第二章 平面向量
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
2．5.2 向量在物理中的应用举例
[A组 学业达标]
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为
( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：∵∥，||＝||，且⊥，∴四边形ABCD为菱形．
答案：D
2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为
( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案：B
3．若物体在共点力F1＝(lg
2，lg
2)，F2＝(lg
5，lg
2)的作用下产生位移s＝(2lg
5，1)，则共点力对物体所做的功W为
( )
A．lg
2
B．lg
5
C．1
D．2
解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg
2＋lg
5，2lg
2)·(2lg
5，1)＝(1，2lg
2)·(2lg
5，1)＝2lg
5＋2lg
2＝2，故选D.
答案：D
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为
( )
A．直角(非等腰)三角形
B．等腰(非等边)三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确
解析：∵＝(3，－1)，＝(－1，－3)，·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且||＝||＝，∴△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
5．在△ABC中，若·(2－)＝0，则△ABC一定是
( )
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．正三角形
D．等腰三角形
解析：·(2－)＝·(＋－)＝·(＋＋)＝·(＋)＝－·(＋)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA，CB为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC一定是等腰三角形．
答案：D
6．一个重20
N的物体从倾斜角为30°，斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小|F|＝×20
N＝10
N，∴W＝|F|·|s|＝10
J.
答案：10
J
7．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________
千米/时．
解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的航行速度，则v0＋v1表示船实际航行速度．∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴|v0＋v1|＝＝4.
答案：4
8．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则＋＝2.
又＋＝－2，所以＝－，即O为BD的中点，即△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
答案：1∶2
9.如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为BC的中点．求证：AM⊥EF.
证明：因为M是BC的中点，所以＝(＋)．
又因为＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(·＋·－·－·)
＝(0＋·－·－0)
＝(·－·)
＝[||||cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以⊥，即AM⊥EF.
10．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)在(1)的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长(用m，n表示)．
解析：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则A(0，m)，B(n，0)．
(1)证明：∵D为斜边AB的中点，
∴D，
∴||＝
，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E.
设F(x，0)，则＝，＝(x，－m)．
∵点A，E，F共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即(x，－m)＝λ，∴
解得x＝，∴F.∴||＝
，
即AF＝
.
[B组 能力提升]
11．已知点A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于
( )
A．2 B．1 C. D.
解析：设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝(2－2x，8－2y)，
∴解得
∵点C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2.
答案：A
12．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
解析：将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，
则＝＝
＝＝－6＝42－6＝10.
答案：D
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________．
解析：如图，已知A(0，1)，B(－3，4)，设E(0，5)，D(－3，9)，
∴四边形OBDE为菱形，∴∠AOB的平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，∵||＝2，||＝3，∴＝.
∴＝(x1，y1)＝×(－3，9)＝.
答案：
14．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝________．
解析：设{，}为平面ABC内的一组基底．如图所示，设M为BC的中点，连接OM，AM，OA，则OM⊥BC.
又∵＝－，＝＋＝(＋)＋，∴·＝·(＋)＝·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝×(122－132)＝－.
答案：－
15．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2.求证：点O是△ABC的垂心．
证明：设＝a，＝b，＝c，
则＝c－b，＝a－c，＝b－a.
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，
∴a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2.
∴c·b＝a·c＝b·a.
故·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，
·＝(c－b)·a＝c·a－b·a＝0.
∴⊥，⊥，即AB⊥OC，BC⊥OA.
∴点O是△ABC的垂心．
16.如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF＝AE.
证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1，1)，B(0，1)．
设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)．
又∵∥，∴x(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.
又∵||＝||，∴x2＋y2－2＝0.
由得或(舍)．
∴E.
又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得x′－＝0，得x′＝－2－，
∴F(－2－，1)，
∴＝(－1－，0)，＝，
∴||＝＝1＋＝||，
∴AF＝AE.
