9.6平行四边形与特殊的平行四边形-2020-2021学年苏科版八年级数学下册专题复习提升训练（机构）（含答案）

专题复习提升训练卷9.6平行四边形与特殊的平行四边形-20-21苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6,那么它的周长为( ).
A．16 B．60 C．32 D．30
2、在□ABCD中，∠A=3∠B，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
3、菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( )
A．48 B． C． D．18
4、菱形具有而矩形不具有性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
5、下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．矩形的对角线相等
C．对角线相等的菱形是正方形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6、如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④

(7) (8) (9)
7、如图，将?ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE
8、如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形
9、如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
10、如图，将?ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE

(11) (12) (13)
11、如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），.
下列三个结论：①当时，则；②；
③的周长不变， 其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是( )
A．(0，-5) B．(0，-6) C．(0，-7) D．(0，-8)
13、如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题
14、如图，平行四边形中，的平分线交于，，，
则的长为_______．

(15) (18) (19)
15、如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是 （填一种情况即可）.
16、在中，边上的高为4，，，则的周长等于_____
17、以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____
18、如图，在中，点是边上一动点，，，对及线段 添加条件________________________________使得四边形是正方形．
19、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
20、将正方形纸片ABCD按图所示的方式折叠两次，再沿MN剪开，则可得到_______个相同的正方形．

(21)
21、如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE＝ED，则∠EBF的度数为______.
22、如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为　 　．
三、解答题
23、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．
求证：四边形ADCE是菱形．
24、如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．
（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．
25、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
26、如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．
（1）求证：四边形OEMF为矩形；
（2）连接EF，求EF的最小值．
27、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
28、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.
(1)求证：BG＝GC；
(2)求△CFG的面积．

29、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，
连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=　 　度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
30、如图，在?ABC中，O是AC上的一个动点，过点O作直线MN?BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
(1)请判断OE与OF的大小关系，并说明理由；
(2)当点O运动到___________________处时，四边形AECF是矩形。
(3)当点O运动到何处，且?ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
31、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．
（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．
32、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，
连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
专题复习提升训练卷9.6平行四边形与特殊的平行四边形-20-21苏科版八年级数学下册
（答案）
一、选择题
1、已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6,那么它的周长为( C ).
A．16 B．60 C．32 D．30
2、在□ABCD中，∠A=3∠B，则∠D的度数为（ A ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
3、菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( B )
A．48 B． C． D．18
4、菱形具有而矩形不具有性质是（　C　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
5、下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．矩形的对角线相等
C．对角线相等的菱形是正方形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；
矩形的对角线相等，故选项B正确；
对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；
故选：A．
6、如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形直尺的宽度相等，
∴DE＝DF，
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，
∴这个四边形一定是轴对称图形，
故选：C．
7、如图，将?ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE

[解析] ∵将?ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠EAF.
又∵AF∥BE，∴∠EAF＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，∴AF＝BE，∴四边形ABEF为平行四边形，
又∵AB＝BE，∴四边形ABEF为菱形，
即AB＝EF＝AF＝BE， ∴选项中只有C不成立．故选C.
8、如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（B　　）
A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形
9、如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①④

　[解析] ∵AE＝AB，∴BE＝2AE.
由翻折的性质，得PE＝BE，∴PE＝2AE，
∴∠APE＝30°，∴∠AEP＝90°－30°＝60°，
∴∠BEF＝(180°－∠AEP)＝×(180°－60°)＝60°，
∴∠EFB＝90°－60°＝30°，∴EF＝2BE，故①正确；
∵BE＝PE，∴EF＝2PE. ∵EF>PF，∴PF<2PE，故②错误；
由翻折的性质可知EF⊥PB，∴∠EBQ＝∠EFB＝30°，
∴BE＝2EQ，EF＝2BE，∴FQ＝3EQ，故③错误；
由翻折的性质，知∠EFB＝∠EFP＝30°，且BF＝PF，
∴∠BFP＝30°＋30°＝60°.∴△PBF是等边三角形，故④正确．
综上所述，正确的结论是①④. 故选D.
10、如图，将?ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE

[解析] ∵将?ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠EAF.
又∵AF∥BE，∴∠EAF＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，∴AF＝BE，∴四边形ABEF为平行四边形，
又∵AB＝BE，∴四边形ABEF为菱形，
即AB＝EF＝AF＝BE， ∴选项中只有C不成立．故选C.
11、如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），.
下列三个结论：①当时，则；②；
③的周长不变， 其中正确结论的个数是（ D ）
A．0 B．1 C．2 D．3

12、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是( A )
A．(0，-5) B．(0，-6) C．(0，-7) D．(0，-8)
13、如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF=OE=λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤2， ∴2EF≤4．
所以线段EF的最小值为2． 故选：D．

二、填空题
14、如图，平行四边形中，的平分线交于，，，
则的长为__2 ______．
15、如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是 BE=DF（答案不唯一） （填一种情况即可）.

