7.3
复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．复数的三角表示.(数学抽象)2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算)3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象)
1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示.2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联.
必备知识·探新知
知识点1 复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成__r(cos
θ＋isin
θ)__的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的__辐角__，r(cos
θ＋isin
θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称__三角形式__，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称__代数形式__.
知识点2 辐角主值
规定在__0≤θ<2π__范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作__arg_z__.
知识点3 复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的__积__，积的辐角等于各复数的辐角的__和__.
r1(cos
θ1＋isin
θ1)·r2(cos
θ2＋isin
θ2)＝__r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]__.
知识点4 复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商__，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差__.
＝__[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]__.
[知识解读] 1．复数三角式的特征
有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos
θ与isin
θ之间用“＋”号连接.
2．辐角和辐角主值的区别与联系
区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.
联系：θ＝2kπ＋arg
z，k∈Z.
3．复数乘法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
4．复数除法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数的代数形式化为三角形式
典例1 将下列复数代数式化成三角形式：
(1)2＋2i；(2)1－i.
[分析] 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式.
[解析] (1)r＝＝4，所以cos
θ＝，对应的点在第一象限，所以arg(2＋2i)＝，
所以2＋2i＝4.
(2)r＝＝，所以cos
θ＝，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，
所以1－i＝.
[归纳提升] 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求得复数的三角形式.
【对点练习】? 把下列复数表示成三角形式.
(1)z1＝－1＋i；
(2)z2＝－4i.
[解析] (1)由a＝－1，b＝，知点Z1(－1，)在第二象限，故辐角为第二象限的角.
r＝＝2．
又cos
θ＝－，所以arg
z1＝.
因此复数z1＝－1＋i的三角形式为
z1＝2.
(2)由a＝0，b＝－4<0，知
r＝＝4，arg
z2＝，
因此复数z2＝－4i的三角形式为
z2＝4.
题型二 将复数的三角形式化为代数形式
典例2 将下列复数表示成代数形式：
(1)9(cos
π＋isin
π)；
(2)6.
[分析] 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
[解析] (1)9(cos
π＋isin
π)＝－9．
(2)6＝6＝－3－3i.
[归纳提升] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos
A＋isin
A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos
A，y＝rsin
A.
【对点练习】? 将复数z＝代为代数形式为__1－i__.
[解析] z＝＝×cos
－i×sin
＝1－i.
题型三 复数三角形式的乘法运算
典例3 计算：
(1)2×；
(2)2(cos
5°＋isin
5°)×4(cos
30°＋isin
30°)××(cos
25°＋isin
25°).
[分析] 按照复数三角形式的乘法法则进行.
[解析] (1)2×
＝2
＝－2i.
(2)2(cos
5°＋isin
5°)×4(cos
30°＋isin
30°)×(cos
25°＋isin
25°)＝8(cos
35°＋isin
35°)×(cos
25°＋isin
25°)
＝4(cos
60°＋isin
60°)＝2＋2i.
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
【对点练习】? 计算：(＋i)(cos
60°＋isin
60°)＝__2i__.
[解析] 法一：(＋i)(cos
60°＋isin
60°)
＝2(cos
30°＋isin
30°)(cos
60°＋isin
60°)
＝2(cos
90°＋isin
90°)＝2i.
法二：(＋i)(cos
60°＋isin
60°)＝(＋i)＝＋i＋i－＝2i.
题型四 复数三角形式的除法运算
典例4 计算：8÷.
[分析] 根据复数三角形式的除法法则进行.
[解析] 8÷
＝2＝2
＝－＋i.
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
【对点练习】? 计算：2i÷.
[解析] 2i÷
＝2(cos
90°＋isin
90°)÷
＝4(cos
60°＋isin
60°)＝2＋2i.
易错警示
求辐角主值时的常见误区
典例5 求复数z＝1＋cos
θ＋isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
[错解] z＝1＋cos
θ＋isin
θ
＝1＋＋2isin
cos
＝2cos
∴复数z的模为2cos
，辐角主值为.
[错因分析] 从形式上看，2cos
似乎就是三角形式，不少同学认为r＝2cos
，arg
z＝.
错误之处在于他们没有考虑角θ的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.
[正解] z＝1＋cos
θ＋isin
θ＝1＋＋2i·sin
·cos
＝2cos
.