PAGE第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[A组 学业达标]
1．下列量不是向量的是
( )
A．力
B．速度
C．质量
D．加速度
解析：质量只有大小，没有方向，不是向量．
答案：C
2．下列说法正确的是
( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．
答案：D
3．汽车以120
km/h的速度向西走了2
h，摩托车以45
km/h的速度向东北方向走了2
h，则下列命题中正确的是
( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：由向量不能比较大小，可知选C.
答案：C
4．下列说法正确的是
( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则a，b方向相同或相反，D不正确．
答案：C
5．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是
( )
A．一条线段
B．一个圆面
C．一个圆
D．一段圆弧
解析：动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．
答案：C
6.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有______个．
解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个．
答案：11
7．设点O是△ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是△ABC的________心．
答案：外
8.
下列叙述中正确的个数是________．
①若a＝b，则3a>2b；
②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
③对任一向量a，是一个单位向量．
解析：向量不能比较大小，①错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②错误；对于③，当a＝0时，无意义，故③错误．
答案：0
9．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解析：(1)所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝.
∴||的最大值为，最小值为.
10.如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
(1)求证：∥；
(2)求||.
解析：(1)证明：由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，
∴DE2＋BE2＝BD2，∴△DEB是直角三角形，∠DEB＝90°.
又∵点C为半圆上一点，∴∠ACB＝90°.
∴AC∥DE，故∥.
(2)由AC∥DE知△ABC∽△DBE.
∴＝，即＝.
AC＝，即||＝.
[B组 能力提升]
11.如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：∵四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝.
答案：D
12．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1
B.
C．2
D．2
解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，则||＝2||＝2.故选D.
答案：D
13．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π×22－π×12＝3π.
答案：3π
14.设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确结论的序号为________．
解析：正方形的对角线互相平分，则＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
15.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
解析：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
16．已知直线l：y＝x－，点A，B(x，y)是直线l上的两点．
(1)若为零向量，求x，y的值；
(2)若为单位向量，求x，y的值．
解析：(1)当为零向量时，点B与点A重合，此时x＝0，y＝－.
(2)当为单位向量时，||＝1，即A与B两点间的距离为1，
所以
＝1，即x2＋＝1，
将y＝x－代入，得2x2＝1，
所以x＝，y＝0或x＝－，y＝－.
PAGE第二章 平面向量
2．2 平面向量的线性运算
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
[A组 学业达标]
1．化简＋－－＝
( )
A. B. C. D．0
解析：＋－－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
答案：D
2．下列等式中，正确的个数为( )
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：①②③④⑤正确．
答案：C
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于
( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＋＝，∴＝－＝a＋c－b.
答案：A
4.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是( )
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
答案：B
5.－＋＋等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析：－＋＋＝＋＝.
答案：B
6．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为________．
答案：1
7．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：|a－b|＝＝13.
答案：13
8．化简：(1)＋－＝________；
(2)－－－＝________．
答案：(1)0 (2)
9.如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
解析：m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝－＝＋.
如图，连接AC，并延长至点Q，使CQ＝AC，则＝，所以＝＋，即为所求作的向量m－p＋n－q－r.
10.如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
解析：＝－＝c－a.
＝－＝d－a.
－＝＝－＝d－b.
＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
－＝＝－＝f－d.
＋＋＝0.
[B组 能力提升]
11．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是
( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
答案：B
12．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是
( )
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
答案：C
13．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
答案：30°
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________．
答案：
15．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解析：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使CE＝AC.
则a＋b＋c＝c＋c＝，且||＝2.
所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝.
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2.
所以|a－b＋c|＝2.
16.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c，试证明：b＋c－a＝.
证明：法一：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
法二：＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a.
PAGE第二章 平面向量
2．2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
[A组 学业达标]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是
( )
A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
解析：只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．
答案：C
2．点C在线段AB上，且＝，则＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：依题意，可得AC＝BC，又和方向相反，所以＝－.
答案：C
3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是
( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①②
B．①③
C．②
D．③④
解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故①正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故②正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④错误．
答案：A
4．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有
( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，无解，故a与b不共线，故选A.