16、在中，边上的高为4，，，则的周长等于__12或20___
17、以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是__30°或150°___
18、如图，在中，点是边上一动点，，，对及线段 添加条件__是等腰直角三角形，是角平分线_______________使得四边形是正方形．

19、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC， ∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1， ∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．

20、将正方形纸片ABCD按图所示的方式折叠两次，再沿MN剪开，则可得到__4______个相同的正方形．

21、如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE＝ED，则∠EBF的度数为_60°______.
22、如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为　 　．
【解析】如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．
∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF （SAS）,∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．
又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．
∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN（SAS）．∴MN＝FN，
设MN＝FN＝x，∵BM＝DF＝2，BC＝CD＝6，∴DN＝DF+FN＝x+2，CM＝6+2＝8，
∴CN＝DN﹣CD＝x﹣4，
∵MC2+CN2＝MN2，∴82+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝10，∴MN＝10，故答案为：10．
三、解答题
23、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．
求证：四边形ADCE是菱形．
解答： 证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，
又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，
又∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是菱形．
24、如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．
（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，
在△GAD和△ECD中，，∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA+∠ADF＝∠EDC+∠ADF，即∠GDF＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CH，∴∠DFH＝∠CFD＝90°，∴DG∥CH，
∵∠HCB+∠HCD＝∠EDC+∠DCF＝90°，∴∠HCB＝∠EDC，
在△HBC和△ECD中，，∴△HBC≌△ECD（ASA）
∴CH＝DE，∴DG＝CH， ∵DG∥CH，∴四边形GHCD为平行四边形；
（2）∵△HBC≌△ECD，∴∠BHC＝∠CED，
∵∠ECF+∠FEC＝90°，∴∠FEC，∠BHC与∠ECF互余；
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠ADE与∠ECF互余；
∵∠DGA＝∠CHB，∴∠DGA与∠ECF互余；
∵∠DCF+∠ECF＝90°，∴∠DCF与∠ECF互余；
∴与∠ECF互余的角有：∠FEC、∠DCF、∠BHC、∠DGA、∠ADE．
25、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
解答： 解；（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，
设DE=x，则AE=，CE=8﹣x， 则=8﹣x，解得：x=，
则菱形的边长为：8﹣=， 周长为：4×=25，
故菱形AFCE的周长为25．
26、如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．
（1）求证：四边形OEMF为矩形；
（2）连接EF，求EF的最小值．
【解析】（1）∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO＝90°，∠MFO＝90°，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴∠EOF＝90°，
∴四边形OEMF为矩形；
（2）∵边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OA＝OB＝4，
当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值==4．
27、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO=AC，BO=BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴AO＝BO，∠AOB＝90°．
在直角△AOB中，由勾股定理知：AB==3，∴AO＝BO＝3．
∴EO＝OB+BE＝6．
在△AOE中，∠AOE＝90°，AE===3．
∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF．
∴四边形AECF的周长＝4AE＝12． ∴四边形AECF的周长是12．

28、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.
(1)求证：BG＝GC；
(2)求△CFG的面积．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠D＝90°.
∵将△ADE对折得到△AFE，∴AF＝AD，∠AFE＝90°，∴∠AFG＝90°＝∠B.
又∵AG＝AG，AB＝AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG＝FG.
∵AB＝CD＝6，CD＝3DE，∴DE＝2，CE＝4，∴EF＝DE＝2.
设FG＝x，则BG＝FG＝x，GC＝6－x，EG＝x＋2.
在Rt△ECG中，由勾股定理，得42＋(6－x)2＝(x＋2)2，解得x＝3，
∴BG＝FG＝3，GC＝6－x＝3，∴BG＝GC.
(2)在Rt△ECG中，GC＝3，CE＝4，由勾股定理得EG＝＝5.
∵S△CEG＝×3×4＝6，∴S△CFG＝×6＝.
29、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，
连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=　 　度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
解答：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，在△MNB和△ENC中，
，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；
（3）如图2∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又M，N分别是边AB，BC的中点，∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE，
又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，
则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．

30、如图，在?ABC中，O是AC上的一个动点，过点O作直线MN?BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
(1)请判断OE与OF的大小关系，并说明理由；
(2)当点O运动到___________________处时，四边形AECF是矩形。
(3)当点O运动到何处，且?ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
解：(1)OE=OF，理由如下：
设点G是BC延长线上的一点，
，OEC=BCE，OFC=GCF，
又∵CE平分BCO，CF平分GCO，∴OCE=BCE，OCF=GCF，
，OCF=OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO；
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵ 当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO ，，，
即AC=EF，四边形AECF是矩形；
(3)当点O运动到AC的中点时，且?ABC满足ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形，理由如下：
∵由(2)得：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
，，，
，四边形AECF是正方形．
31、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．
（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）解：BE+DF＝EF；理由如下：
如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵在△GDA和△EBA中，，∴△GDA≌△EBA（SAS），
∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，故∠GAF＝45°，
在△GAF和△EAF中，∵，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，
即GD+DF＝BE+DF＝EF；
（2）AH＝AB，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图2，
∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，
而∠ABC＝90°，∴点Q在CB的延长线上，
∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠QAE，
在△AEQ和△AEF中，，∴△AEQ≌△AEF（SAS），∴EQ＝EF，
∵AB⊥EQ，AH⊥FE，∴AB＝AH．

32、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，
连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°，
在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG= FD，
同理，在Rt△DEF中，EG= FD，∴CG=EG．
解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG=NG；∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG= MC，∴EG=CG．
（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．