(共29张PPT)
1.1.1
空间向量及其线性运算
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内,联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.
新知讲解
知识点一
空间向量的概念
1.定义：在空间，具有
和
的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的
.
3.表示方法：
①几何表示法：空间向量用
表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作
，其模记为|a|或|
|.
有向线段
大小
大小
方向
新知讲解
4.几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
的向量叫做零向量，记为0
单位向量
的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度
而方向
的向量，称为a的相反向量，记为－a
共线向量
(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有
相等向量
方向
且模
的向量叫做相等向量
长度为0
模为1
相等
相反
相同
相等
新知讲解
答案 是，对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
思考 空间中的任意两个向量是不是共面向量？
新知讲解
知识点二
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
?
减法
数乘
?
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
新知讲解
答案 不能.λa＝0?λ＝0或a＝0.
思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和
向量是否与相加的顺序有关？
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.
加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
思考2 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
新知讲解
知识探究一
图1
知识运用
正确答案：C
新知讲解
知识探究二
知识运用
新知讲解
知识探究三
图2
新知讲解
图3
知识运用
新知讲解
新知讲解
知识探究四
知识运用
图4-1
新知讲解
图4-1
证明：
课堂练习
B
课堂练习
D
课堂练习
C
课堂练习
课堂练习
课堂练习
ABC
课堂总结
1.知识清单：
(1)向量的概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：对空间向量的理解
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
板书设计
1.1.1空间向量及其线性运算
1、空间向量的概念
2、向量的线性运算
PPT
例题讲解
作业布置
教材课后练习题：1、2、3题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
1.1.1空间向量及其线性运算教学设计
课题
1.1.1空间向量及其线性运算
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
学习目标
（1）知识与技能：1、理解和掌握空间向量的基本概念；
2、掌握空间向量的基本运算.（2）过程与方法：通过高一学面向量相关知识，推广引申，理解和掌握空间向量的线性运算.（3）情感态度与价值观：培养学生的类比思维，类比学习空间向量，运用向量的概念和运算解决问题，增强学生的逻辑思维，培养学生的开拓创新能力.
核心素养
（1）逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直.（2）直观想象：向量运算的几何意义.（3）数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律.
重点
空间向量的概念及其线性运算
难点
理解空间向量的线性运算
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
PPT展示的是一个做滑翔伞运动的场景．可以想象，在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我们类比平面向量研究空间向量,先从空间向量的概念和表示开始.
发挥想象，思考知识之间的一致性.
介绍知识背景，提起学生的兴趣.
讲授新课
活动一、让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。
请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。
请学生比较与平面向量的异同。向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。注意：（1）印刷体用黑体，书写要带向量箭头.（2）空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.活动二、数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算、由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此,我们把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算.线性运算：交换律，结合律，分配律
教师注重比较，将关键知识点展现给学生.
通过比较，既复面向量的基本概念，又能使学生更好的理解空间向量，培养学生的类比思想，提高学生举一反三的能力.
课堂探究
知识探究一、如图1，在平行六面体中，分别标出,
表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗?一般地,三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?可以发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变例1
在空间四边形中，等于（
）A.
B.
C.
D.
答案：C知识探究二、对任意两个空间向量与，如果,与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系，？对任意两个空间向量，，，的充要条件存在实数，使例2在平行六面体中，若,则
.答案：6解析：在平行六边形中，有，且,所以有，，，解得，，，所以.知识探究三、（方向向量与共面向量的概念）由图2可知，存在实数，使得，我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量由图3，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线重合，那么向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.例3.如图所示，在平行六面体中，设，，，,,分别是,,的中点，试用，，表示以下各向量：（1）;
（2）;（3）.解：（1）因为是的中点，，.（2）因为是的中点，同理可得：.（3）同理可得：.知识探究四、对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知,这个平面内的任意一个向量可以写成,其中是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量,，如果,那么向量与向量,有什么位置关系?反过来，向量与向量,有什么位置关系时,
?解析：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.例4
如图4-1，已知平行四边形,过平面外一点作射线,,,,在四条射线上分别取,,,,使，求证,,,四点共面.解析：因为,所以,,,.因为四边形是平行四边形，所以.因此
学生根据环环相扣的探究问题题，探究空间向量及其线性运算.发展学生的几何直观和数学运算的核心素养.学生理解向量之间的线性关系思考问题，发挥想象.通过例题让学生掌握本节课知识,并能够灵活运用.回顾平面向量基本定理，思考空间向量中是否存在此位置关系.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.有助于学生理解向量之间的关系理解方向向量和共面向量的概念.有助于学生建立起空间向量的意识，发展学生的几何直观的核心素养
随堂练习
1．下列说法中正确的是（
）A．若，则，的长度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形中，一定有2．如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（
）A．与
B．与
C．与
D．与3．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（
）A．B．C．D．4．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（
）A．B．C．D．答案：1、B
2、D
3、C
4、ABC
学生动笔思考，巩固新知.不会的地方及时反映.学生和教师共同探究完成4个练习题。
注重学生对知识的把握，理解知识，发展学生的类比思维，培养学生几何直观和数学运算的核心素养.通过这4个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
1.知识清单：(1)向量的概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.2.方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
教师引导学生进行总结归纳.
回想本节课学的内容.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力
板书设计
1.1.1空间向量及其线性运算1、空间向量的概念2、空间向量的线性运算PPT例题讲解
学生做好笔记，能一目了然本节课学的内容.
展现本节课的基本要点，让学生能注意到本节课的重点.
图1
图4-1
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精品试卷·第
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（共
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