答案：A
5．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
解析：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
答案：0
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：∵b与a方向相反，∴设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝，∴λ＝±.
又∵λ<0，∴λ＝－.
答案：－
7．已知＝，＝，则＝________.
解析：＝＋＝－＋＝－＋＝(－)＝.
答案：
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D.若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，求||.
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝.如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝.经计算得AN＝AM＝3，AD＝3，即||＝3.
9.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解析：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
[B组 能力提升]
10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交AB的延长线，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A．1
B.
C.
D．2
解析：连接AO(图略)，＝(＋)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.
答案：D
11．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝
( )
A．λ(＋)，λ∈(0，1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0，1)
D．λ(－)，λ∈
解析：由向量加法运算法则可知，＝＋，又点P在线段AC上，故与同向，且||<||.故＝λ(＋)，λ∈(0，1)．
答案：A
12．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．
解析：∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是梯形．
答案：梯形
13．下列向量中，a，b一定共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4(e1－e2)＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.
答案：①②③
14．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；
(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．
解析：(1)证明：∵＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2
＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，∴与共线．
∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵2λe1＋e2与e1＋λe2共线，
∴存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝±.
(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝±1.
∴当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．
15．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
解析：(1)证明：如图，＋＝2，＋＝2，∵＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(2＋)＝0，
即2＋＝0，
∴与共线，
又与有公共点0，
∴D，E，O三点共线．
(2)由(1)知2||＝||，
∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，∴＝3.
PAGE第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
[A组 学业达标]
1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面关于向量a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b垂直
D．a与b中至少有一个为0
解析：由平面向量基本定理可知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.
答案：B
2.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足
( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
答案：B
3．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有
( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2
＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
答案：B
4．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为
( )
A.(a＋b)
B.a＋b
C.a＋b
D.(a＋b)
解析：∵＝2，∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：C
5．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝________．
解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得解得所以p＝－m＋n.
答案：－m＋n
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．
解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
解析：易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.
答案：
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，.
解析：如图，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－＝＋e2－＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
9．在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且＝2，AM交BN于P点，求AP与AM的比值．
解析：设＝a，＝b，则＝＋＝－a－3b，＝2a＋b.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使＝λ＝－λa－3λb，
＝μ＝2μa＋μb.
∴＝－＝(λ＋2μ)a＋(3λ＋μ)b.
又∵＝＋＝2a＋3b，
由平面向量基本定理得
解得则＝.
∴AP与AM的比值为.
[B组 能力提升]
10．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝
( )
A．a＋λb
B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b
D.
解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝λ＋，∴＝.
答案：D
11.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝ma＋nb，则m＋n＝( )
A．1
B.
C.
D.
解析：＝m＋n＝m＋2n，
由B，F，E三点共线，得m＋2n＝1，①
＝m＋n＝2m＋n，
由C，F，D三点共线，得2m＋n＝1，②
①＋②得3(m＋n)＝2，m＋n＝.
答案：C
12．设G为△ABC的重心，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________．
解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．
答案：(a＋b＋c)
13．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________．(用e1，e2表示)
解析：如图，＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.
答案：－e1＋e2
14．已知△ABC内一点P满足＝λ＋μ，若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3，△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．
解析：如图，过点P作PM∥AC，PN∥AB，则＝＋，所以＝λ，＝μ.
作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H.
因为＝，所以＝.
又因为△PNG∽△BAH，所以＝＝，
即＝，所以λ＝，同理μ＝.
