离散型随机变量的期望与方差（教案）
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教学目的：
1、了解离散型随机变量的期望的意义
2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
教学重点：离散型随机变量的期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望
授课类型：新授课
教学过程：
一、引入：
校庆时教师进行投篮比赛，每人投篮3次，
某位老师投篮进框的个数ξ为 0,1,2,3
假设投篮进框的个数ξ的分布列为
问：在这位老师没有投篮之前，你能估计他投入多少个吗？
今天我们所学习的离散型随机变量的期望主要就是用来解决这一类问题
二、讲解新课：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
注：（1） 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（2）平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2、 期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
那么下面我们一起来学习如何利用期望去估计某个事件发生所能达到的水平
三、讲解范例：
例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，
所以
即，这位运动员投篮一次估计得分0.7
由这个例子我们可以总结出求期望的步骤：
1 判断ξ，并找出ξ的取值
2 列出ξ的分布列
3 根据定义求出Eξ
下面，我们根据这个步骤一起来求下抛掷一枚骰子的期望
例2、随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，
=3.5
即，抛掷一枚骰子得到的点数估计是3.5
现在回头看看刚刚的例子，那位老师投篮3次估计能进多少个球？
答：2个
课堂小练：
1、已知ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则Eξ= -0.3
2、若Eξ= 3，η = 2ξ＋4，则 Eη = 10
3、一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，求其中所含白球个数ξ的期望.
解：所含的白球个数ξ为0,1,2,3
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1/12 5/12 5/12 1/12
所以
期望除了帮助我们了解事件发生可能达到的水平之外，还可以帮助我们对比两个事件的优劣，如何比较呢？请看下面的例子
例3、两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现次品数ξ1、 ξ2 的分布列是
ξ1 0 1 2 3
P 0.4 0.2 0.3 0.1
ξ2 0 1 2 3
P 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？
解：
因为
所以 第二台机床较好
例4、某商场周末举行促销活动，若在商场内举行促销活动,可获利 2 万元；若在商场外举行促销活动，不下雨可获利 10万元，下雨则要损失4万元。周末下雨的概率是0.4，则该商场选择哪种促销方式较好？
解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为ξ万元，
ξ -4 10
P 0.4 0.6
则ξ的分布列为
Eξ= 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元>2万元
所以，应选商场外举行的方案
四、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ
五、课后思考
老师投篮比赛，若每个老师投篮10次，某位老师一次投篮进框的概率为p=0.7，则这位老师10次投篮进框的个数ξ的期望。
你还有更简便的方法去求Eξ吗？
六、课后作业:
P18 1
0.3
0.5
0.1
0.1
P
3
2
1
0
ξ
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教学目的：
1、了解离散型随机变量的期望的意义
2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
教学重点：离散型随机变量的期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望
授课类型：新授课
教学过程：
一、引入：
校庆时教师进行投篮比赛，每人投篮3次，
某位老师投篮进框的个数ξ为 0,1,2,3
假设投篮进框的个数ξ的分布列为
问：在这位老师没有投篮之前，你能估计他投入多少个吗？
今天我们所学习的离散型随机变量的期望主要就是用来解决这一类问题
二、讲解新课：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
注：（1） 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（2）平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2、 期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
那么下面我们一起来学习如何利用期望去估计某个事件发生所能达到的水平
三、讲解范例：
例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，
所以
即，这位运动员投篮一次估计得分0.7
由这个例子我们可以总结出求期望的步骤：
1 判断ξ，并找出ξ的取值
2 列出ξ的分布列
3 根据定义求出Eξ
下面，我们根据这个步骤一起来求下抛掷一枚骰子的期望
例2、随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，
=3.5
即，抛掷一枚骰子得到的点数估计是3.5
现在回头看看刚刚的例子，那位老师投篮3次估计能进多少个球？
答：2个
课堂小练：
1、已知ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则Eξ= -0.3
2、若Eξ= 3，η = 2ξ＋4，则 Eη = 10
3、一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，求其中所含白球个数ξ的期望.
解：所含的白球个数ξ为0,1,2,3
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1/12 5/12 5/12 1/12
所以
期望除了帮助我们了解事件发生可能达到的水平之外，还可以帮助我们对比两个事件的优劣，如何比较呢？请看下面的例子
例3、两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现次品数ξ1、 ξ2 的分布列是
ξ1 0 1 2 3
P 0.4 0.2 0.3 0.1
ξ2 0 1 2 3
P 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？
解：
因为
所以 第二台机床较好
例4、某商场周末举行促销活动，若在商场内举行促销活动,可获利 2 万元；若在商场外举行促销活动，不下雨可获利 10万元，下雨则要损失4万元。周末下雨的概率是0.4，则该商场选择哪种促销方式较好？
解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为ξ万元，
ξ -4 10
P 0.4 0.6
则ξ的分布列为
Eξ= 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元>2万元
所以，应选商场外举行的方案
四、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ
五、课后思考
老师投篮比赛，若每个老师投篮10次，某位老师一次投篮进框的概率为p=0.7，则这位老师10次投篮进框的个数ξ的期望。
你还有更简便的方法去求Eξ吗？
六、课后作业:
P18 1
0.3
0.5
0.1
0.1
P
3
2
1
0
ξ
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