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos
<0，
∴2cos
＝－2cos
＝－2cos
，
∴r＝－2cos
，
∵<<π，∴<π＋<2π，
∴arg
z＝π＋.
故复数z的模是－2cos
，辐角主值是π＋.
【对点练习】? 求复数z＝1＋cos
θ－isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
[解析] z＝2cos2－2i·sin
cos
＝2cos
＝－2cos
＝－2cos
，
∴r＝－2cos
，
∵π<θ<2π，∴<<π，
∴0<π－<，∴arg
z＝π－.
故复数z的模是－2cos
，辐角主值为π－.
PAGE第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，理解复数集出现的一些基本概念.(逻辑推理)2．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(逻辑推理)3．会根据复数相等的充要条件解方程.(数学运算)
1．每一种数的出现都是在研究代数方程的过程中产生的，学习时可以查阅一元多项式方程求解的历史，感受数的产生，体会复数产生的必要性.2．类比数的分类方法，感受复数的分类.
必备知识·探新知
知识点1 复数及相关概念
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__.全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集.
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__.
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__.
知识点2 复数的分类
1．复数a＋bi(a，b∈R)
2．集合表示：
[知识解读] 1．数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.
2．复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.
3．两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数的概念
典例1 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0．其中真命题的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2019·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__±，5__.
(3)判断下列命题的真假.
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题.
(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
所以a＝±，b＝5．
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题.
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题.
③由复数集的分类知，③正确，是真命题.
[归纳提升] 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.
【对点练习】? 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是__③__.
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
题型二 复数的分类及其应用
典例2 已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是虚数？
(3)z是纯虚数？
[分析] 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件.
[解析] (1)当z是实数时，应有＝0，
即解得m＝4或－2；
(2)当z是虚数时，应满足≠0，
即因此m≠4，且m≠－2，且m≠0；
(3)当z是纯虚数时，应满足
解得m＝2．
[归纳提升] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项.
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0．
【对点练习】? m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
(1)是实数？
(2)是虚数？
(3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得
∴
∴当m＝5时，z是实数.
(2)由条件得
∴，
∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(3)由条件得
∴
∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
题型三 复数相等的条件
典例3 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值.
[解析] 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由复数相等的充要条件得解得
∴x＝，y＝4i.
[归纳提升] 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.
【对点练习】? (1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为__－1__.
[解析] (1)易知
解得a＝－4．
(2)∵z＝0，∴，
解得a＝－1．
易错警示
对复数相关概念的理解不清致误
典例4 给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0．其中正确命题的序号是__(4)__.
[错解] (1)(2)(4)
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案.
[正解] 命题(1)和(2)都是错误的，原因是没有x，y∈R，a，b∈R的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题(3)也是错误的，事实上，当(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数时，应有，所以x＝2；(4)是正确的，因为由3x＋mi<0可得即x<0．
[点评] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立.例如：a＋bi＝0?a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
PAGE7.1.2 复数的几何意义
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象)2．掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等概念.(直观想象)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法并能够解决与模有关的问题.(直观想象)
1．类比向量的坐标表示理解复数的几何意义及模的概念.2．类比向量的形式特征，感受复数的形式特征.
必备知识·探新知
知识点1 复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__.实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
知识点2 复数的几何意义
知识点3 复数的模
向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值).
知识点4 共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__.
[要点解读] 1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
2．复数几何意义的两个注意点
(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi).
(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个.
3．对复数模的三点说明
(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.
(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数与复平面内点的关系
典例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上.
[分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围).
[解析] 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3).
(1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝.
(2)若点Z在第二象限，则有
即解得
(3)若点Z在抛物线y2＝4x上，则有(2a－3)2＝4(a2－4)，整理得12a－25＝0，解得a＝.
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).
【对点练习】? (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当题型二 复数与复平面内向量的关系
典例2 (1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i
B．16＋6i
C．2＋4i
D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解.
[解析] (1)两个复数对应的点分别为A(10,7)，B(－6，1)，则C(2,4).故其对应的复数为2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
[归纳提升] 1．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b).
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得.
3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变.
【对点练习】? (1)在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于x轴的对称点为B，则向量对应的复数为( A )
A．－1－2i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
(2)已知复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是__－6－8i__.
[解析] (1)∵A(－1,2)关于x轴的对称点为B(－1，－2)，∴向量对应的复数为－1－2i.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
题型三 复数的模
典例3 (1)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[分析] (1)根据求模公式进行计算；
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
[解析] (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝＝1，
所以|z1|>|z2|.