15．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N三点共线．
解析：(1)∵B，E，C三点共线，
∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①
同理，∵A，E，D三点共线，∴＝ya＋3(1－y)b.②
比较①②，得
解得x＝，y＝，∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，∴＝－＝，＝－＝，
∴＝6，
又与有公共点M，
∴L，M，N三点共线．
PAGE第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
[A组 学业达标]
1．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为
( )
A．(－7，6)
B．(7，6)
C．(6，7)
D．(7，－6)
解析：设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．
答案：D
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝
( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3，5)
D．(2，4)
解析：∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
答案：B
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
( )
A．(2，6)
B．(－2，6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
解析：∵a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)．又∵表示4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.解得d＝(－2，－6)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝
( )
A．(－2，7)
B．(－6，21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
解析：如图，∵＝＝－＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，∴＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)，∴＝3＝(－6，21)．
答案：B
5．若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量a＝________，向量b＝________．
解析：a＋b＝(－3，－4)，① a－b＝(5，2)．②
①＋②，得a＝[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；
①－②，得b＝[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3)．
答案：(1，－1) (－4，－3)
6．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得
所以m－n＝－3.
答案：－3
7．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．
解析：∵A(1，2)，B(3，2)，∴＝(2，0)．
又∵a＝，即(x＋3，x2－3x－4)＝(2，0)，
∴解得x＝－1.
答案：－1
8．已知a＝(2，1)，b＝(－1，3)，c＝(1，2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a，b表示p.
解析：p＝2a＋3b＋c
＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)
＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13)．
设p＝xa＋yb＝x(2，1)＋y(－1，3)
＝(2x－y，x＋3y)，
a与b不共线，
则有解得
∴p＝a＋b.
[B组 能力提升]
9．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“?”为a?b＝(ms，nt)．若向量p＝(1，2)，p?q＝(－3，－4)，则向量q＝
( )
A．(－3，2)
B．(3，－2)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
解析：设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3，2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)，故选D.
答案：D
10．已知向量a＝(x，1)，向量b＝(－x，x2)，则向量a＋b
( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：a＋b＝(0，1＋x2)对应的点在y轴上，所以此向量必平行于y轴．故选C.
答案：C
11．已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则－的坐标是________．
答案：(－3，6)
12．已知A(2，3)，B(1，4)，且＝(sin
α，cos
β)，α，β∈，则α＋β＝________．
解析：＝(1，4)－(2，3)＝(－1，1)．
∴(sin
α，cos
β)＝(－1，1)，
∴sin
α＝－，cos
β＝.
又∵α，β∈，
∴α＝－，β＝－或，α＋β＝－或.
答案：或－
13．设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，求的取值范围．
解析：由a＝2b，
知
∴
又cos2α＋2sin
α＝－sin2α＋2sin
α＋1
＝－(sin
α－1)2＋2，
∴－2≤cos2α＋2sin
α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
∴≤m≤2.
∵＝＝2－，
∴－6≤2－≤1，
∴的取值范围为[－6，1]．
14．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，则：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：(1)＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
(2)不能．由题意知＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝.
∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．
PAGE第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[A组 学业达标]
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2y)．若a∥b，则y的值是
( )
A．2
B．－2
C．－1
D．1
解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y)＝2×1，解得y＝1.
答案：D
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝
( )
A.
B.
C．1
D．2
解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝.
答案：B
3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是
( )
A．(4，8)
B．(8，4)
C．(－4，－8)
D．(－4，8)
解析：∵a＝(1，－2)＝－(－4，8)，|b|＝4|a|，
∴b可能是(－4，8)．
答案：D
4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝______．
解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b，
∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3.
答案：－3
5．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2，5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y.∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2，5，∴2－5＝－(y－2)，∴y＝10.
答案：10
6．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝2，且a∥b，则b＝________．
解析：设b＝(x，y)，由已知可得解得或所以b＝(2，－4)或(－2，4)．
答案：(2，－4)或(－2，4)
7．已知a＝，点B的坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解析：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，∴3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝.
又点B的坐标为(1，0)，设点A的坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，
∴?
即点A的坐标为(8，－10)．
8．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解析：(1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
[B组 能力提升]
9．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－
B.
C．－2
D．2
解析：ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，
∴2m＝－n，即＝－.
