第二章
推理与证明
[A组 学业达标]
1．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．
答案：D
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
解析：假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
答案：C
3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．
答案：B
4．设a，b，c大于0，则3个数a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2
B．至少有一个不大于2
C．都小于2
D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2，
则a＋<2，b＋<2，c＋<2，
∴a＋＋b＋＋c＋<6.①
又a，b，c大于0，
所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②
故①与②式矛盾，假设不成立，
所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案：D
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：反证法的步骤为：反设→归谬→存真，
∴正确顺序为③①②.
答案：③①②
6．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
③同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题；②是“唯一”型命题，且题中条件较少；③中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
解析：显然①②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．
答案：③
8．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．
证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2?α，B1B2?α，即a?α，b?α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A1B1与A2B2也是异面直线．
9．已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为0
0.
由基本不等式≥>，
同理>，>，
以上三个不等式相加，
＋＋>，即>.
这是不可能的．
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
[B组 能力提升]
1．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
答案：D
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”即“全部中最少有一个”．
答案：B
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
解析：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
答案：丙
4．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
5．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，
则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，
得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
PAGE2.1.1
合情推理
[A组 学业达标]
1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
答案：B
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为( )
A.
B.
C.
D．无法确定
解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.
答案：C
3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )
A．丁酉年
B．庚午年
C．乙未年
D．丁未年
解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.
答案：B
4．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2
019到2
021箭头的方向依次为( )
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.
答案：D
5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，
∴猜想an＝3n－1.
答案：A
6．观察下列等式：
1＝1，
2＋3＋4＝9，
3＋4＋5＋6＋7＝25，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，
……
照此规律，第五个等式应为________．
解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.
所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.
答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝81
7．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.
解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.
答案：b4＋b8>b5＋b7
8．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A?BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA?BCD＝________.
解析：内切圆半径r内切球半径R.
△ABC周长a＋b＋c棱锥A?BCD各面面积和．
答案：VA?BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
9．如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解析：在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
[B组 能力提升]
1．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……
则在表中数字2
019出现在( )
A．第44行第78列
B．第45行第82列
C．第44行第77列
D．第45行第83列
解析：第n行有2n－1个数字，
前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1
936,452＝2
025，
且1
936＜2
019＜2
025，
∴2
019在第45行．
又2
025－2
019＝6，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2
019在第89－6＝83列．
答案：D
2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
解析：记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1
225.
答案：C
3．类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝________.
解析：类比平面内点到直线的距离公式
d＝，
易知答案应填.
答案：
4．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A?BCD中，平面DEC平分二面角A?CD?B且与AB交于E，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.
故有＝.
答案：＝
5．已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似的性质，并加以证明．
解析：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，
则N(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线上，
∴n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值).
PAGE第二章
推理与证明
2.1.2
演绎推理
[A组 学业达标]
1．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC
解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．
答案：A
2．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，(大前提)
整数是有理数，(小前提)
整数是真分数．(结论)
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．
答案：A
3．下列推理是演绎推理的是( )
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a>|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：A是演绎推理，B为归纳推理，C、D类比推理．
答案：A
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
解析：根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
答案：A
5．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
答案：B
6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
7.
“如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC,
①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.
③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
解析：由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
答案：③
8．用三段论证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①___________________________________________________(大前提)
②_____________________________________________________(小前提)
③________________________________________________________(结论)
答案：①如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．
②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．
③函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．
9．将下列推理写成三段论的形式．
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)0.33是有理数．
解析：(1)向量是既有大小又有方向的量，(大前提)
零向量是向量，(小前提)
零向量也有大小和方向．(结论)
(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
正方形的对角线相等．(结论)
(3)所有的循环小数都是有理数，(大前提)
0．33是循环小数
，(小前提)
0．33是有理数．(结论)
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.
∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，
∴AB⊥DE.
[B组 能力提升]
1．设a>0，b>0，a＋b≥2，(大前提)
x＋≥2，(小前提)
所以x＋≥2.(结论)
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
解析：小前提中无“x>0”条件，不满足利用基本不等式的条件．
答案：B
2．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为( )
第一节
第二节
第三节
第四节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A.4
B．5
C．6
D．7
解析：张毅不同的选课方法如下：
(1)地理1班，生物B层1班，政治2班；
(2)地理1班，生物B层1班，政治3班；
(3)地理1班，生物B层2班，政治3班；
(4)地理2班，生物B层1班，政治1班；
(5)地理2班，生物B层1班，政治3班；
共5种，故选B.
答案：B
3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
解析：由题意，知f(0)＝0，
f(1)＝f(0)＝0，
f(2)＝f(－1)＝0，
f(3)＝f(－2)＝0，
f(4)＝f(－3)＝0，
f(5)＝f(－4)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
4．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg
2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg
2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg
2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；
x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg
2.
∴③④也正确．
答案：①③④
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
解析：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
PAGE第二章
推理与证明
[A组 学业达标]
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：①②③⑤正确．
答案：C
2．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos
2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2
θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos
2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
解析：此证明符合综合法的证明思路．故选B.
答案：B
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，
只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
答案：D
4．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
解析：0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.
答案：B
6．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x求导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如图所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
8．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.(要求用两种方法证明)
证明：法一(综合法)：因为a＞0，b＞0，
所以＋－－＝＋
＝＋＝(a－b)·
＝≥0，
所以＋≥＋.
法二(分析法)：要证＋≥＋，
只需证a＋b≥a＋b，
即证(a－b)(－)≥0.
因为a＞0，b＞0，
所以a－b与－符号相同，
不等式(a－b)(－)≥0成立，
所以原不等式成立．
9．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
证明：要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[B组 能力提升]
1．已知函数f(x)＝x，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
解析：≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f≤f()≤f.即A≤B≤C.
答案：A
2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
解析：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.
答案：B
3．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是解析：|x－a|<1?a－1由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有
(且等号不同时成立)，解得≤a≤.
答案：[，]
4．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
证明：如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．
要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
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