(2)解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴，
解得.∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17．
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
[归纳提升] (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.
(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决.
【对点练习】? 若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为____.
[解析] ∵z为实数，
∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3．
∵a＝－2时，z无意义，
∴a＝3，
∴z1＝2－5i，
∴|z1|＝.
易错警示
混淆复数的模与实数的绝对值致误
典例4 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( A )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[错因分析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1．
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
[点评] 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离，因此|z|≥0．z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移.
【对点练习】? 已知复数z1＝2－2i，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值.
[解析] (1)|z1|＝＝2.
(2)由于|z|＝1，
故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而z1所对应的点为Z1(2，－2)，则所求距离的最大值可以看成点(2，－2)到圆心的距离再加1．由图可知，最大值为2＋1．
PAGE7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用.(数学运算)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)
1．类比向量加、减的坐标运算，感受和把握复数的加、减运算.2．类比向量运算的平行四边形法则与三角形法则，感受和把握复数加、减法的几何意义.
必备知识·探新知
知识点1 复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，
z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__.
知识点2 复数加法的运算律
(1)交换律：__z1＋z2＝z2＋z1__；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__.
知识点3 复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____.
[知识解读] 对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实部的加法、减法法则一致.
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数代数表示式的加、减法运算
典例1 (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__－2－i__.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝____.
[分析] 直接运用复数的加减运算法则进行计算.
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.
[归纳提升] 复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【对点练习】? (1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝__－10i__.
(2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝__3__.
[解析] (1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
(2)由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，所以
解得a＝3．
题型二 复数加减法及复数模的几何意义
典例2 如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度.
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论.
[解析] (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－.
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
[归纳提升] 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
【对点练习】? 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长.
[解析] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝，
因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13．
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13．
题型三 复数加法、减法几何意义的应用
典例3 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( A )
A．1
B．
C．2
D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值.
[分析] 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
[解析] (1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．
所以|z＋i＋1|min＝1．
(2)如图所示，||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
[归纳提升] 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
【对点练习】? 若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值.
[解析] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．
易错警示
典例4 A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( B )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[错解] A
[错因分析] 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
[正解] 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.
【对点练习】? △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( A )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心.
PAGE7.2.2 复数的乘、除运算
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)
1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.
必备知识·探新知
知识点1 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__.
知识点2 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝__z2·z1__
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__
知识点3 复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝__＋i__(c＋di≠0).
[知识解读] 1．对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数代数表示式的乘法运算
典例1 (1)(2020·全国Ⅰ卷理)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( D )
A．0
B．1
C．
D．2
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝( D )
A．1＋2i
B．－1＋2i
C．1－2i
D．－1－2i
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[分析] 利用乘法公式进行运算.
[解析] (1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．
故|z2－2z|＝|－2|＝2．
故选D．
(2)因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i.故选D．
(3)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B．
[归纳提升] 两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
【对点练习】? (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( D )
A．2－13i
B．13＋2i
C．13－13i
D．－13－2i
(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
[解析] (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．
题型二 复数代数形式的除法运算
典例2 (1)(2020·全国Ⅰ)＝( D )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( A )
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
[分析] 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.
[解析] (1)＝＝＝－i.故选D．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
[归纳提升] 1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
【对点练习】? (1)在复平面内，复数的对应点位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：＝__－2＋i__.
[解析] (1)＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限.
(2)法一：＝＝＝－2＋i.
法二：
＝＝
＝＝＝－2＋i.
题型三 实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
典例3 已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
[分析] 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
[解析] (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．
设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
[归纳提升] (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根.
(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
【对点练习】? (1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是( A )
A．－3＋2i
B．3＋2i
C．－2＋3i
D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.
[解析] (1)∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝＝－3±2i.
(2)由根与系数的关系可得
即
因为p，q均为实数，所以
解得从而有
易错警示
误认为|z|2＝z2
典例4 已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.
[错解] 由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0．
因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．
则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.
[错因分析] 本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．
[正解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由条件得x2－y2＋2xyi－－6＝0．
由复数相等的充要条件得
解得或(无解)，
即解得
故z＝3或z＝－3．
[误区警示] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.
【对点练习】? (2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部( B )
A．不小于0
B．不大于0
C．大于0
D．小于0
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z＝－|z|，∴a＋bi＝－，
∴解得故z的实部不大于0．
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