答案：A
10．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为
( )
A．(2，0)
B．(0，－2)
C．(－2，0)
D．(0，2)
解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)．
设a在m，n下的坐标为(x，y)，
∴a＝xm＋yn，
∴(2，4)＝x(－1，1)＋y(1，2)，
∴∴故选D.
答案：D
11．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2.
若＝2，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)．
所以解得故P.
若＝－2，同理可解得故P(－5，8)．
综上，点P的坐标为或(－5，8)．
答案：或(－5，8)
12．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
解析：∵＝，∴－＝(－)．
∴＝2－＝(3，－6)，∴点C的坐标为(3，－6)．
又∵||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
∴点E的坐标为.
答案：
13．已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
证明：建立如图所示的直角坐标系．
不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(x，y)，这里y>0，
于是＝(1，1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0?y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y>0，联立①②解得
即E.
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t，0)，则＝(1－t，1)，
＝.
∵F，C，E三点共线，∴∥.
∴(1－t)×－×1＝0，
解得t＝－1－.
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE.
PAGE第二章 平面向量
2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[A组 学业达标]
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①②③正确，④⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos
θ)2＝a2·b2cos2
θ≠a2·b2.
答案：C
2．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影为
( )
A．－5
B．5
C．－5
D．5
解析：a在x轴正方向上的投影为|a|·cos
150°＝－5.
答案：A
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.
答案：B
4．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝
( )
A．1
B.
C．2
D.或2
解析：|a－b|＝＝＝＝＝＝2.
答案：C
5．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.
答案：A
6．已知a·b＝16，若a在b方向上的投影为4，则|b|＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cos
θ＝16.
又∵a在b方向上的投影为4，∴|a|cos
θ＝4，∴|b|＝4.
答案：4
7．若|a|＝5，a·b＝10，且a与b的夹角为60°，则|b|＝________．
解析：因为a·b＝10，|a|＝5，所以|a|·|b|cos
60°＝10，所以|b|＝4.
答案：4
8．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos
〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≤－，∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
9.如图，在?ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.
(1)用a，b表示；
(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．
解析：(1)＝－＝－
＝－＋＝－a＋b.
(2)因为|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，
所以||2＝
＝|b|2－a·b＋|a|2
＝－×1×4×cos
60°＋＝.
所以||＝.
·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝＋×1×4×cos
60°－＝－4.
10．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos
α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值．
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos
α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos
α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos
β＝＝＝.
[B组 能力提升]
11．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝
( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：∵a∥b，∴b＝λa，λ∈R.∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝c·a(1＋2λ)．∵a⊥c，∴a·c＝0.∴c·(a＋2b)＝0.
答案：D
12．若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝
( )
A．2
B.
C．1
D.
解析：∵(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，|a|＝1，
∴∴
把①代入②，得－2＋b2＝0.∴b2＝2，∴|b|＝.故选B.
答案：B
13.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列给出的向量的数量积中最大的是______．(填序号)
①·；②·；
③·；④·.
解析：根据正六边形的几何性质，〈，〉＝，〈，〉＝，〈，〉＝，〈，〉＝.
∴④·<0，③·＝0，
①·＝||·||cos＝||2，
②·＝||·2||·cos＝||2.
比较可知①>②>③>④.
答案：①
14．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
解析：由题意可得a·b＝|a||b|cos
60°＝2×3×＝3.
又∵(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，
a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2>0.
∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0.
解得λ>或λ<.
当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角不为锐角．
故λ的取值范围是∪∪(1，＋∞)．
答案：∪∪(1，＋∞)
15．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
解析：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又∵|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6，
∴cos
θ＝＝＝－.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
16．已知|a|＝2|b|＝2，且a在b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝－1.
又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cos
θ＝－，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
PAGE第二章 平面向量
2．4 平面向量的数量积
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[A组 学业达标]
1．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
解析：∵|a|＝1，|b|＝，∴|a|≠|b|，故A错误；a·b＝(1，0)·＝≠，故B错误；∵a－b＝，∴(a－b)·b＝·＝－＝0，∴(a－b)⊥b，故C正确；∵1×－0×＝≠0，∴a与b不平行，故D错误．
答案：C
2．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝
( )
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
解析：∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·.∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
答案：B
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．10
解析：由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2.由b∥c，得－4＝2y，则y＝－2，故|a＋b|＝＝.
