平面向量的数量积及运算律 .ppt

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平面向量的数量积及运算律
第一课时
情景创设
问题1、前面我们已经学习了向量与向量的加法、减法
及实数与向量的积 ，这三种运算得到的结果都是什么？
向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种运算的结果
又是什么呢？
C、重心
D、垂心
知识回顾
问题2 、 物理学中，如果一个物体在力F的作用下产生位移S（如下图），那么力F对物体所做的功是多少？
θ
s
F
问题3、在向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”这一概念，那么如何定义两个向量的夹角呢？
定义1、向量a与b的夹角:
练习1 请同学们指出下列图中两个向量 、 （或 ）的夹角．
结论1、向量a与b的夹角的取值范围：
[0， ]
同向：0度
反向：180度
钝角
锐角
特殊情况：当向量a与b的夹角为0°时，这两个向量同向；当向量a与b的夹角为180°时，这两个向量反向；当向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
问题4、零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0 a＝0．
定义2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b＝|a||b|cosθ．
注意：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定。
（2）数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合．
（3）“。”不能省略，a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
（错误）
（正确）
（错误）
（错误）
（错误）
例2、已知在△ABC中 ，
试判断这个三角形的形状。
解：
，过点B作
垂直于直线OA，垂足为 ，则
| b | cosθ
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
定义3：
平面向量数量积的几何意义：两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积。
结论2
动动脑筋
向量a 在b 方向上的投影是？
答：向量a 在b 方向上的投影是| a | cos 。
O
A
B
b
a
（1） e · a=a · e=
（2） a⊥b
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b = -| a | · | b | ．
特别地
（4）
问题5 向量的数量积有什么性质？
| a | cos
a · b=0 (两向量垂直的充要条件)
设a,b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向量，
是a与e的夹角，∵ a · b =| a | · | b |cos ，则
问题6 向量的数量积有什么样的运算性质？
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
（1） a·b=b·a（交换律）；
（2）(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)（数乘结合律）
（3）(a＋b)· c=a·c＋b·c（分配律）．
下面是第（3）个的证明过程
A
O
B
C
C、重心
D、垂心
问题7：向量的数量积满足结合律吗？
即 (a·b)· c=a· (b·c)吗
答:不满足，即 (a·b)· c≠a· (b·c)。
因为(a·b)· c表示与c共线的向量，
而a· (b·c)表示与a共线的向量。
由于a 与c不一定共线，
故在一般情况下(a·b)· c≠a· (b·c)。
巩固提高
练习5、 已知正△ABC的边长为2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
求a b，a c 。
A
B
C
a
b
c