13题) (第16题)
14. 梯形的上底长为，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_________。
15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为 ( http: / / www.1230.org )3：4，则菱形的面积为________.
16．如图，在梯形中，，对角线，且cm，cm，则此梯形的高为 cm．
17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_________.
(第17题) (第18题) (第19题)
18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .
19. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
20．如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置
的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
三、平心静气做，展示智慧！
21．(8分)已知：如图，□中，、分别是、上的点， HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。
22．(8分)如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CE．
23．(10分)如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
24．(12分)如图，正方形的边在正方形的边上，连结、．
（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
25．(12分)如图1、 2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
参考答案
一、1—5：CBABB 6—10：AACBA
二、 11．平行四边形
12．略
13．略
14．33
15．96
16． 4.8
17. 4
18．
19．
20．8
三、21．提示：先证四边形为平行四边形，再证
22．证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠EAB=∠EDC，EA=ED，∴△ABE≌△DCE，∴EB=EC．
23．证△ABF≌△DEA
24．（1）．
证明：在△和△中，
四边形和四边形都是正方形，
，，
，
△△，
．
（2）由（1）证明过程知，存在，是Rt△和Rt△． 将Rt△绕点顺时针旋转，可与Rt△完全重合．
25．⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）
此时，DE=EF
H
F
E
D
C
B
A
F
B
E
D
C
A
E
D
C
B
A
R
Q
P
（4）
D
C
B
A
（5）
A
B
C
D
N
M
D
C
B
A
A
D
C
B
……
N
M
F
E
D
C
B
A
A
B
E
C
D
A
E
F
G
C
B
D
图1
图2
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20.5 等腰梯形的判定A卷
一、选择题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形
2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（ ）
A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm
二、填空题
4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_____，对角线为______．
5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．
三、解答题
7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．
求证：四边形ADCE是等腰梯形．
四、思考题
8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD参考答案
一、1．D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．
2．B 点拨：因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，
所以共有3对全等的三角形．
3．C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，
所以梯形面积为L2=450，解得L=30，
所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）．
二、4．4：
点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．
在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，
所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=．
5．7；31
点拨：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．
因为AD∥BC，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．
所以BE=AD=5（cm），AB=DE．
又因为AB=CD，所以DE=DC，
又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形，
所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+12+7+7=31（cm）．
6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）
三、7．证明：因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．
又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，
所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以∠OCE=∠OEC，
又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，
而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．
又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=AE，
所以四边形ADCE是等腰梯形．
点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．
四、8．解：四边形ABCD是等腰梯形．
理由：延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC．
又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD=∠EDA．
因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B．
故AD∥BC．又AD又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．
点拨：由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD20.5 等腰梯形的判定B卷
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，∠BAD=120°，求下底BC的长．
二、知识交叉题
2．（科内交叉题）如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由．
三、实际应用题
3．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD交叉摆放，并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA四、经典中考题
4．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．
五、探究学习篇
1．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长．
2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
（1）试说明△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是什么图形？请说明理由．
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？请说明理由．
3．阅读：下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：在四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形．
解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1 ①．因为AB=DC，AC=DB，BC=CB ②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB ③，所以∠1=∠DCB ④，所以AB=DC=DE ⑤，所以四边形ABCD是平行四边形 ⑥，所以AD∥BC ⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形 ⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形 ⑨．阅读填空：
（1）说明过程是否有错误？错在第几步？答：_______．
（2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？为什么？
答：___________．
（3）若题目中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？
答：___________．
参考答案
一、1．解法一：如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，
在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，
因为∠BAD=120°，所以∠B=60°．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，所以BE=AB=6cm．
因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°，所以CF=CD=6cm．
因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm．
图1 图2 图3
解法二：如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点，
因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE．
又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，因为∠BAD=120°，所以∠B=60°，
因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，
所以BE=AB=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）．
解法三：如图3所示，延长BA和CD交于点P，
在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C，
因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°．
因为∠BAD=120°，
所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°，所以△PAD和△PBC都是等边三角形．
所以PA=AD=15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm．
点拨：以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想．
二、2．解：四边形EBCF是等腰梯形．理由如下：
因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，AD=BC．
又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB．
又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE．
因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．
又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC，
所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．
因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形．
因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF，
所以四边形EBCF是等腰梯形．
点拨：本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形．
三、3．解：小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下：
如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC．
所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC，
所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4，
因为∠3+∠4+∠E=180°，∠ADC+∠BCD+∠E=180°，
所以∠3=，∠ADC=，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD，
又因为OA所以四边形ABCD是等腰梯形．
点拨：要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出．
四、4．证明：如图所示，（1）因为∠A=90°，AB∥DC，所以∠ADE=90°．
由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°．
所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．
所以四边形ADEF是正方形．
（2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，
所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG．
在△AGD与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE，
所以∠DGA=∠EGB．因为BG=CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．
所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB=∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形．
五、探究学习
1．解：因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．
又因为∠DBC=45°，所以∠EBD=∠EDB=45°，所以∠BED=90°．
过A作AH⊥BC于H，如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°．
又因为∠AHE=90°，所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE．
在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt△ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC．
所以EC=×（BC-AD）=×（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5．
点拨：要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°，故联系梯形常作辅助线，易求EC的长．
2．解：（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．
因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM．
（2）四边形MENF是菱形．理由：由△ABM≌△DCM，得MB=MC．
连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC，
而E，F分别是MB，MC的中点，
所以ME=MB，MF=MC，NE=MB，NF=MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以ME=MF=NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；理由：因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°．
由（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=BC．
点拨：在（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点．
3．解：（1）没有错误；（2）第⑧步不是多余的，因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形．
点拨：做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题．
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