9.4菱形的性质与判定-2020-2021学年苏科版八年级数学下册专题复习提升训练（机构）（含答案）

专题复习提升训练卷9.4菱形的性质与判定-20-21苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
2、若四边形ABCD为菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AB＝CD
3、在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则该菱形的面积是（　　）
A．10 B．40 C．96 D．192
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．7 C．4 D．3

(5) (6)
5、如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．24
6、如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 ( )
A.AB=AC B.AD=BD C.BE⊥AC D.BE平分∠ABC
7、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E，F分别是边BC，CD的中点，则△AEF的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．3

(8) (9) (10)
8、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，
∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．40 B．24 C．20 D．15
9、如图所示,在?ABCD中,AE平分∠DAB交CD于点E,EF∥AD交AB于点F.若AB=9,CE=4,AE=8,
则DF的长为 ( )
A.4 B.8 C.6 D.9
10、如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），顶点D在y轴正半轴上，
则点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，5） C．（﹣5，5） D．（﹣5，4）
11、如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（　　）
A．EF＝DO B．EF⊥AO C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形

(12)
12、如图,分别以直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC;
②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD.其中正确的结论是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题
13、如图，在菱形ABCD中，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是____．

(13) (14) (15)
14、如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为________cm2.
15、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，
则点P到BC的距离是　 　．
16、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：
①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是　 　．

(17) (18)
17、如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的有　 　 （填序号）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
18、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2．
19、如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；
②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　 　．

(20) (21)
20、如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　 　．
21、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有_______（只填写序号）.
22、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是__________

(23) (24)
23、如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,GH∥AB,
下列结论正确的是 .(填序号)
①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP; ③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.
24、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为　 　．
三、解答题
25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AB＝6，求菱形ABCD的面积．
26、如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4，求DE的长．
27、如图，在?ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EP分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）当∠DOE＝　 　°时，四边形BFDE为菱形？
28、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，
请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
29、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形AODF是平行四边形；
（2）当△ACD满足什么条件时，四边形AODF是菱形？请说明理由．
30、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
31、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．
（1）求证：EB＝ED；
（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，
①试判断△ABF的形状，并加以证明；
②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．
32、已知：如图，在?ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当?ABCD满足　 　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
专题复习提升训练卷9.4菱形的性质与判定-20-21苏科版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边平行
解：A、菱形、平行四边形的对角线互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对边分别平行，故D选项不符合题意；
故选：C．
2、若四边形ABCD为菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AB＝CD
解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，AC⊥BD；
故选项B、C、D不符合题意；
∵菱形的对角线不一定相等， ∴AC＝BD，不一定成立，故选项A符合题意；
故选：A．
3、在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则该菱形的面积是（　　）
A．10 B．40 C．96 D．192
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×12×16＝96；
故选：C．
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是( A )
A．8 B．7 C．4 D．3

5、如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．24
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点P是AB的中点，∴AB＝2OP，
∵PO＝2，∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4＝16，
故选：C．
6、如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 (D )
A.AB=AC B.AD=BD C.BE⊥AC D.BE平分∠ABC
7、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E，F分别是边BC，CD的中点，则△AEF的周长为( B )
A．2 B．3 C．4 D．3
8、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．40 B．24 C．20 D．15
【解析】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，
故选：B．
9、如图所示,在?ABCD中,AE平分∠DAB交CD于点E,EF∥AD交AB于点F.若AB=9,CE=4,AE=8,
则DF的长为 ( C )
A.4 B.8 C.6 D.9
10、如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），顶点D在y轴正半轴上，
则点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，5） C．（﹣5，5） D．（﹣5，4）
解：∵菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），∴CD＝AD＝AB＝5，OA＝3，
∴OD＝＝＝4
∵AB∥CD，∴点C的坐标为（﹣5，4） 故选：D．
11、如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（　　）
A．EF＝DO B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形
【解析】解：∵菱形ABCD，∴BO＝OD，BD⊥AC，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，∴EF＝DO，EF⊥AO，
∵E是AB的中点，O是BD的中点，∴2EO＝AD，
同理可得：2FO＝AB，
∵AB＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形EOFA是菱形，
∵AB≠BD，∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，
故选：D．
12、如图,分别以直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC;
②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD.其中正确的结论是 ( C )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题
13、如图，在菱形ABCD中，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是__24__．

