28.1.3圆周角（1）课件

(共34张PPT)
28.1.3 圆周角 (1)
一、旧知回放:
1.圆心角的定义
.
O
B
C
答：相等.
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
B
3、下列命题是真命题的是( )
1)垂直弦的直径平分这条弦
2)相等的圆心角所对的弧相等
3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)
课前热身
4、如图，⊙O中，∠AOB=100 ，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。
A
O
B

n
100
260
√
×
×
×
×
5、判断题：
(1)相等的圆心角所对的弧相等 。
(2)等弦对等弧 。
(3)等弧对等弦 。
(4)长度相等的两条弧是等弧 。
(5)平分弦的直径垂直于弦 。
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况
探索1:
二、探索新知：
A
.
O
B
C
.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？
.
.
A
O
B
C
.
O
B
C
A
.
探索:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
思考：
问题：画一个圆，以A、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆
周角和圆心角之间有的关系.
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
A
B
C
●O
A
B
C
●O
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
理解并掌握这个模型.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
D
圆周角和圆心角的关系
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
D
D
圆心在角的边上
圆心在角外
圆心在角内
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
归 纳
2、如图，在⊙O中，若弧AB等于弧EF，能否得到∠C = ∠G呢？
可以得到∠C=∠G
∵同圆中，等弧所对的圆周角相等。
用于找相等的弧
用于找相等的角
探 究
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
证明：
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
⌒
分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB.则
∠ACB= ∠AOB. BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
⌒
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
练习：
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角X的度数
130°
A
O
.
X
120°
C
C
D
B
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
25
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
×
√
.
O
36 或144°
2 、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角
∠ACB=_____、∠ADB=______。
D
A
O
C
B
1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是 。
二、计算
130
50
·
A
B
C1
O
C2
C3
圆周角定理及推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
定 理
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推 论
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。
1、判断：
（1）等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ ）
（3）90。的角所对的弦是直径。 （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等。 （ ）
√
X
X
X
O
A
B
C
巩 固 练 习
5、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求 ∠A的度数。
⌒
⌒
4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35 ，求∠BOC的度数。
解∵AB=AC
∴∠ABD=∠ADB=35
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70 ∴∠BOC=2∠BAC=140
解:连接CD
∵∠BOC=84 ∴∠BAD= ∠BOC=42
∵BC=2DE∴DE为42 的弧
∴∠DCE=42 × =21
∴∠A=∠BDC-∠DCE=42 -21 =21
⌒
⌒
⌒
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系
为什么
3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗
拓展 化心动为行动
1.如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
●O
C
A
B
D
(1)
●O
B
A
C
D
E
(2)
●O
A
B
C
(3)
∠B=∠D=∠E
∠C=130
∠C=90
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。
归 纳
如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、BD的长
2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：AB · AC = AE · AD
A
O
B
C
D
E
分析：要证AB · AC = AE · AD
则证△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB即可.
即要证
小结：
思想方法：一种方法和一种思想：
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．
分类时应作到不重不漏；
化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题．
结束寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
A
B
C
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
A
B
C
D
圆周角
在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
●O
B
A
C
B
A
C
思考：图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
圆周角
圆周角: ∠ABC, ∠ADC, ∠AEC.
这三个角的大小有什么关系 .
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
E