1.4.1 角平分线（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.4
角平分线
第1课时
角平分线1
【知识清单】
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【经典例题】
例题1、如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论不一定成立的是(　　)
A.
PA=PB
B.
OA=OB
C.
PO平分∠APB
D.
AB垂直平分OP
【考点】线段垂直平分线的性质
角平分线的性质
【分析】由OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
根据角平分线的性质，可证得PA=PB，又由等腰
三角形的判定，可证得OA=OB，即可判定PO平
分∠APB，根据线段垂直平分线的判定，
可得OP垂直平分AB．
【解答】∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A正确；
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠OAB=90°∠PAB，∠OBA=90°∠PBA，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，故B正确；
∴PO平分∠APB；故C正确；
∵PA=PB，OA=OB，
∴点P在AB的垂直平分线上，点O在AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AB，故D错误．故选D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．注意掌握线段垂直平分线的判定的应用是关键．
例题2、已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是AC上一点，若AD︰DC=1︰．
求证：BD平分∠ABC．
【考点】角平分线的判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理．
【分析】过D作DE⊥BC，由∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，所以△DEC是等腰直角三角形，DE=CE，设AD=a，则DC=a，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，2DE2=(a)2，可得DE=a，所以AD=ED，在利用角平分线的判定定理即可求证．
【解答】过D作DE⊥
BC于E，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
设AD=a，则DC=a，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，
即：2DE2=(a)2，
解得DE=a，
∴AD=ED，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查了角平分线判定，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线判定是解本题的关键．
【夯实基础】
1、如图，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP从而得∠CAP=∠BAP根据是(　　)
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
2、如图，在△ABC?中，AP?是∠BAC?的平分线，PM⊥AB?交AB?于点M，PN⊥AC?交AC?于点
?
N，若?S△ABC=34，?DE=4，AB=7，则AC?的长为(
)
?A．9
?B．10?
C．12?
D．14?
3、如图，AB∥CD，PD平分∠ADC，PA平分∠BAD，PD与PA相交于P，PE⊥AD于点E，
若PE=2.则?直线AB与CD的距离为(
)
?A．2?
B．3
?C．4
?D．6
4、如图，AP是∠BAC的平分线，点D是AC上一点，DP∥AB，若AD=6，则点P到AB的距离是
(
)
A．3
B．6
C．
D．
5、直角三角形两锐角平分线所成的钝角等于
.
6、如图，在Rt△ABC?中，∠ACB=90°，AD?平分∠BAC?交?CB?于点D，DE⊥AB?于点E，CF∥DE?
交AD?于点F．则CF
DE(填“>”“=”“<”)．
7、已知：如图，△ABC中，AB=AC，CD为∠ACB的平分线，∠BDC=3∠A，则∠A的度数是
.
8、如图，已知BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BF，CE相交于点D，若BD=CD．
求证：点D在∠BAC的平分线上．
9、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，交BC于点E，求证：△DEC的周长=BC．
【提优特训】
10、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC?于F，G为AD上任意一点，
则下列结论错误的是(
)
A．DE=DF
B．GE=GF
C．AE=AF
D．BD=DC
?
?
11、如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD=5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是(
)
A．PE=5
B．PE>5
C．PE≤5
D．PE≥5
12、如图，Rt△ABC?中，∠C=90°，以顶点A?为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB?
于点M、N，再分别以点?M、N?为圆心，大于MN?的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
?
AP?交边BC?于点D，?若CD=4，AB=15，则△ABD?的面积是(
)
?
A．15?
B．30
?C．45?
D．60
13、如图，在△MNP?中，∠P=90°，MG?平分∠NMP，GH⊥MN?于H，下列结论：①HG=PG；②MP+HN=MN；③∠HGN=∠PMN；④GH=NH；⑤S△HNG︰S△MGP=NG︰AC，其中正确的个数为(
)
?A．5?个
B．4?个
?C．3?个?
D．2?个
?14、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，DE⊥AB，于点E，若AC=18，CD=6，AB=22.5，则△BDE的周长为
.
15、如图，BD?是△ABC?的角平分线，DE⊥AB，垂足为?E，△ABC?的面积为140，AB+BC=56，
则?DE?的长为
.
16、已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=12cm，AC=9cm，DC=6cm，
则BD的长度为(提示：等高的三角形的面积比等于对应三角形的底的比)
.
17、如图，△ABC?中，AD?平分∠BAC，DG⊥BC?且平分BC，DE⊥AB?于E，DF⊥AC?于F．
(1)说明BE=CF?的理由；
(2)如果AB=5，AC=3，求?AE、BE?的长．
18、如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠CED=32°，DE平分∠ADC．
(1)求∠DAB的度数；
(2)若E为BC中点，求∠EAB的度数．
【中考链接】
19、(2020?湖南怀化)在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为(
)
A．3
B．
?C．2
?D．6
20、(2020?湖南湘潭)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且
PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为
.
?
21、(2020?广西柳州)
如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且
OA=OB.求证：△AOC≌△BOC.
参考答案
1、B
2、B
3、C
4、A
5、135°
6、=
7、20°
10、D
11、D
12、B
13、C
14、18
15、5
16、8
19、A
20、3
8、如图，已知BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BF，CE相交于点D，若BD=CD．
求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵∠EDB与∠FDC是对顶角，
∴∠EDB=∠FDC.
在△BDE与△CDF中，
?
∵，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上．
9、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，交BC于点E，求证：△DEC的周长=BC．
证明：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∴，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE=AC，
又∵∠A=90°，且AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，又∠DEC=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
△DEC的周长=DE+EC+DC
=AD+DC+EC
=AC+EC
=BE+EC
=BC．
17、如图，△ABC?中，AD?平分∠BAC，DG⊥BC?且平分BC，DE⊥AB?于E，DF⊥AC?于F．
(1)说明BE=CF?的理由；
(2)如果AB=5，AC=3，求?AE、BE?的长．
(1)证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，DE=DF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF；
(2)在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=ABBE，AF=AC+CF，
∴5x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，AE=ABBE=51=4．
18、如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠CED=32°，DE平分∠ADC．
(1)求∠DAB的度数；
(2)若E为BC中点，求∠EAB的度数．
(1)∵∠C=90°，∠CED=32°，
∴∠CDE=58°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠CDE=116°，
∵∠B=90°，
∴∠C+∠B
=180°，
∴DC∥AB，
∠ADC+∠BAD
=180°，∠BAD=180°116°=64°；
(2)过E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，
∴CE=FE，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=EF，
∴AE平分∠DAB，
∵∠DAB=64°，
∴∠EAB=32°．
21、(2020?广西柳州)
如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA=OB.求证：△AOC≌△BOC.
证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC与△BOC中，
?
∵，
∴△AOC≌△BOC(SAS)．
例题2图
第9题图
第14题图
第18题图
第17题图
第15题图
第17题图
第9题图
第17题图
第3题图
第8题图
例题1图
第6题图
第9题图
第8题图
第13题图
第1题图
第10题图
第18题图
第11题图
第7题图
第21题图
第4题图
第20题图
第19题图
第8题图
例题2图
第2题图
第12题图
第16题图
第18题图
第21题图
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精品试卷·第
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