14、如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为________cm2.
　图8
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，
又∵周长为24 cm，即BD＝AB＝6 cm，
在Rt△AOD中，OD＝BD＝3 cm，
∴AO＝＝＝3 cm，
∴AC＝2AO＝6，菱形的面积＝AC·BD＝×6×6＝18 cm.
15、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，
则点P到BC的距离是　 　．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PE＝5，
∴点P到BC的距离等于5，
故答案为：5．
16、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：
①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是　 　．
【解析】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AD＝AB，CD＝CB，
∵AD＝BC，∴AD＝CD＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴①AD∥CB，正确；
②AC⊥BD，正确；
③AO＝OC，正确；
④AB不一定垂直于BC，错误．
故正确的是①②③． 故答案为：①②③．
17、如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的有　 　 （填序号）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
则能使?ABCD是菱形的有①或③．
18、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2．
【解析】∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∴阴影部分的面积=S菱形ABCD=×20＝10（cm2）．
故答案为：10．
19、如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；
②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　 　．
【解析】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°．
20、如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　 　．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO=AC=×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，∴OE=BD=×8＝4，
故答案为：4．
21、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有___①②③④____（只填写序号）.

22、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是______1_______
23、如图,在菱形ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,GH∥AB,
下列结论正确的是 ①②④ .(填序号)
①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP; ③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.

24、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为　 　．

【解析】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，OA＝3cm，OB＝4cm，∴AB＝＝5（cm）．
故答案是：5cm．

三、解答题
25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AB＝6，求菱形ABCD的面积．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，
又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，BE＝CD，BD＝CE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝CD＝6，
∴CE⊥AC，BE＝AB＝BC＝CD＝6，∴AE＝AB+BE＝12，
∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，
∵∠E＝60°，∴△BCE是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴BD＝CE＝BC＝6，AC＝CE＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×6×6＝18．
26、如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4，求DE的长．
解：(1)易证△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝60°.
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝120°，即∠ABC＝120°
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，
AO＝AC＝×4＝2，由(1)可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2
27、如图，在?ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EP分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）当∠DOE＝　 　°时，四边形BFDE为菱形？
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，AD∥BC， ∴∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，， ∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形；理由如下：
由（1）得：四边形BFDE是平行四边形，
若∠DOE＝90°，则EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形； 故答案为：90．
28、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，
请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
解答：四边形GECF是菱形，
证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，∴GE＝CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；∴GE＝EC，
∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE＝∠GEA．
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴GE＝EC＝FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECF是菱形．
29、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形AODF是平行四边形；
（2）当△ACD满足什么条件时，四边形AODF是菱形？请说明理由．
解答：（（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AF∥BD，∴∠EAF＝∠EOB，
∵点E为AO的中点，∴AE＝OE，
在△AEF和△OEB中，，∴△AEF≌△OEB（ASA），∴AF＝OB，∴AF＝OD，
又∵AF∥OD，∴四边形AODF是平行四边形；
（2）解：△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°时，四边形AODF是菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，OA＝OC， ∴OD＝AC＝OA，
∵四边形AODF是平行四边形， ∴四边形AODF是菱形．
30、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
解答：（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∴AD＝BD，
∵CE＝AD，∴BD＝CE，
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．
31、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．
（1）求证：EB＝ED；
（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，
①试判断△ABF的形状，并加以证明；
②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴EA⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED
（2）解：①结论：△ABF是等腰三角形（AB＝AF）；
理由：∵∠AEB＝45°，EO⊥OB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠BOC＝90°，∴∠GAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠OBC＝90°，
∴∠CAG＝∠CBO＝∠ABO，
∵∠ABF＝∠ABO+∠OBE＝∠ABO+45°，∠AFB＝∠CAG+∠AEB＝∠CAG+45°，
∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF，∴△ABF是等腰三角形．
②作EH⊥AF交AF的延长线于H．
由题意CE＝OC＝OA＝m，OB＝AC═OD＝2m，AE＝3m，AB＝AF＝m，
tan∠CBO＝tan∠CAG＝＝， ∴EH＝m，AH＝m，
∴FH＝AH﹣AF＝m，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝m．

32、已知：如图，在?ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当?ABCD满足　 　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
解答：（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，
∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，
∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，
∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，
∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，
∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．