答案：B
4．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于
( )
A．－
B.
C.
D.
解析：∵a＝(1，2)，b＝(1，－1)，∴2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝，∴〈2a＋b，a－b〉＝.
答案：C
5．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝，∴a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝×＝.
答案：A
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为________．
解析：设a与c的夹角为θ，由a＋b＝(－1，－2)＝－a，|a|＝，cos
θ＝＝＝＝－，
∴θ＝120°.
答案：120°
7．已知向量a＝(1，)，向量a，c的夹角是，a·c＝2，则|c|等于________．
解析：因为|a|＝2，a·c＝2，所以|a|·|c|cos
60°＝2，得|c|＝2.
答案：2
8．已知△ABC中，||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·的值为________．
解析：因为S△ABC＝×4×1×sin
A＝，所以sin
A＝，得A＝或A＝，·＝1×4×cos
A＝±2.
答案：±2
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)由a⊥b得2x＋3－x2＝0，即(x－3)(x＋1)＝0.解得x＝3或x＝－1.
(2)由a∥b，得2x2＋3x＋x＝0，即2x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
所以a－b＝(－2，0)．
此时|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
则a－b＝(2，－4)．故|a－b|＝＝2.
[B组 能力提升]
10．设向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|2a＋b|＝|a－2b|，两边平方可得4＋1＋4cos(α－β)＝1＋4－4cos(α－β)，解得cos(α－β)＝0，又0<α<β<π，所以0<β－α<π，则β－α＝，故选A.
答案：A
11．设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3
B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14
D．5a＋4b＝14
解析：由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使⊥，即(2－a，b－1)·(4，5)＝0，得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3.
答案：A
12．已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，m)．若|a||b|＋a·b＝0，则实数m＝________．
解析：由向量的数量积可知a·b＝|a||b|cos
θ，又|a||b|＋a·b＝0，所以cos
θ＝－1，所以θ＝π，即向量a＝(2，－4)与b＝(－3，m)的方向相反．设a＝λb，即(2，－4)＝λ(－3，m)可得解得m＝6.
答案：6
13．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是________．
解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.
因为M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)，所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
答案：
14．设向量a＝(，－1)，b＝，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直．
(1)求k关于t的函数关系式；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
解析：(1)因为a＝(，－1)，b＝，
所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.
又因为x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝0，
所以－4k＋t2－3t＝0，所以k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝－，
所以函数k＝f(t)的最小值为－.
15．已知向量a＝(3，－1)，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)若a⊥c，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求b与c的夹角的余弦值．
解析：(1)设b＝(m，n)，由题意得
解得或
当b＝(－1，2)时，∴c＝x(3，－1)＋(1－x)(－1，2)＝(4x－1，2－3x)．
∵a⊥c，∴3(4x－1)－(2－3x)＝0，
解得x＝.
当b＝(－2，－1)时，∴c＝x(3，－1)＋(1－x)(－2，－1)＝(5x－2，－1)．
∵a⊥c，∴3(5x－2)＋1＝0，
解得x＝.
(2)设b与c的夹角为θ，
由(1)可知，当b＝(－1，2)时，c＝(4x－1，2－3x)，
则|c|2＝(4x－1)2＋(2－3x)2＝25x2－20x＋5
＝25＋1.
当x＝时，|c|取最小值，则|c|＝1，c＝，
∴b·c＝－＋＝1.
∴cos
θ＝＝.
当b＝(－2，－1)时，c＝(5x－2，－1)，
则|c|2＝(5x－2)2＋(－1)2＝25＋1，
当x＝时，|c|取最小值，则|c|＝1，c＝(0，－1)，
∴b·c＝1，
∴cos
θ＝＝.
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